AULA 1 VETORES

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 1: Vetores 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 1: VETORES 
PLANO DE ENSINO 
1 
VETORES 
2 
OPERAÇÕES 
COM VETORES 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Conteúdo da Disciplina 
• Vetores livres. Operações com vetores; 
• Ângulo entre vetores; 
• Vetores no plano e no espaço. 
Unidade I: Vetores 
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Conteúdo da Disciplina 
• Produto escalar; 
• Produto vetorial; 
• Produto misto. 
Unidade II: Produto de vetores 
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Conteúdo da Disciplina 
• Formas das equações de retas no plano e no espaço; 
• Ângulo entre retas. Paralelismo e perpendicularismo; 
• Retas coplanares. 
Unidade III: Retas 
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Conteúdo da Disciplina 
• Equação geral do plano; 
• Determinação de um plano. 
Unidade IV: Planos 
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Conteúdo da Disciplina 
• A parábola; 
• A elipse. A circunferência; 
• A hipérbole; 
• Equação geral das cônicas. 
Unidade V: Cônicas 
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Bibliografia Básica 
JULIANELLI, J. R. Cálculo vetorial e geometria analítica. 
Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008. 
 
OLIVEIRA, U.; CASTAÑON, A. C.; RODRIGUES, J. Cálculo 
vetorial e geometria analítica. Rio de Janeiro: Lexicon, 
2015. 
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: 
Makron, 2006. 
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Bibliografia Complementar 
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2005. 
 
CONDE, A. Geometria Analítica. Atlas; São Paulo, 2004. 
 
FEITOSA, M. O. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica: Exercícios Propostos e Resolvidos. 4. ed. São 
Paulo: Atlas, 1996. 
 
REIS, G. L.; SILVA, V. V. Geometria analítica. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
 
ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Matemática Avançada para Engenharia V. 2 – Álgebra Linear e Cálculo 
Vetorial. São Paulo: Bookman, 2009. 
 
 
 
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VETORES IGUAIS 
 Dois vetores 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são iguais, se e somente se, 𝐴𝐵 – 𝐶𝐷 = 0. 
 
VETOR NULO 
 O vetor nulo ou vetor zero é indicado por 0 . 
 
VETORES OPOSTOS 
 Se v = 𝐴𝐵 , o vetor 𝐵𝐴 é o oposto de 𝐴𝐵 e se indica por – 𝐴𝐵 ou – 𝑣 . 
 
VETOR UNITÁRIO 
 É um vetor que tem módulo igual a 1, ou seja: Ι 𝑣 Ι = 1. 
Vetores 
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Versor 
O versor de um vetor não nulo 𝑣 é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 𝑣 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor 𝑢1 é o versor de 𝑣 pois é unitário e tem a mesma direção e o mesmo sentido de 𝑣 . 
Vetores 
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Vetores colineares 
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ditos colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, se pertencerem a 
uma mesma reta ou a retas paralelas. 
Vetores 
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Vetores coplanares 
São vetores não nulos que estão contidos em um mesmo plano. Dois vetores são sempre 
coplanares. Três vetores poderão ou não ser coplanares. 
Vetores 
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Igualdade de vetores 
Sejam dois vetores 𝑢 = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2). Estes vetores serão iguais se, e somente se, x1 = x2 
e y1 = y2. 
 
Ex: Seja 𝑢 = (x+5, 2) e 𝑣 = (7, y). Supondo u = v, temos: 
 
 x + 5 = 7 -> x = 7 – 5 -> x = 2 
 2 = y -> y = 2 
 
Logo, x = 2 e y = 2 para 𝑢 = 𝑣 . 
Operações com vetores 
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Adição de vetores 
Dados dois vetores 𝑢 = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2). Para somarmos 𝑢 + 𝑣 , devemos somar suas 
coordenadas correspondentes, ou seja, 𝑢 + 𝑣 = (x1 + x2 , y1 + y2). 
 
 Seja 𝑢 = (3, -5) e 𝑣 = (-1, 2). 
 
Temos que: 
 
 𝑢 + 𝑣 = (3 + (-1), -5 + 2) = (2 , -3) 
 
Operações com vetores 
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Dados dois vetores 𝑢 = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2). Temos as seguintes propriedades quanto a adição: 
 
1. Comutatividade: 
2. Associatividade: 
3. Elemento neutro: 
4. Simetria (vetor oposto): 
Propriedades da adição de vetores 
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 
𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢 
𝑣 + − 𝑣 = 0 
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Propriedades da adição de vetores 
Adição geométrica de vetores 
 
𝑢 = (3,5) e 𝑣 = (-1,4) 
 
𝑢 + 𝑣 = (2,9) 
Y 
X 
𝒗 = (-1,4) 
𝒖 = (3,5) 
𝒖 + 𝒗 = (2,9) 
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𝒖 = (3,5) 
𝒗 = (-1,4) 
𝒖 + 𝒗 = (2,9) Y 
X 
- 𝒗 = (1,- 4) 
Diferença geométrica entre dois vetores 
 
𝑢 = (3,5) e 𝑣 = (-1,4) 
 
𝑢 – 𝑣 = (4,1) 
Propriedades da adição de vetores 
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Considere um vetor 𝑢 = (x1,y1) e um escalar k ≠ 0. Para multiplicarmos o vetor 𝑢 por um número, 
devemos multiplicar cada uma de suas coordenadas por este número, ou seja, 
 
k. 𝑢 = k (x1, y1) = (k.x1 , k.y1). 
 
Seja 𝑢 = (-1, 3) e 𝑘 = 2. Temos que: 
k. 𝑢 = 2. 𝑢= 2.(-1,3) = (-2 , 6) 
 
OBS: Se k < 0, teremos o sentido contrário de 𝑢. 
Multiplicação de um escalar por um vetor 
Vetores 
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Dado um vetor 𝑢 = (x1, y1) e um escalar k≠0. Temos as seguintes propriedades para o produto k. 𝑢: 
 
1. Associativa: k1.(k2. 𝑢) = (k1.k2). 𝑢 
2. Distributividade em relação à adição de escalares: (k1+k2). 𝑢 = k1𝑢 + k2. 𝑢 
3. Distributividade em relação a adição de vetores: k.(𝑢+𝑣 ) = k. 𝑢 + k. 𝑣 
4. Identidade: 1.𝑢 = (1.x1 , 1.x2)= (x1,x2)= 𝑢 
Propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor 
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1. Considere os vetores 𝑢 = (-1,4) , 𝑣 = (2,-5) e 𝑤 = 3,-2) , determine: 
 
a) 𝑢 – 𝑣 
 
b) 𝑣 + 𝑤 
 
c) 2𝑣 + 𝑤 – 3𝑢 
Exercícios 
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2. Sendo dados os pontos A=(-1,2) , B=(0,-4) , C=(-2,-2) e D=(3,6), calcule: 
 
a) 𝐴𝐵 – 𝐶𝐷 
 
b) 2𝐴𝐶AC + 3𝐷𝐴 
Exercícios 
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3. Dados A = (11,-6) , B = 0,2) e C = (-3,1) calcular o vetor 2𝐴𝐵 + 4𝐵𝐶 – 𝐶𝐴. 
Exercícios 
Assuntos da próxima aula: 
1. Decomposição de Vetores; 
2. Representação de Vetores; 
3. Paralelismo; 
4. Módulo; 
5. Vetor Unitário.