Aritmetica 4

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teoría de los números
¿Qué es Lego?
El	28	de	enero	de	1918,	ole	Kirk	Christiansen	abrió	un	negocio	de	carpintería,	y	se	ganó	la	vida	construyendo casas y muebles para granjeros de la región. Su taller fue quemado en 1924. Ole Kirk tomó el desastre como la oportunidad de construir un taller mayor, y se dedicó a ampliar su negocio. Intentando encontrar formas de minimizar sus costos de producción, Ole Kirk comenzó a	producir	versiones	miniatura	de	sus	productos	como	ayuda	de	diseño.	Sus	escaleras	en	minia-
tura y tablas de planchar fueron las que lo inspiraron a producir juguetes. En 1934 el nombre LEGO fue 
acuñado	por	Christiansen	a	raíz	de	la	frase	danesa	leg godt, la cual significa "juega bien".
Según	las	cifras	publicadas	por	la	propia	compañía	en	el	año	2009	obtuvo	295	
millones de euros de beneficios a pesar del escenario mundial de crisis. Parte 
de este éxito fue debido a sus juguetes sobre ciudades y "La Guerra de las Ga-
laxias".
APreNDIZAjes esPerADos
Razonamiento y demostración 
•	 Usar	las	operaciones	con	múltiplos.
Comunicación matemática
•	 Identificar	los	divisores	y	múltiplos	de	un	nú-
mero.
Resolución de problemas
•	 Determinar	la	cantidad	de	múltiplos	de	un	nú-
mero
UNIDAD 4
Tres formas de visualizar a Lego:
Al fondo: "ciudadanos" de Legoland. 
Abajo a la izquierda, fachada de la 
entrada al parque temático Legoland, 
en Billund, Dinamarca, abajo hacia el 
centro, el imaginario mapa de Lego-
land.
66
1 Aritmética
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teoría de los números: 
Divisibilidad y multiplicidad
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	divisores	y	múltiplos	de	un	número
•	 A	usar	las	operaciones	con	múltiplos.
•	 A	determinar	la	cantidad	de	múltiplos	de	un	número.
El cometa Halley
El cometa Halley lleva ese nombre en honor a Edmond G. Halley, quien fue el primero en sugerir que los cometas son un fenómeno natural del sistema solar, que orbitan alrededor del Sol. Halley sugirió que	la	periodicidad	de	cierto	cometa	que	era	un	visitante	regular,	era	de	76	años,	y	que	se	había	visto	
desde	hace	mucho	tiempo,	muy	particularmente	durante	los	años	de	1530,	1606	y	1682.	En	1682,	Halley	
predijo	que	este	cometa	regresaría	en	el	año	de	1758	y,	por	supuesto,	el	cometa	regresó	en	marzo	de	1758.	
En 1910, el cometa Halley hizo una aparición particularmente brillante. Así mismo, su aparición de 1986 
quedó plasmada en un famoso tapiz antiguo. 
• 	 ¿Cuándo	será	la	próxima	vez	que	el	cometa	Halley	pase	cerca	de	nuestro	planeta?
1teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad
UNIDAD 4Central: 619-8100 67
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números.
1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11
12 13 14 15
16 17
18 19 20 21 22
23 24
Horizontales:
1. Mayor número de cinco cifras diferentes
6. Una decena, más uno
8. Número capicúa de dos cifras
9. Cuatro	decenas
10. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 
10
11. Le falta dos para ser una gruesa
12. 7 × 8
14. Le falta uno para ser 6 centenas
15. Número capicúa de dos cifras
16. Cubo	de	5
17. Décima potencia de 2
18. Número que tiene raíz cúbica
19. Cuadrado	de	22
21. El triple de 7
23. Diez gruesas
24. Número capicúa de tres cifras
Verticales:
1. Cuadrado	de	95
2. Cuadrado	de	29
3. Cuadrado	de	85
4. Cuadrado	de	25
5. Complemento	aritmético	de	4	581
6. Doce docenas
7. Menor número de cinco cifras diferentes
13. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 
19
15. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 
9
16. Número que tiene raíz cuadrada
17. Suma de los ángulos internos de un triángulo
19. Cuatro	onces
20. Cuatro	docenas
22. Doble de 9
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Conceptos básicos
teoría de los números
En este capítulo conoceremos las propiedades de los números usando los criterios de divisibilidad y mul-
tiplicidad.
Divisibilidad
En la siguiente división exacta:
A B
q
Divisor o módulo "A" es divisible entre "B"
"B" es divisor de "A"
 
Multiplicidad
En la siguiente multiplicación de números enteros
A = B × q "A" es múltiplo de "B"
"B" es factor de "A"
Ejemplo:
Como: 45 9 45 = 9(5) 45 es divisible entre 9
9 es divisor de 45
45 es múltiplo de 9
5
Notación
Los criterios de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes, entonces:
Siendo:
"A" divisible entre "B"
"A" es múltiplo de "B" A = 
°B
Así: 45 = °9
 120 = °8
Representación de números no divisibles con respecto a un módulo
Cuando	la	división	no	es	exacta:
Por defecto Por exceso
A d A d
R q r q + 1
A	=	d	.	q	+	R
A = °B	+	R
A = d(q + 1) – r
A = °B – r
Ejemplo:
	 Como	47	no	es	divisible	entre	7
 47 = °7 + 5 47 = °7 – 2
 Porque: 47 = 7(6) + 5 = 7(7) – 2
Recuerda	que	en	la	di-
visión inexacta la suma 
de los residuos es igual 
al divisor.
1teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad
UNIDAD 4Central: 619-8100 69
observación
Para determinar la cantidad de múltiplos tenemos:
 Por agrupación
 De los números: 1; 2; 3; ...; 12
•	 Los	°3 son:
 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12	 	 123	 123	 123	 14243
 un °3 un °3 un °3 un °3
 La tercera parte son °3, entonces:
 12
3
 = 4 números son múltiplos de 3.
Entonces, por ejemplo de los 
120 primeros números:
120
4
 = 30 son múltiplos de 4
120
5
 = 24 son múltiplos de 5
120
6
 = 20 son múltiplos de 6
 Por desigualdad
 De los números de tres cifras
•	 Los	°7 son: 100 < 7k < 1000
 14,2 < k < 142,7
Los valores de "k" son: 15; 16; 17; ...; 142
Son en total: 142 – 15
1 
+ 1 = 128 números.
operaciones elementales con respecto al mismo módulo
 Adición y sustracción
 Sean los números "A" y "B" que se expresan en función del divisor o módulo "n" como:
A = °n + ra y B = 
°n + rb
Entonces:
 A + B = 
°n + (ra + rb) A – B = 
°n + (ra – rb)
Ejemplo:
•	 Sean	los	números:	A	=	 °13 + 3; B = °13	+	8;	C	=	 °13 + 6
	 Entonces:	A	+	B	+	C	=	 °13 + (3 + 8 + 6) = °13 + 17
	 Como:	17	=	13	+	4	⇒	A	+	B	+	C	=	 °13 + 4
Recuerda	que	
el residuo de 
una división 
debe ser menor 
que el divisor
Multiplicación
Sean los números "A" y "B" que se expresan en función del divisor o módulo "n" como:
 A = °n + ra y B = 
°n + rb
Entonces:
A . B = °n + (ra . rb)
Ejemplo:
•	 Sean	los	números:	A	=	 °11 + 3; B = °11	+	8;	C	=	 °11 + 6
	 Entonces:	A	.	B	.	C	=	 °11 + (3 × 8 × 6) = °11 + 144
	 Como:	144	=	11(13)	+	1	→	A	.	B	.	C	=	 °11 + 1
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Síntesis teórica
Son criterios equivalentes
A = °B
A = mB
A = B . q
18 es múltiplo de 6
Múltiplos de 12:
12; 24; 36; 48; ...
tEoRíA DE LoS NúMERoS
Divisibilidad Multiplicidad
"A" es divisible entre "B"
"B" es divisor de "A"
"A" es múltiplo de "B"
"B" es factor de "A"
A B
q
6 es divisor de 18
Divisores de 12:
1; 2; 3; 4; 6; 12
Cuando	hay	residuo
A = °B+	R
A = °B – r
R	+	r	=	B
Por excesoPor defecto
Divisor
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Los divisores de 12 son:
2. Los primeros cuatro números positivos múlti-
plos de 15 son:
3. Completa:
45 7
45 = °7 + .......6
95 11
95 = °11 + .......8
4. De los 30 primeros números positivos, ¿quiénes 
y	cuántos	son	múltiplos	de	6?
5. De los 120 primeros números positivos:
•	 ¿Cuántos	son	múltiplos	de	3?
•	 ¿Cuántos	son	múltiplos	de	4?
•	 ¿Cuántos	son	múltiplos	de	3	y	4?
1teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad
UNIDAD 4Central: 619-8100 71
Resolución de problemas
4. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	múltiplos	
de	12?
5. Si "x" es divisible entre 3 e "y" es divisible entre 
5, ¿qué expresión que a continuación se mues-
tra	es	divisible	entre	15?	
I. xy II. 3x + 5y III. 5x + 3y 
6. La expresión "abc – cba", siempre será divisibleentre:
a) 22 b) 18 c) 12 
d) 33 e) 37
7. Calcula	 la	 suma	de	 los	 30	primeros	múltiplos	
positivos de 9.
8. De los 60 primeros números positivos:
¿Cuántos	son	múltiplos	de	4?
¿Cuántos	son	múltiplos	de	5?
¿Cuántos	son	múltiplos	de	4	o	5?
La suma de estos resultados es:
9. El producto de cinco números consecutivos 
siempre será divisible entre:
a) 25 b) 16 c) 9 
d) 18 e) 24
10. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	divisibles	
entre	17?
11. De los números pares del 1 al 300, ¿cuántos son 
múltiplos	de	12?
12. En una división entera, el divisor es °11 + 5, el 
cociente es °11 + 4 y el residuo °11	+	3.	¿Cuál	
es el residuo que se obtendrá al dividir el divi-
dendo	de	la	división	entre	11?
13. Si: ab = °13 + 2 y cd = °13 + 5, ¿cuál es el resto 
de dividir abcd	entre	13?
14. De los números de cuatro cifras, ¿cuántos termi-
nan	en	7	y	son	divisibles	entre	3?
15. ¿Cuántos	 términos	 de	 la	 siguiente	 sucesión:	
16 × 21; 16 × 22; 16 × 23; ...; 16 × 247, son 
múltiplos	de	12?
16. ¿Qué día de la semana murió Euler, si su fecha 
de	defunción	fue	el	18	de	setiembre	de	1783?
Aprende más
Aplicación cotidiana
En 1705 Edmond Halley predijo, que un cometa volvería en 1758 (que fue, 
curiosamente, después de su muerte). De hecho, el cometa volvió tal y como 
predijo, y posteriormente se le dio el nombre en su honor. El periodo medio de 
la	órbita	del	Halley	es	de	76	años,	aproximadamente,	pues	el	tirón	gravitacional	
de los planetas mayores altera el periodo del cometa en cada órbita.
1. ¿Cuál	será	el	siguiente	año	en	que	el	cometa	pase	cerca	de	nuestro	planeta?
2. ¿Podría	hacer	o	haber	hecho	su	aparición	más	de	una	vez	en	un	siglo?	¿Cuántas?
3. ¿Cuál	fue	el	primer	año	de	nuestra	era,	en	que	hizo	su	aparición	el	cometa?
¡Tú puedes!
1. Calcule	el	resto	de	dividir	"N"	entre	7,	si:
 N =5 . abc + 52 . abc2 + 53 . abc3 + ... + 51031 . abc1031
 Además se sabe que abc no es divisible entre 7
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 0
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2. Hallar cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, sabiendo que "n" es °14.
I. n(n + 3) = °14
II. (n – 2 )( n – 21 ) = °14
III. 2(n + 7) + 3n = °14
IV. (n + 1)(n + 2)(n – 3) – 8 = °14
a) I y II b) II y III c) I, II y III d) I y III e) Todas
3. Si: N = 3102 × 6102 × 11102 × 18102 × ... × 102102, ¿cuál es la última cifra al expresar "N" en base 
103?
a) 102 b) 1 c) 100 d) 90 e) 2
4. La	expresión:	W	=	[ab(7)]
2	–	[ba(7)]
2 siempre es divisible por:
a) 5 b) 16 c) 7 d) 13 e) 24
5. La suma de 45 números enteros consecutivos es múltiplo de 17. Hallar el menor valor que puede to-
mar el primero de ellos.
a) 0 b) 11 c) 12 d) 13 e) 24
Practica en casa
18:10:45
1. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	múltiplos	
de	15?
2. ¿Cuántos	números	del	1	al	1	000	son	múltiplos	
de	7?
3. La expresión "a0c + c0a", siempre será divisi-
ble entre:
4. ¿Cuántos	números	del	1	al	1	500	son	múltiplos	
de	2	pero	no	de	3?
5. Si "k" es un número entero positivo divisible en-
tre	3	y	menor	que	60,	¿cuántos	valores	toma	"k"?
6. El número a0(2a), siempre será divisible entre:
a) 13 b) 31 c) 17 
d) 18 e) 19
7. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	múltiplos	
de	8?
8. Calcula	 la	 suma	de	 los	 20	primeros	múltiplos	
positivos de 7.
9. La suma de siete números pares consecutivos, 
siempre será divisible entre:
a) 9 b) 13 c) 14 
d) 11 e) 10
10. Del 2 000 al 5 000, ¿cuántos números son múl-
tiplos	de	9	y	terminan	en	7?
11. Si: ab = °17 + 3, ¿cuál es el resto al dividir 4ab3 
entre	17?
12. De los 80 primeros números positivos:
¿Cuántos	son	múltiplos	de	4?
¿Cuántos	son	múltiplos	de	5?
¿Cuántos	son	múltiplos	de	4	o	5?
La suma de estos resultados es:
13. El producto de cuatro números consecutivos 
siempre será divisible entre:
a) 5 b) 7 c) 9 
d) 6 e) 8
14. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	divisibles	
entre	23?
15. Si: ab = °23 + 5 y cd = °23 + 2, ¿cuál es el resto 
de dividir abcd	entre	23?
2operaciones y ecuaciones diofánticas
UNIDAD 4Central: 619-8100 73
operaciones y ecuaciones 
diofánticas
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	residuos	de	una	división
•	 A	usar	las	operaciones	con	múltiplos	y	divisores.
•	 A	determinar	la	solución	de	las	ecuaciones	donde	se	utilice	múltiplos.
origen de los años bisiestos
Entremos	un	poco	en	la	historia,	los	años	bisiestos	nacieron	en	la	época	del	Calendario	 Juliano.	Surgen	para	corregir	 la	diferencia	entre	el	año	real	y	el	año	del	calendario.
El	 año	dura	 aproximadamente	365	días	 y	5	horas	 con	48	minutos	 y	
45,16 segundos o 365,2422 días. Para equilibrar esta diferencia con el 
calendario,	se	decreta	que	cada	4	años	habrá	un	día	más	y	los	restantes	
solo tendrán 365 días. Esto es porque se redondean esas horas sobran-
tes	en	6	horas	y	cada	4	años	se	suman	estas	horas	quitadas	a	los	años	
anteriores: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 horas más.
En	1582	se	sustituyó	el	Calendario	Juliano	por	el	Gregoriano	(el	actual),	
y	la	regla	para	los	años	bisiestos	cambió	un	poco.	La	regla	quedó	así:
El	año	es	bisiesto	si	es	divisible	por	cuatro,	exceptuando	los	que	se	pue-
den dividir por 100, estos últimos pueden ser bisiestos si son divisibles 
por 400.
Busto del Papa Gregorio XIII, quien 
impulsó la reforma del calendario e ins-
tituyó el uso del calendario que lleva 
su nombre.
En
er
o
Fe
br
er
o
M
ar
zo
A
br
il
M
ay
o
Ju
ni
o
Ju
lio
A
go
st
o
Se
tie
m
br
e
O
ct
ub
re
N
ov
ie
m
br
e
D
ic
ie
m
br
e
31 28
o
29
31 30
31
30 31 31 30
31
30 31
Regla nemotécnica para recordar los meses que tienen 30 o 31 días, a excepción de febrero que en año bisiesto tiene 29 días. 
Solamente tiene que atribuir el valor 31 días a los nudillos de la mano (haciendo puño, ver figura) y a las breves depresiones 
entre los nudillos el valor 30 días. Luego solo tiene que comenzar a nombrar los meses comenzando por la izquierda. Fíjese 
que julio y agosto, ambos, tienen el mismo número de días.
• ¿Cuál	será	el	próximo	año	bisiesto?
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números.
1 2 3 4 5 6
7 8
9 10 11
12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23
24 25
Horizontales:
1. Múltiplo de 123
4. Potencia de 2
7. Cuadrado	de	31
8. Una vuelta entera en grados
9. Múltiplo de 11
10. Menor número de cinco cifras pares y diferentes
12. Menor número múltiplo de 2; 11 y 5
13. Múltiplo de 29 de tres cifras
14. El residuo máximo al dividir entre 5
15. Menor número múltiplo de 9 y 5
17. Múltiplo de 9
18. Factorial	de	5
20. Número impar de tres cifras múltiplo de 5
21. Número divisible entre 25
22. Cuadrado	de	9
24. Número múltiplo de 11
25. Las cifras pares diferentes de cero
Verticales:
1. Múltiplo de 232
2. Número capicúa de cuatro cifras
3. Potencia de 2
4. Factorial	de	5
5. Número capicúa de cuatro cifras
6. Cuatro	decenas
8. Cubo	de	7
11. Menor número múltiplo de 40 y 21
12. Diez gruesas
13. Número capicúa de cuatro cifras, cuya suma de 
cifras es 18
16. Cubo	de	8
17. Número de tres cifras cuya suma de cifras es 9
18. Número múltiplo de 14
19. Múltiplo de 144
23. Potencia de 2
2operaciones y ecuaciones diofánticas
UNIDAD 4Central: 619-8100 75
Conceptos básicos
operaciones elementales con respecto al mismo módulo
 Potenciación
 Sea "A" que se expresa en función del divisor o módulo "n" como:
 A = °n + r
 Entonces:
 A
k = °n + rk
Observa que el 
exponente afecta 
al residuo.
 Ejemplo:
•	 Calcular	el	residuo	de	dividir	902010 entre 13.
	 Como:	90	=	 °13 + 12 = °13 – 1, al elevar a 2010
 Entonces: 902010 = ( °13 – 1)2010 = °13 + (–1)2010 = °13 + 1
 El residuo que se obtiene es: 1.
 Un número con respectoa varios módulos
 Si un número es múltiplo de varios módulos, será múltiplo 
del mínimo común múltiplo de los módulos.
A =
°n + r
°m + r
°p + r
entonces: A = mcm(°n; °m; °p) + r
Tres condiciones se 
representan en una sola, 
para ello el residuo
debe ser común.
 Ejemplos:
•	 Calcular	ab, si es múltiplo de 12; 15 y 10.
 El mínimo común múltiplo de 12; 15 y 10
12 – 15 – 10 2
mcm = 60
6 15 5 2
3 15 5 3
1 5 5 5
1 1
 Entonces ab es múltiplo de 60, por lo tanto el único número de dos cifras será: ab= 60
•	 En	el	salón	de	cuarto	año,	la	cantidad	de	mujeres	es	3/5	del	número	de	varones	y	la	cantidad	de	
aprobados	en	Aritmética	es	3/4	de	los	varones.	¿Cuántos	alumnos	hay	en	el	salón,	si	son	menos	de	
50?
 
Como:	 Número	de	mujeres	=	
3
5 
de varones
 Número de aprobados = 3
4 
de varones
 Para que estas cantidades sean enteras, entonces el número de varones es múltiplo de 5 y 4
Entonces:
 
Número de varones = 20 
Número de mujeres = 12 Total de alumnos = 32
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Ecuaciones diofánticas
La principal característica de estas ecuaciones es que el conjunto solución está formado por números en-
teros.
 Principio de Arquímedes
Sean los números "A" y "B" de modo que:
A × B = °n
 Donde "B" tiene como único divisor común con "n" a la uni-
dad (P.E.S.I.)
Entonces: A = °n
Así:
2A = °13 ⇒ A = °13
12B = °25 ⇒ B = °25
 Ejemplo:
•	 Determina	el	menor	valor	de	"A"	si	es	de	dos	cifras	y	que	cumpla:	12A	=	 °42
	 Como:	 12A	=	 °42 dividiendo entre 6
 2A = °7 aplicando el P. Arquímedes
 A = °7
 Los valores de "A" son 7; 14; 21; 28; ... ⇒ A = 14
El residuo "b" debe aco-
modarse para que se 
pueda dividir entre "a"
Así: 6A = °13 + 12
⇒ A = °13+2
Una variable
Son de la forma: ax = 
°n + b
Ejemplo:
•	 Determinar	los	valores	positivos	de	"x",	si:	2x	=	°5 + 3
 Dando forma al resto: 2x = °5 + 5 + 3
 Dividiendo entre 2: x = °5 + 4 ⇒ Los valores de "x" son: 4; 9; 14; 19; ...
Dos variables
Son de la forma: ax + by = c
Ejemplo:
•	 En	una	tienda	hay	dos	tipos	de	vestidos	que	se	venden	en	14	y	24	soles.	Un	cliente	compró	
varios	de	estos	vestidos,	gastando	S/.	160.	¿Cuántas	compró?
 Sea "x" e "y" la cantidad de vestidos comprados:
 14 x + 24 y = 160 simplificando
 7 x + 12 y = 80 con módulo 7
 °7 + °7 + 5y = °7+3 reduciendo
 5y = °7 +3 dando forma
 5y = °7+7+3 simplificando
 y = °7 + 2
Se recomienda usar como módu-
lo al menor de los coeficientes.
Así:
5x + 11y = 62 (módulo 5)
11x + 9y = 80 (módulo 9)
 Los valores de "y" son: 2; 9; 16; ...
 Para que "x" sea positivo: y = 2 ∧ x = 8
 La cantidad de prendas compradas es 10.
2operaciones y ecuaciones diofánticas
UNIDAD 4Central: 619-8100 77
Síntesis teórica
tEoRíA DE LoS NúMERoS
Divisibilidad Multiplicidad
Son criterios equivalentes:
A = °B
A = mB
A = B . q
A B
q
2 °n = °7 + 6 ⇒ °n = °7 + 3
A + B = °n + (a + b) A – B = °n + (a – b) A . B = °n + (a . b)
Ecuaciones
Operaciones
A = °n + a
B = °n + b
"A" es divisible entre "B"
"B" es divisor de "A"
"A" es múltiplo de "B"
"B" es factor de "A"
6n = °7 ⇒ n = °7 
6m = °15 ⇒ 2m = °5 ⇒ m = °5
 9x + 7y = 50
 (7+ 2)x + °7 = °7 + 1
 2x = °7 + 1 = °7 + 8
 x = °7 + 4
Principio de 
Arquímedes Con	resto
Sistema de ecua-
ciones
Divisor
1. Completa:
•	 15200 = (°7 + ...)200 = °7 + ...
•	 25100 = ( °13 – ...)100 = °13 + ...
2. Determina el menor valor de "x", si:
x =
°12
⇒ x =°15
°20
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
Aritmética
TRILCE
Colegios
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Resolución de problemas
4. En un salón hay 60 alumnos y se observa que de 
los varones 2/7 de ellos utilizan gafas y a 3/5 de 
ellos	les	agrada	matemáticas.	¿Cuántas	mujeres	
hay	en	el	salón?
5. A un congreso asisten entre 100 y 200 médicos 
y se sabe que 2/7 de los asistentes son ginecó-
logos	y	los	5/11	son	cirujanos.	¿Cuántos	no	son	
cirujanos?
6. ¿Para qué valor de "x", el número 2xx7 es divi-
sible	entre	19?
7. Si el número a05a, al dividirse entre 23 se obtie-
ne como resto 5, hallar "a".
8. Si 530 se representa en el sistema octal, ¿cuál es 
la	cifra	de	unidades?
9. La cantidad de polos vendidos por una tienda 
en una semana no pasa de 500. Si 2/5; 3/8 y 
1/45 del total de polos vendidos son azules, ro-
jos y verdes respectivamente, ¿cuántos polos se 
vendió	en	total?
10. La cantidad (número entero) de losetas que se 
requiere para cubrir el piso de una habitación es 
tal que agrupando en decenas, docenas y quin-
cenas	siempre	sobran	3	losetas.	¿Cuántas	losetas	
se	requiere,	si	este	número	está	entre	110	y	130?
11. ¿Cuál	 es	 la	 suma	 de	 las	 dos	 últimas	 cifras	 de	
representar 730	en	el	sistema	ternario?
12. Al dividir 3x7x entre 71 el resto que se obtiene 
es 3. Hallar "x".
13. A la cantidad de alumnos que hay en un salón, 
le falta 1 para que se puedan agrupar de 12 en 
12;	de	15	en	15	o	de	20	en	20.	¿Cuántos	alum-
nos	son,	si	estos	son	menos	de	100?
Aprende más
Aplicación cotidiana
•	 Un	año	normal	tiene	365	días.
•	 Los	años	bisiestos	tienen	366	días	(el	día	extra	es	el	29	de	febrero).
¿Cómo	saber	si	un	año	va	a	ser	bisiesto?
•	 Los	años	bisiestos	son	divisibles	entre	4	(como	2004,	2008,	etc.)
•	 Excepto	si	el	año	termina	en	dos	ceros	(como	2100,	2200,	...);
•	 Si	es	divisible	entre	400,	entonces	sí	es	bisiesto	(como	2000,	2400,	etc.)
1. ¿Cuáles	son	los	próximos	5	años	bisiestos,	contados	desde	la	actualidad?
2. Si	la	Universidad	Nacional	Mayor	de	San	Marcos	se	fundó	en	el	año	1770,	¿cuántos	años	bisiestos	han	
pasado	desde	aquel	año	hasta	la	actualidad?
3. En	este	año,	el	primero	de	enero	fue	sábado	(2011),	¿qué	día	de	la	semana	será	el	primero	de	enero	
del	año	3000?
3. Determina el menor valor de "x", si:
x =
°15 + 3
⇒ x =°18 + 3
°20 + 3
4. Determina el menor valor de "x", en:
•	 12x	=	°7 ⇒ x =
•	 2x	=	 °11 + 6 ⇒ x =
•	 3x	=	 °17 + 9 ⇒ x =
5. Encuentra "x" e "y" enteros que cumplan:
 5x + 7y = 36
⇒ x = ....... ; y = ......
2operaciones y ecuaciones diofánticas
UNIDAD 4Central: 619-8100 79
14. A una función de cine asisten "N" personas. En-
tre dichos asistentes se observó que los 2/7 de 
"N" vieron la película íntegramente; los 4/5 de 
"N" lloraron con el final del drama y los 2/3 de 
"N" comieron golosinas mientras observaban la 
película. Hallar "N", si el cine tiene una capaci-
dad máxima de 200 personas.
15. Milenka paga S/. 45 en total por la compra de 
helados a S/. 4 cada uno y chocolates a S/. 7 
cada	uno.	¿Cuántos	productos	compró?
16. Un negociante tiene S/. 1 500 y decide comprar 
cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada 
caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se 
puede	efectuar	la	compra?
¡Tú puedes!
1. Si el número abcd es divisible entre 13 y se cumple que: cd = 3(ab + 2), calcular "a + d"
a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 4
2. Si: N = °5 + 1 y además: N = 43abab
ab
Entonces "ab" como mínimo puede ser:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 16 e) 20
3. Hallar "a + b + c + n", sabiendo que: abc(5) = cbn(6) (todas las cifras son significativas).
a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20
4. Calcular	la	última	cifra	al	expresar	"N"	en	el	sistema	de	base	25.
N = 323232323232323(15)
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
5. Calcular	el	mayor	número	de	cuatro	cifras,	tal	que	al	expresarlo	en	los	sistemas	de	numeración	de	base	
2; 3 y 5 sus últimas cifras fueron: 101; 20 y 34 respectivamente.
a) 9 069 b) 9 996 c) 9 609 d) 9 096 e) 6 099
Practica en casa
18:10:45
1. Determina la suma de los dos primeros va-
lores enteros positivos de "n" que cumplan: 
3n + 6 = °7 + 1
2. ¿Para qué valor de "n" que es de una cifra, se 
cumple que: 4n + 5 = °11	+	2?
3. En un colegio, se sabe que de los alumnos del 
5to	año	a	la	sexta	parte	les	gusta	Aritmética,los	
7/8	pasaron	de	año	y	3/10	 llevan	un	curso	de	
cargo. Sabiendo que son más de 200 pero me-
nos	de	300,	¿a	cuántos	les	gusta	Aritmética?
4. En nuestro colegio se organiza una fiesta por el 
día de la amistad. Asistieron 250 alumnos y de los 
premiados 4/11 son gordos y 7/13 son del ciclo 
especial.	¿A	cuántos	alumnos	no	se	les	premió?
5. ¿Para qué valor de "x", el número 7xx es divisi-
ble	entre	17?
6. En un barco en el que viajaban 312 personas 
ocurre un accidente en el cual mueren algunos 
pasajeros. Se sabe que de los sobrevivientes 1/4 
son casados y los 3/10 resultaron ilesos, y de los 
fallecidos se sabe que 5/6 dejaron viuda y que 
2/9	viajaban	solos.	¿Cuántos	pasajeros	sobrevi-
vieron,	si	eran	más	de	100?
Aritmética
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7. En una conferencia asistió entre un centenar de 
personas y se observa que de los varones, 3/8 
de ellos hablan inglés y 5/18 de ellos hablan 
francés.	¿Cuántas	mujeres	asistieron?
8. Un centro de salud atiende entre 150 y 200 pa-
cientes diariamente. Se sabe que 4/9 de ellos son 
varones y 2/19 de los pacientes van por primera 
vez.	¿Cuántos	de	los	pacientes	son	mujeres?
9. ¿Para qué valor de "x", el número xxx6 es divi-
sible	entre	19?
10. ¿Para qué valor de "a", el número 2a9a al divi-
dirse	entre	23	deja	como	resto	5?
11. Si 530 se representa en el sistema senario, ¿cuál 
es	la	cifra	de	unidades?
12. La cantidad de personas que asistieron a una 
función cinematográfica no pasa de 500. Si: 
2/5; 3/8 y 1/45 del total fueron con polos azu-
les, pantalones rojos y zapatillas verdes respec-
tivamente,	¿cuántas	personas	asistieron	en	total?
13. La cantidad de huevos producidos por una aví-
cola diariamente es tal que agrupando en dece-
nas, docenas y quincenas siempre sobra 7 hue-
vos.	¿Cuál	es	la	producción	diaria,	si	está	entre	
400	y	450	huevos?
14. Si: ab0ab = °221, hallar todos los valores de "b" 
que cumplan dicha condición e indicar la suma.
15. ¿Para qué valor de "x" el número x0x7 es divi-
sible	entre	71?
3Criterios de Divisibilidad
UNIDAD 4Central: 619-8100 81
Criterios de Divisibilidad
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	criterios	de	divisibilidad	o	multiplicidad.
•	 A	demostrar	los	criterios	de	divisibilidad.
•	 A	determinar	las	cifras	de	un	número	usando	los	criterios	de	divisibilidad.
Sigue el camino del 7
Para saber si un número es divisible entre 7 comenzamos en el cero:•	Recorremos	desde	él	tantas	flechas	negras	como	indique	la	primera	cifra	del	número.
•	Seguimos	la	flecha	blanca	que	salga	del	punto	al	que	hemos	llegado.
•	 Tomamos	la	segunda	cifra,	desde	el	punto	donde	nos	encontramos	y	recorremos	tantas	flechas	negras	
como indique la segunda cifra.
•	 Después	la	flecha	blanca	que	encontramos	es	el	destino.
•	 y	así	sucesivamente,	después	de	utilizar	la	última	cifra	recorriendo	las	flechas	negras	como	ella	indi-
que y el punto al que lleguemos nos dice el resto de dividir el número inicial entre 7.
6
0
1
2
34
5
¿Cómo	saber	si	el	número	2	435	es	divisible	entre	7?
Empezamos en "0" 2 flechas negras "2" flecha blanca "6" 4 flechas negras "3" flecha blanca "2" 3 flechas 
negras "5" flecha blanca "1" 5 flechas negras "6" 
Aritmética
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números.
1 2 3 4 5 6 7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17
18 19 20 21 22
23 24
25 26 27
Horizontales:
1. La suma de las dos últimas cifras de 23 578
3. Múltiplo de 97 de tres cifras
6. La suma de cifras de 193
8. Número cuya suma de cifras es 18
9. Múltiplo de 13 y 8 de tres cifras
11. Múltiplo de 12 de dos cifras
12. Dos decenas
13. Múltiplo de 7 de dos cifras
15. Suma de los cinco primeros múltiplos positivos 
de 7
16. Múltiplo de 9 de dos cifras
18. Múltiplo de 11 de dos cifras
20. Múltiplo de 13 de dos cifras
22. Múltiplo de 11 de dos cifras
23. El cuadrado de 12
24. Cubo	de	7
25. La suma de cifras de 3 457
26. Cuatro	docenas
27. Medio millar
Verticales:
1. La suma de cifras de 3 456
2. Múltiplo de 7; 8 y 10 de tres cifras
3. Dos docenas
4. Múltiplo de 13 de dos cifras
5. Cuadrado	de	35
6. Menor número de cuatro cifras diferentes
7. Una vuelta en grados sexagesimales
9. Dos docenas
10. Cuadrado	de	9
11. El complemento aritmético de 29 352
14. Número capicúa de cuatro cifras
17. Múltiplo de 7 de dos cifras
18. Cuadrado	de	11
19. Múltiplo de 12 de tres cifras
21. Múltiplo de 107 de tres cifras
22. Múltiplo de 17 de tres cifras
3Criterios de Divisibilidad
UNIDAD 4Central: 619-8100 83
Conceptos básicos
Criterios de divisibilidad
Son reglas prácticas que permiten reconocer la divisibilidad o multiplicidad de un número respecto a un 
módulo.
Síntesis teórica
abcde = °2 + e
abcde = °4 + de
abcde = °8 + cde
Las 
últimas 
cifras
CRItERIoS DE DIVISIBI-
LIDAD o MULtIPLICI-
DAD
abcde = °3 + a + b + c + d + e abcde = °9 + a + b + c + d + e
A = B . q
abcde = °5 + e
abcde = °25 + de
abcde = °125 + cde
tEoRíA DE LoS NúMERoS
Divisibilidad Multiplicidad
"A" es divisible entre "B"
"B" es divisor de "A"
"A" es múltiplo de "B"
"B" es factor de "A"
A B
q
Por 5n
Las 
últimas 
cifras
Por 2n
Sea el número abcde
Por: –3 –1 2 3 1 Por: + – + – +La suma de cifras
Por 3 y 9 Por 11Por 7
abcde = °11 + (a + c + e) – (b + d)abcde = °7 + 2c + 3d + e – 3a – b
Divisor
Aritmética
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Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el nú-
mero a231a	sea	divisible	entre	4?
2. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el nú-
mero a642a	sea	divisible	entre	8?
3. ¿Para qué valores de "a", el número 23a5 es di-
visible	entre	25?
4. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el nú-
mero a68a	sea	divisible	entre	3?
5. ¿Qué valor toma "a", para que el número 1a3a 
sea	divisible	entre	11?
6. ¿Qué valor toma "a", para que el número 2a4a 
sea	divisible	entre	7?
Aprende más
Aplicación cotidiana
La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud 
de un pulgar, y más específicamente a su primera falange.
1 pie = 12 pulgadas; 1 yarda = 3 pies; 1 milla = 1 760 yardas
1. La distancia entre dos paraderos del metropolitano es una cantidad exacta en 
pies, que expresada en pulgadas es 1x4x.	¿Cuántos	pies	de	distancia	es?
2. Alex	es	alumno	del	colegio	y	a	sus	12	años	 tiene	"n"	pies	de	estatura,	que	
expresado en pulgadas es (m + 1)0.	Calcular	"m	+	n".
Resolución de problemas
3. Calcular	"x",	si:	2x3x7 = °9
4. Determinar "x", si: 567x3 = °11
5. Calcular	"x",	si:	43x214 = °7
6. Determinar el valor de "a + b", sabiendo que el 
número aab8b es múltiplo de 5 y 9
7. Hallar "n + m", si: 2n5n8 = °9 y 8m367 = °11.
8. Hallar el mayor valor de "a + b+ c", si:
 abc = °3; cba = °5; ba = °7
9. Calcular	"x",	si:	2x45y = °72
10. Calcular	"a	+	b",	si:	a23aba = °45
11. Determinar el valor de "a + b + c", si: 
abc = 5 . a . b . c
12. Determinar el valor de "x + y", si: 
xxx37y = °88
13. Determinar el valor de "a", si: acac2c es divisi-
ble entre 72.
14. Si se tiene el numeral de la forma 8ab532 que 
es múltiplo de 99, hallar "a – b"
15. El número de la forma aa0bbc al ser dividido 
entre 4; 9 y 25 deja como residuos 2; 4 y 7 res-
pectivamente. Hallar "a".
16. ¿Cuántos	números	cumplen	que:	5a7b = °36?
¡Tú puedes!
1. Si: 3ab2(6) = 
°35 , hallar "a . b".
a) 5 b) 0 c) 8 d) 4 e) 6
3Criterios de Divisibilidad
UNIDAD 4Central: 619-8100 85
2. Los números abcd; dcba y abdc son respectivamente °25; °9 y °44.	Calcular	el	valor	de	"a	.	b	+	c	.	d".
a) 22 b) 38 c) 26 d) 40 e) 31
3. Si el numeral aab(b + 2)(7) al dividirlo entre 24 deja como residuo 18, calcule el máximo valor que 
puede tomar "a + b".
a) 9 b) 10 c) 8 d) 12 e)11
4. Si se cumple que: a3524b = °33 + 21; 5c27d4 = °99+ 35, calcular el resto de dividir abcd entre 12, 
si "a" es máximo.
a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 3
5. Si: abcd(8) . 55(8)= nmm3n, hallar el valor de "a + b + c + d + m + n"
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
Practica en casa
18:10:45
1. Determinar el valor de "x", si: 433x = °9
2. Determinar el valor de: xxx, si: y23x = °8
3. Determinar el valor de x , si: 567x3 = °11
4. Calcular	"x",	si:	x3xx7x = °9 + 2
5. Determinar el valor de "x", si: 43x67 = °11
6. Determinar la suma de los valores de "x", si: 
431x = °7
7. Determinar la suma de los valores de "x", si: 
x2341 =°7
8. Hallar "x", si: a(x – 5)3xa = °25 
9. ¿Cuántos	valores	puede	tomar	"x",	para	que	el	
número 342x4	sea	múltiplo	de	8?
10. Determinar el valor de "x", si el número: 
(2x)(x + 3)(x + 1)(x + 4) = °9
11. Determinar el valor de "a . b", si: ba34b = °45
12. Determinar el valor de "a . b", si: 1a45b = °72
13. Hallar el mayor valor de "a . b", si: 23ba5 es 
múltiplo de 125.
14. Si el número 4731a es múltiplo de 8, hallar el 
valor de "a".
15. Hallar "a", si el número 43a27 es múltiplo de 9.
86
4 Aritmética
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Números primos I
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	números	primos,	compuestos	y	simples.
•	 A	analizar	los	divisores	por	sus	características.
•	 A	reconocer	los	números	primos,	compuestos	y	simples.
•	 A	determinar	la	cantidad	de	divisores	de	un	número.
•	 A	clasificar	a	los	divisores.
¿Cómo se protege la cigarra con números primos?
Las cigarras tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles, después, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas 
después se aparean, ponen los huevos y mueren.
Las cigarras Magicicada septendecim	tienen	un	ciclo	de	vida	de	17	años,	otra	especie,	la	Magicicada tre-
decim,	aparece	cada	13	años.	La	cuestión	que	inquietaba	a	los	zoólogos	era:	¿Por	qué	el	ciclo	vital	de	la	
cigarra	es	un	número	primo	de	años?	Según	una	teoría,	la	cigarra	tiene	un	parásito	que	también	recorre	un	
ciclo	vital	de	dos	o	tres	años,	y	que	la	cigarra	está	intentando	evitar.
Como	el	ciclo	de	la	cigarra	es	de	17	años	y	la	de	los	parásitos	de	2	años,	el	parásito	y	la	cigarra	no	coincidi-
rán	durante	34	años.	Ahora	bien,	es	poco	probable	que	el	parásito	pueda	sobrevivir	pues	en	sus	apariciones	
no habrá cigarras a las cuales parasitar.
4Números primos I
UNIDAD 4Central: 619-8100 87
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números.
1 2 3 4 5
6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18 19
20 21
Horizontales:
1. Menor múltiplo de 43 de tres cifras.
3. Divisores de 6 (en orden ascendente)
6. Múltiplo de 23 de dos cifras.
7. Mayor número de cuatro cifras diferentes
9. Número capicúa de tres cifras
10. Dos docenas
11. Múltiplo de 19; 27 y 6 de cuatro cifras
13. Múltiplo de 71 de tres cifras
14. Múltiplo de 8, entre 50 y 60.
15. Divisor de 99
16. Múltiplo de 7 de dos cifras
18. Potencia de 2 de tres cifras
20. Cubo	de	8
21. Divisores de 8 (en orden ascendente)
Verticales:
1. Múltiplo de 53 de tres cifras
2. Le falta 3 para un millar
3. Divisores de 6 en desorden
4. Mayor número de cuatro cifras diferentes, me-
nor que 4 000
5. Cuadrado	de	25
8. Cuadrado	de	29
9. Menor múltiplo de 23; 2 y 11
10. Múltiplo de 7 de tres cifras
12. Cuadrado	de	9
14. 2 decenas, 1 unidad y 5 centenas
15. Múltiplo de 41 de tres cifras
17. Múltiplo de 13 de dos cifras
19. Múltiplo de 13 de dos cifras
Aritmética
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Conceptos básicos
Número primo
En este capítulo nos interesa conocer los divisores de un número, esto nos permitirá clasificarlos y conocer 
sus propiedades.
Primo o primo absoluto
Son aquellos números que tienen solo dos divisores posi-
tivos
 Ejemplo:
 Para el número 71, los únicos números que le dividen 
son el 1 y el 71, entonces el número 71 es primo.
La serie de los números 
primos es infinita:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ...
Número compuesto
Son los números con más de dos divisores
 Ejemplo:
 El número 12 tiene como divisores al 1; 2; 3; 4; 6 y 
12, como son más de dos, entonces el número 12 es 
compuesto.
Los números compuestos 
también son infinitos:
4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; .....
Números simples
Es el conjunto de números formado por los primos y la 
unidad.
Recuerda	que	el	núme-
ro "1" no es primo ni 
compuesto, se le llama 
número especial, número 
simple o divisor universal.
Números primos entre sí
Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplos:
•	 Los	números	12	y	35	son	primos	entre	sí,	porque	
el único divisor común es la unidad.
•	 Los	números	8;	9	y	25	son	primos	entre	sí	(P.E.SI),	
además son primos dos a dos porque 8 y 9 son 
P.E.SI, 9 y 25 son P.E.SI y 8 y 25 son P.E.SI.
Si "A" y "B" son P.E.SI, esto
no implica que
"A" y "B" sean primos.
•	12	y	35	son	P.E.SI
12 no es primo
35 no es primo
teorema fundamental de la Aritmética
Todo número natural tiene solo una forma de descomponer en sus factores primos, a esta se le llama des-
composición canónica.
Ejemplo:
•	 24	=	23 × 3 ⇒ Los factores primos de 24 son 2 y 3
 ⇒ Los divisores simples son 1; 2 y 3
4Números primos I
UNIDAD 4Central: 619-8100 89
Ejemplo:
•	 Hallemos	la	descomposición	de	360
360 2
Entonces: 360 = 23 × 32 × 5 ⇒ Los factores primos de 360 son 2; 3 y 5
 ⇒ Los divisores simples son 1; 2; 3 y 5
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Análisis de los divisores de un número
 Clasificación de divisores
 
Divisores simplesDivisores Divisores compuestos 
Divisores primosLa unidad
= +
+
 Cantidad de divisores
 Para utilizar esta fórmula, se usará la descomposición 
canónica del número.
 Siendo: N = aα . bb . cg
 La cantidad de divisores:
Número de divisores = (α + 1)(b + 1)(g + 1)
Para hallar la cantidad de 
divisores de un número, se 
utiliza los exponentes de la 
descomposición canónica.
Ejemplo:
•	 ¿Cuántos	divisores	tiene:	360	=	23 × 32	×	5?
 Número de divisores = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores
 De ellos cuatro son simples: 1; 2; 3 y 5
 Entonces 20 son compuestos
observaciones
 Para determinar si un número es primo
 Se debe verificar si el número tiene dos o más de dos divisores, para ello buscaremos que primo divide 
al número.
Ejemplo:
•	 191	es	primo	o	compuesto
 Analizaremos la divisibilidad de 191 entre los 
primos menores que 191 = 13, 82; enton-
ces:
 191 ≠ °2 191 ≠ °3 191 ≠ °5
 191 ≠ °7 191 ≠ °11 191 ≠ °13
 Entonces 191 es primo.
Los números primos con 
los cuales se verifica la 
divisibilidad, son menores que 
la raíz cuadrada del número.
Aritmética
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 La criba de Eratóstenes
 La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un 
número natural dado "N":
2 3 4 5 6 7
 Marcamos el 2 y tachamos los múltiplos de 2.
 Marcamos el 3 y tachamos los múltiplos de 3.
 Marcamos el 5 y tachamos los múltiplos de 5.
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
 Así estaremos determinando los números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31
Los números 
que quedan
son los números 
primos.
 tabla de divisores
 Permite encontrar todos los divisores de un número de forma ordenada y confiable
 Ejemplo:
•	 Dado	el	número:	360	=	23 × 32 × 5
 Las potencias de los factores primos son:
 1; 2; 4; 8 1; 3; 9 1; 5
 La combinación de ellas genera los divisores de 360, los cuales mostramos en la siguientetabla
Por 1 1 2 4 8
Por 3 3 6 12 24
Por 9 9 18 36 72
Por 5
5 10 20 40
15 30 60 120
45 90 180 360
 Función Euler
 Siendo: N = aα × bb × cd
 La función Euler:
yN = N 1 – 
1
a 
1 – 1
b 
1 – 1
c
 Aplicando la función Euler al número: 120 = 23 . 3 . 5
 
y120 = 120 1 – 
1
2 
1 – 1
3 
1 – 1
5
 = 32
Este número 32, 
indica la cantidad 
de números meno-
res que 120 y PESI 
con 120.
 
4Números primos I
UNIDAD 4Central: 619-8100 91
Síntesis teórica
NúMERoS	PRIMoS	ENTRE	Sí
El número 1, no es primo ni compuesto
Número que tiene 
más de dos divisores
NúMERoS PRIMoS I
Número primo Número compuesto
2; 3; 5; 7; 11; 13; ... 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; ...
Número que tiene 
solo dos divisores
Son infinitos números com-
puestos
Son infinitos números pri-
mos
Son dos o más números que tienen un 
solo divisor en común, que es la unidad.
Por ejemplo: Cantidad	de	divisores
La unidad:
1
1
4
2
4
3
Los simples
Los primos:
2; 3; 5; 7; 11; ...
Los compuestos:
4; 6; 8; 9; 10; ...
(α + 1)(b + 1)(g + 1)720 = 2
4 × 32 × 5
1 800 = 23 × 32 × 52
N = aα . bb . cg
"a", "b" y "c" son primos
teorema fundamental de la Aritmética
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. La suma de los cuatro primeros números primos 
es:
2. La suma de los cuatro primeros números com-
puestos es:
3. Completa	con	"es",	"no	es",	"son"	o	"no	son"	en	
los siguientes casos:
 1 ..................... compuesto
 198 y 199 ............. P.E.SI
 13 y 31 ............... compuestos
 2 ............... primo
 13 ............. compuesto
 27 y 11 ............ P.E.SI
4. La descomposición canónica de 2 700 es:
5. La cantidad de divisores de: N = 23 × 32 × 52 
es:
Aritmética
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Resolución de problemas
3. ¿Cuál	es	la	suma	de	los	cinco	primeros	números	
que	no	son	primos?
4. Determina la suma de los dos mayores números 
de dos cifras que son primos.
5. Determina la cantidad de divisores de: 63 × 52.
6. Determina la cantidad de divisores primos de 
10!
7. Dado el conjunto "A" formado por los divisores 
de 17 y "B" el conjunto formado por los diviso-
res de otro número primo absoluto, tal que:
 A = {3a + 5; 17; 4b – 3; b – a}
 B = {4a – b; c – 2 }.
 Hallar "a + b + c", si "a", "b" y "c" son números 
enteros positivos diferentes de 1.
8. Hallar "n", si el número: N = 2n – 2 . 3n tiene 
35 divisores.
9. ¿Cuántos	divisores	compuestos	tiene	450?
10. Hallar "n", si 12n tiene 190 divisores.
11. Si "a" es un número primo, mayor que 3, ¿cuán-
tos divisores tiene: aaa?
12. Si: N = 22 × 3a × 5b tiene 30 divisores, ¿cuán-
tos	divisores	tiene	"2N"?
13. Si: A = 72 × 72 × 72 × ... × 7214444244443
"n" veces 
tiene 648 
divisores compuestos, hallar "n"
14. Si: 4k + 2 – 4k tiene 92 divisores, ¿cuál es el 
valor	de	"k"?
15. ¿Cuántos	rectángulos	de	80	m2 de área existen, 
tal	que	sus	lados	sean	números	enteros?
16. ¿En	cuántas	cifras	cero	termina	el	número	300!?
Aprende más
Aplicación cotidiana
Existen infinitos números primos, a esta conclusión llegó Eu-
clides	alrededor	del	año	300	a.	C.	cuando	realizó	la	primera	
demostración en el libro IX de su obra "Elementos". La de-
mostración original sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de los "n" prime-
ros números primos: "p1", "p2", "p3", ..., "pn", y se considera:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
...
N = p1 . p2 . p3 . ... . pn + 1
Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos Pi de la lista. Por lo tanto será primo.
1. Utilizando	los	tres	primeros	números	primos,	¿qué	número	"N"	se	obtiene?
2. El	número:	211	=	2	×	3	×	5	×	7	+	1,	¿es	primo?
¡Tú puedes!
1. ¿En	cuántos	ceros	termina	50!?
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 10
2. Si:	60!	tiene	"n"	divisores,	¿cuántos	divisores	tiene	61!?
a) n+1 b) n+2 c) 2n d) n2 e) 3n
4Números primos I
UNIDAD 4Central: 619-8100 93
3. Si: W={a/a ∈ ; a = número compuesto, 1 < a < 10 000}
 y además, si se toma dos elementos cualesquiera del conjunto "W" se obtienen números coprimos. 
¿Cuántos	subconjuntos	ternarios	como	máximo	se	puede	tener	del	conjunto	"W"?	(Dar	como	respuesta	
la suma de sus cifras)
a) 19 b) 13 c) 5 d) 8 e) 3
4. Se sabe que N! tiene "k" divisores y que (N+1)! tiene "2k" divisores, además "N" es de dos cifras y 
múltiplo de 22. Dar como respuesta la suma de todos los valores que puede tomar "N".
a) 164 b) 174 c) 156 d) 166 e) 176
5. ¿Cuántos	divisores	cubos	perfectos	tiene	el	mayor	valor	de	"N",	si	se	sabe	que:	N	=	2x + 2 . 3x . 72 . 11 
y	la	cantidad	de	sus	divisores	cuadrados	perfectos	es	24?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
Practica en casa
18:10:45
1. Hallar la suma de los exponentes de la descom-
posición canónica del número: N = 36 000.
2. Colocar	verdadero	(V)	o	falso	(F):
•	 El	2	es	el	único	primo	par	 (			)
•	 18	y	14	son	P.E.SI	 (			)
•	 41	es	primo	 (			)
3. ¿Cuántos	divisores	primos	tiene:	
N = 34 × 25 × 113 × 72?
4. Determina la suma de cifras del mayor número 
de dos cifras que es primo.
5. Hallar la suma de los divisores primos de 420.
6. Determina el mayor número de una cifra que 
sea P.E.SI con 12
7. Sabiendo que: M = 2x . 32 . 5 tiene 24 diviso-
res, hallar el valor de "x".
8. Determina la suma de cifras del mayor número 
de tres cifras que es primo.
9. ¿Cuántos	divisores	tiene:	N	=	35	×	21?
10. El producto de los cuatro primeros números pri-
mos,	menos	uno,	¿es	primo	o	compuesto?
11. ¿Cuántos	divisores	compuestos	tiene:	
N	=	22	×	56?
12. Determina la cantidad de divisores de 303.
13. Determina la cantidad de divisores de 
N = 122 × 153.
14. Hallar "x", si 45x tiene 12 divisores compuestos.
15. Hallar la suma de los divisores primos de 3 060.
94
5 Aritmética
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Complemento
Aprende más
1. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	múltiplos	
de	2	y	5	pero	no	de	3?
2. Si el número a733a es múltiplo de 8, hallar el 
valor de "a".
3. ¿Cuántos	números	de	 tres	 cifras	 son	múltiplos	
de	8	y	terminan	su	escritura	en	6?
4. Hallar "x", si: 71x7x = °8.
5. Simplificar:
 (°7 + 1) + (°7 + 2) + (°7 + 3) + … + (°7 + 70)
6. Determinar el valor de "a . b", si ba3ab es divi-
sible entre 45
7. Determinar el mayor valor de "a . b", si a34b es 
divisible entre 56.
8. Determinar el valor de "a . b", si el número 
1a45b es divisible entre 72.
9. Un negociante tiene S/.1 500 y decide comprar 
cajas de galletas y caramelos a S/.70 y S/.80 
cada caja respectivamente. ¿De cuántas mane-
ras	se	puede	efectuar	la	compra?
10. La diferencia entre un número abc y otro cba es 
múltiplo	de	8.	¿Cuál	es	el	producto	de	las	cifras	
de uno de los números, si la suma de ambos es 
múltiplo	de	9?
11. Hallar el mayor número de la forma 54a75b 
que sea múltiplo de 56, entonces, la suma de 
sus cifras es:
12. Si 1a8b2 es múltiplo de 36 y además es el ma-
yor posible, entonces "a/b" es:
13. Un motociclista atropella a un peatón y fuga. 
Este es conducido a la asistencia pública de 
"San Antonio" y se identifica como postulante 
a la Universidad de Lima y declara que la placa 
es un número de cuatro cifras divisible por 693 
y que tiene sus dos primeras cifras iguales. La 
placa tiene por producto de cifras:
14. ¿Cuántos	 ceros	 debe	 tener:	 N	 =	 2000	 ...	 00	
para	que	admita	56	divisores?
15. Al multiplicar por 33 el numeral: A = 21 . 11n, 
se duplica su cantidad de divisores. Hallar "n".
¡Tú puedes!
1. Hallar "x", sabiendo que: x4343434x(8) es divisible entre 7.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
2. Si a44233a(7) es divisible entre 8, la suma de los valores de "a" es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Si: abcd(8) . 55(8)= nmm3n(8), hallar "a + b + c + d + m + n".
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
4. ¿Cuántos	cuadrados	perfectos	de	tres	cifras	existen,	tal	que	al	dividirlos	entre	7	el	residuo	que	se	ob-
tiene	es	4?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
5Complemento
UNIDAD 4Central: 619-8100 95
5. ¿Cuántos	divisores	menores	que	200	 tiene	el	número	aa00a, sabiendo que dos de ellos son 114 y 
1	737?
a) 12 b) 11 c) 10 d) 13 e) 15
Practica en casa
18:10:45
1. Determinar el valor de "x", si el número: 
xx(x – 1)(x + 1)(x + 2) = °9.
2. Hallar el mayor valor de "a . b", si a3ba5 es 
múltiplo de 125
3. Hallar la suma de los valores de "a", si: 
74a35 = °7.
4. Determinar el valor de "x", si: 3x4x4x5 = °11.
5. Determinar el valor de x , si: 567x3 = °11
6. Si a2abb es divisible por 77, entonces "b – a" 
vale:
7. A una fiesta asistieron 58 personas. La sexta par-
te de los varones bailan y la séptima parte de las 
damas	son	casadas.	¿Cuál	es	la	diferencia	entre	
el	número	de	varones	y	damas?
8. En un corral hay 127 animales entre conejos y 
pollos. Si el primer día se vendió los 2/13 de 
los conejos y los 7/15 de los pollos, ¿cuántos 
quedan?
9. En un salón de clases donde hay 59 alumnos, la 
octava parte de los hombres usan anteojos y la 
séptima parte de las mujeres juegan a las cartas. 
¿Cuántos	hombres	no	usan	lentes?
10. Pablo va al mercado a comprar helados y gaseo-
sas cuyos precios unitarios son 4,90 y 2,10 soles 
respectivamente. Sabiendo que compró más he-
lados que gaseosas y en total gastó 58,10 soles, 
¿cuántos	helados	compró?
11. Determinar el valor de "a + b + c", si: 
abc = 5 . a . b . c
12. Si el número a47 es múltiplo de 7 y b29 es 
múltiplo de 11, ¿cuántos números de la forma 
ab(2b)a	existen?
13. La cantidad de números de la forma 432a7b 
que son múltiplos de 45, es:
14. Hallar "x", sabiendo que: 13x62 = °7
15. Si 1a8b es múltiplo de 36 y además es el mayor 
valor posible, entonces "a/b" vale:
96
6 Aritmética
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Análisis de los divisores de un 
número
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	analizar	los	divisores	por	sus	características.
•	 A	determinar	la	suma	y	producto	de	los	divisores.
•	 A	reconocer	los	números	primos,	compuestos	y	simples.
•	 A	determinar	la	cantidad	de	divisores	de	un	número.
•	 A	determinar	la	suma	de	las	inversas	de	los	divisores
Los números de Fermat
Pierre	de	Fermat,	jurista	de	profesión	y	enamorado	de	las	Matemáticas,	fue	un	genio	de	esta	ciencia	en su época. Gracias a él se avanzó en multitud de campos pero su mayor afición fue la teoría de los números.
Dejó sin demostrar la que ha resultado ser una de las conjeturas que más tiempo se ha tardado en compro-
bar	(el	último	teorema	de	Fermat).
Pierre de Fermat.
Los	números	de	Fermat	son	de	la	forma:
Fn = 2
2n + 1; donde: n = 0; 1; 2; 3; ...
Los primeros son:
F0 = 2
20 + 1 = 3
F1 = 2
21 + 1 = 5
F2 = 2
22 + 1 = 17
Fermat,	basándose	en	estos	datos,	conjeturó	que	todos	los	números	Fn eran primos, pero, como era cos-
tumbre en él, no dejó ninguna demostración del hecho.
Años	después	de	su	muerte,	exactamente	en	1732,	como	en	casi	todos	los	genios,	se	descubrió	que	tam-
bién	Fermat	había	fallado.	Leonhard	Euler	demostraba	que	F5 era compuesto:
F5 = 2
25 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
6Análisis de los divisores de un número
UNIDAD 4Central: 619-8100 97
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números.
1 2 3 4 5
6 7
8 9 10 11
12 13 14 15 16
17 18 19
20 21 22
23 24 25
Horizontales:
1. Potencia de 2 de tres cifras
3. Los cuatro primeros números primos en orden 
ascendente
6. Suma de los divisores simples de 220
7. Complemento	aritmético	de	528
8. Cuadrado	de	31
10. Múltiplo de 7 de dos cifras
11. ¿Cuántos	divisores	tiene	un	número	primo?
12. Menor número primo de dos cifras
14. Primeros números primos, de menor a mayor
16. Mayor número primo de dos cifras
17. Número capicúa de tres cifras
18. Múltiplo de 12; 20 y 50 de tres cifras
20. Cuadrado	de	21
21. Número capicúa de cuatro cifras
23. Mayor número de cinco cifras pares diferentes
25. Múltiplo de 45 de dos cifras
Verticales:
1. Cuadrado	de	13
2. Cuadrado	de	9
3. Número primo, cuya suma de cifras es 11
4. Cubo	de	7
5. Seis docenas
9. Número capicúa de cuatro cifras
10. Múltiplo de 53 y capicúa de tres cifras
11. Suma de los 4 primeros números compuestos
12. Divisores de 8 en forma ascendente.
13. Suma de los cuatro primeros números primos.
15. Cinco	millares	más	medio	centenar
16. Nueve decenas
19. Una docena
21. Múltiplo de 11 de dos cifras
22. Número primo de dos cifras
24. Cantidad	de	divisores	de	15
Aritmética
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Conceptos básicos
Análisis de los divisores de un número
 Clasificación de divisores
 
Divisores simplesDivisores Divisores compuestos 
Divisores primosLa unidad
=
+
+
 Ejemplo:
 Para el número 30, sus divisores son:
 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30	 	 123	 1442443
	 	 Primos	 Compuestos	 144424443	
 Simples
Analizar los
divisores compuestos, 
implica conocer el 
total y los simples
Síntesis teórica
ANáLISIS	DE	DIVISoRES
Número que tiene más de 
dos divisores
NúMERoS PRIMoS II
Número primo Número compuesto
teorema fundamental 
de Aritmética Con los divisores
Número que tiene solo 
dos divisores
Fórmulas	usando	la	descom-
posición canónica
N = aα . bb . cg
"a", "b" y "c" son primos
P = N#D
SInv = 
SD
N
Cantidad	de	divisores
Producto de divisores
Suma de divisores
Suma de las inversas
La unidad:
1
1
4
2
4
3
Los simples
Los primos:
2; 3; 5; 7; 11; ...
Los compuestos:
4; 6; 8; 9; 10; ...
#D = (α + 1)(b + 1)(g + 1)
SD = 
aα + 1 – 1
a – 1 
bb + 1 – 1
b – 1 
cg + 1 – 1
c – 1
6Análisis de los divisores de un número
UNIDAD 4Central: 619-8100 99
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Utiliza la criba de Eratóstenes para determinar 
los números primos en el siguiente grupo:
2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
2. La descomposición canónica de: N = 103 × 64 
es:
3. La descomposición canónica de: A = 45n × 12 
es:
4. Para el número 12: 
•	 Sus	divisores	son:
•	 El	número	de	divisores	es:
•	 La	suma	de	sus	divisores	es:
•	 El	producto	de	sus	divisores	es:
•	 La	suma	de	las	inversas	de	sus	divisores	es:
5. Con	respecto	al	número	N	=	23 × 32 × 52:
•	 La	cantidad	de	divisores	es:
•	 La	cantidad	de	divisores	°2 es:
•	 La	cantidad	de	divisores	°5 es:
Aprende más
1. Determina la cantidad de divisores de 12 000, 
que son múltiplos de 6.
2. Calcular	 el	 valor	de	 "n",	 si:	12n . 28 tiene 72 
divisores.
3. Hallar "n", si 189n tiene 133 divisores.
4. ¿Cuántos	divisores	de	40	500	son	impares?
5. ¿Cuántos	divisores	de	79	200	son	múltiplos	de	
12?
6. ¿Cuántos	divisores	de	5	040	no	son	°6?
7. ¿Cuántos	divisores	de	113	400	terminan	en	1;	
3;	7	ó	9?
8. Un número es perfecto, cuando la suma de sus 
divisores propios es igual al número. Entonces 
de los números 6; 8; 15 y 28, ¿cuántos son per-
fectos?
9. ¿Cuál	es	el	menor	número	impar	que	posee	10	
divisores?
10. Se dice que un número es abundante, cuando la 
suma de sus divisores propios es mayor que el 
número. Entonces de los números 12; 15; 20 y 
23,	¿cuántos	son	abundantes?
11. ¿Cuál	es	el	menor	número	que	tiene	30	diviso-
res?	Dar	como	respuesta	el	residuo	al	dividirlo	
entre 7.
12. Se dice que un número es escaso, cuando la 
suma de sus divisores propios es menor que el 
número. Entonces de los números 12; 15; 30 y 
13,	¿cuántos	son	escasos?
13. Hallar el menor número de tres cifras divisible 
por 6 que posea 21 divisores. Dar como res-
puesta la suma de sus cifras.
14. Hallar el menor número que tiene 15 divisoresy que es múltiplo de 15. Dar como respuesta la 
suma de sus cifras.
15. Con	respecto	al	número	3	600,	¿cuántos	de	sus	
divisores	no	son	divisibles	entre	12?
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¡Tú puedes!
1. Se dice que "A" y "B" son amigos, porque "B" es la suma de divisores propios de "A" y "A" es la suma 
de	los	divisores	propios	de	"B".	De	los	números	220;	270;	284	y	250,	¿quiénes	son	amigos?
a) 220 y 270 b) 270 y 284 c) 220 y 284 d) 270 y 250 e) Ninguna pareja
2. Si la descomposición canónica de "N" es a(b + 1) . ba . (a – 1)a y tiene 140 divisores compuestos, de-
terminar la suma de los divisores propios de mn, si mn es la diferencia entre la cantidad de divisores 
pares y la cantidad de divisores impares de "N".
a) 9 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7
3. Determine el número abcd que tiene 10 divisores y además: 12a + 9b + 10c + d = 130. Dar como 
respuesta: a + b + c + d.
a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20
4. Determinar la suma de divisores múltiplos de 15 pero no de 7 de un número, si este tiene 4 divisores 
simples, 18 divisores múltiplos de 15, 18 divisores múltiplos de 35 y 16 divisores múltiplos de 21.
a) 1 870 b) 1 860 c) 1 670 d) 1 760 e) 1 680
5. Un número posee 12 divisores y tiene como factores primos solamente a sus cifras (siendo esta canti-
dad la máxima posible). Indicar el máximo exponente de 5, contenido en el factorial de dicho número.
a) 182 b) 180 c) 178 d) 172 e) 192
Practica en casa
18:10:45
•	 Enunciado	para	las	preguntas	del	1	al	3.	Para	el	
número 1 296, calcular:
1. Cantidad	de	divisores.
2. Suma de divisores.
3. Producto de divisores.
4. ¿Cuántos	divisores	tiene	648?
5. Determinar el número de divisores de 1 260.
6. ¿Cuántos	divisores	tiene	1a3a, si uno de sus di-
visores	primos	es	11?
7. Determinar el exponente al que hay que elevar 
el número 15, para que el resultado tenga 64 
divisores.
8. ¿Cuántos	divisores	tiene	3	240?
9. ¿Cuántos	divisores	de	8	100	son	divisibles	entre	
4?
10. ¿Cuántos	divisores	de	79	200	son	múltiplos	de	
22?
11. ¿Cuántos	divisores	de	40	500	son	múltiplos	de	
15?
12. Determina la suma de los divisores de 360.
13. ¿Cuántos	divisores	de	5	040	son	múltiplos	de	6?
14. Determina el producto de los divisores de 124.
15. Determina la suma de las inversas de los divi-
sores de 120.
7máximo común divisor y mínimo común múltiplo
UNIDAD 4Central: 619-8100 101
máximo común divisor y 
mínimo común múltiplo
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	divisores	y	múltiplos	comunes	de	dos	o	más	números.
•	 A	usar	los	métodos	para	determinar	el	máximo	común	divisor	y	el	mínimo	común	múl-
tiplo.
•	 A	determinar	que	los	divisores	del	MCD	son	los	divisores	comunes	de	los	números.
•	 A	determinar	que	los	múltiplos	del	mcm	son	los	múltiplos	comunes	de	los	números
•	 A	reconocer	el	uso	del	MCD	y	mcm.
•	 A	relacionar	con	número	de	cortes,	partes	y	estacas.
Dos colosos orbitando la tierra
La Estación Espacial Internacional (ISS por sus siglas en inglés) empezó a ser construida en 1998. Hasta el momento el proyecto ha llegado a aproximadamente un 40% de su construcción final.
La idea de la construcción de una Estación Espacial 
se	concibió	en	la	década	de	los	80's	cuando	Estados	
Unidos se enteró de la construcción de una platafor-
ma similar por parte de la entonces Unión Soviéti-
ca. Pero no fue hasta mediados de la década de los 
90's	 que	 Estados	Unidos	 logra	 finalmente	 elaborar	
un proyecto coherente técnica y económicamente, 
éste requería la colaboración de otros países cada 
uno de los cuales aportaría con lo mejor de la tecno-
logía que poseía, fue así como se lograron acuerdos 
con otros 15 países de Europa, Asia, Norteamérica y 
Sudamérica.
Actualmente la Estación está en fase operativa pero sin el 
100% de su infraestructura construida, se tiene planifica-
do que a fines del 2010 la Estación contará con el 100% 
de	su	infraestructura	en	órbita.	El	diseño	final	contempla	
laboratorios de investigación estadounidenses, europeo y 
colaboraciones de investigación entre todos los países en 
materias que van desde estudios sobre la cristalización de 
las proteínas, pasando por los efectos de la polución del 
aire y el agua, el comportamiento medio ambiental de la 
Tierra y la vida a gravedades mínimas.
Para	el	año	2010	la	Estación	Espacial	Internacional	tendrá	
las siguientes características: Ancho: 108 metros; largo: 80 
metros
En	los	últimos	años	la	Estación	ha	provocado	ciertas	controversias	debido	fundamentalmente	al	inicio	del	
denominado "turismo espacial" tanto así que en la actualidad existe un proyecto en fase de estudio que tie-
ne previsto habilitar un "hotel" en el espacio para turistas que puedan pagar un tour (se prevé que el precio 
mínimo sería de unos 10 millones de dólares estadounidenses).
• 	 ¿Cuál	es	la	velocidad	de	desplazamiento	de	la	estación	espacial	si	da	una	vuelta	completa	a	la	Tierra	
en	92	minutos?
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números.
1 2 3 4 5
6
7 8 9 10
11 12 13
14 15 16
17 18 19
20 21 22
Horizontales:
1. Número capicúa múltiplo de 35
4. Menor número múltiplo de 7; 5 y 3
6. Cubo	de	8
7. Dos docenas de decenas
9. Primer número primo de tres cifras
11. Múltiplo de 9 de cuatro cifras
13. Múltiplo de 37 y 3 de tres cifras
15. Menor número de cuatro cifras diferentes
17. Cubo	de	20
18. Medio millar y una decena
20. Factorial	de	6
21. Múltiplo de 11 de dos cifras
22. Número cuadrado perfecto
Verticales:
1. Número capicúa de cuatro cifras múltiplo de 5 
pero no de 3
2. Múltiplo de 5 y 3
3. Número capicúa de cuatro cifras
4. Factorial	de	5
5. Número de seis cifras consecutivas y decrecien-
tes
8. Cuadrado	de	21
10. Una docena
12. 4 millares
13. Los cuatro primeros números primos
14. Mayor número de tres cifras diferentes
16. Múltiplo de 9 de tres cifras
19. Una docena
7máximo común divisor y mínimo común múltiplo
UNIDAD 4Central: 619-8100 103
Conceptos básicos
Máximo común divisor
De	los	divisores	comunes	de	dos	o	más	números,	el	mayor	"MCD"	es	importante	por	sus	propiedades,	una	
de ellas es que permite determinar todas las características de los divisores comunes.
Métodos para calcular el MCD
 Descomposición simultánea
 Ejemplo:
•	 Cálculo	del	MCD	de	los	números:	1	890;	1	350	y	2	160
1890 1350 2160 10
El	MCD	es	270
189 135 216 3
63 45 72 3
21 15 24 3
7 5 8
Los divisores de 270, 
son los divisores 
comunes de 1 890; 
1 350 y 2 160.
 Descomposición canónica
 Ejemplo:
•	 Cálculo	del	MCD	de	los	números:	1203 y 1802
 Descomponiendo a los números:
 1203 = (23 × 3 × 5)3 = 29 × 33 × 53.
 9802 = (22 × 72 × 5)2 = 24 × 74 × 52.
Recuerda	solo	los	
factores comunes 
forman parte del 
MCD.
	 Los	factores	comunes	con	su	menor	exponente	es	el	MCD	=	24 × 52 = 400
Mínimo común múltiplo
De los múltiplos comunes de dos o más números, el menor "mcm" es importante por sus propiedades, una 
de ellas es que permite determinar todas las características de los múltiplos comunes.
Métodos para calcular el mcm
 Descomposición simultánea
 Ejemplo:
•	 Cálculo	del	mcm	de	los	números:	180;	150	y	216
180 150 216 2
El mcm es 5 400
Los múltiplos de 5 400, 
son múltiplos comunes 
de 180; 150 y 216
90 75 108 3
30 25 36 3
10 25 12 2
5 25 6 5
1 5 6 2
5 3 3
5 1 5
1
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 Descomposición canónica
 Ejemplo:
•	 Cálculo	del	mcm	de	los	números:	1203 y 1802
 Descomponiendo a los números:
 1203 = (23 × 3 × 5)3 = 29 × 33 × 53.
 9802 = (22 × 72 × 5)2 = 24 × 74 × 52.
Todos los factores, 
comunes y no comunes 
forman parte del mcm
 Todos los factores con su mayor exponente es el mcm = 29 × 33 × 74 × 53
AplicacionesSe	recomienda	que	primero	debas	decidir	si	en	el	problema	se	usará	el	MCD	o	el	mcm,	para	ello	tener	
presente:
Si	el	problema	requiere	los	divisores	se	calculará	el	MCD	y	si	usaremos	los	múltiplos	el	mcm.
 Ejemplos:
•	 Para	enlosetar	el	piso	de	una	habitación	de	24	m	de	largo	por	18	m	de	ancho	con	losetas	cuadra-
das,	¿cuántas	losetas	como	mínimo	se	requieren?
24 m
MCD = 6 m 18 m
El	MCD	de	18	y	24	es	6	metros,	esta	será	la	medida	del	lado	de	cada	
loseta.
Para hallar el número de losetas:
Área total
Área de cada loseta 
= 18 × 24
6 × 6
 = 12 losetas
•	 Utilizando	losetas	rectangulares	de	12	cm	por	18	cm,	se	desea	formar	el	cuadrado	más	pequeño,	
¿cuántas	losetas	se	requieren?
18 cm
mcm = 36 cm
12 cm
 El mcm de 12 y 18 es 36 cm
 El número de losetas:
 
Área total
Área de cada loseta 
= 36 × 36
12 × 18
 = 6 losetas
•	 La	cantidad	de	huevos	que	vienen	en	una	caja	está	entre	150	y	180.	Si	se	agrupan	por	decenas	
sobran 3 huevos, si se agrupan por docenas sobran 5 huevos y agrupando por quincenas sobran 8 
huevos.	¿Cuál	es	el	número	de	huevos?
	 Cantidad	de	huevos	"N":
N =
°10 + 3 = °10 – 7
°12 + 5 = °12 – 7
°15 + 8 = °15 – 7
⇒ N = °60 – 7
 El mínimo común múltiplo de 10; 12 y 15 es 60, entonces:
 N = °60 – 7 = 60(3) – 7 = 173 huevos
7máximo común divisor y mínimo común múltiplo
UNIDAD 4Central: 619-8100 105
Síntesis teórica
Los múltiplos de:
12: 12; 24; 36; 48; 60; 72; ...
18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; ...
Los comunes son: 36; 72; ...
El mcm = 36
MáxIMo CoMúN DIVISoR
MíNIMo CoMúN MúLtIPLo
MCD mcm
Los divisores de:
12: 1; 2; 3; 4; 6; 12
18: 1; 2; 3; 6; 9; 18
Los comunes son: 1; 2; 3; 6
El	MCD	=	6
Solo los 
factores 
comunes
Los factores 
comunes 
con su me-
nor expo-
nente
Todos los 
factores
Todos los 
factores 
con su ma-
yor expo-
nente
Formas de calcular el MCD Formas de calcular el mcm
Descomposición 
simultánea
12 – 18 2
MCD
6 9 3
2 3
Descomposición 
canónica
A = 22 × 34 × 53
B = 23 × 52 × 72
MCD	=	22 × 52
Descomposición 
simultánea
12 – 18 2
mcm
6 9 3
2 3 2
1 3 3
1
Descomposición 
canónica
A = 22 × 34 × 53
B = 23 × 52 × 72
mcm = 23×53×34×72
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Calcular	 el	mínimo	común	múltiplo	de	105	y	
350
2. Calcular	el	máximo	común	divisor	de	los	núme-
ros 168; 216 y 300.
3. Calcular	el	máximo	común	divisor	de:
A = 23 × 34 × 52 y B = 25 × 53 × 73
4. Calcular		el		mínimo	común	múltiplo	de:
A = 23 × 34 × 52 y B = 25 × 53 × 73
5. Calcular	el	mínimo	común	múltiplo	de:
A = 23n + 1 . 3n + 2 . 52n + 1 y B = 23n . 52n + 3 . 73n
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Aprende más
Aplicación cotidiana
Flotando	a	360	kilómetros	de	altura,	están	415	toneladas	de	cables,	interrup-
tores y aleaciones. Se trata del mayor y más complejo proyecto científico 
internacional de la historia la "Estación Espacial Internacional (ISS)". Da una 
vuelta a nuestro planeta cada 92 minutos.
El Telescopio espacial Hubble (HST por sus siglas en inglés), fue puesto 
en órbita el 24 de abril de 1990, y gira alrededor de la Tierra a 593 km de 
altura, con un período orbital de 96 minutos. El telescopio puede obtener 
imágenes con una resolución óptica de 2.0 mega pixeles.
1. ¿Cuántas	vueltas	completas	da	el	Telescopio	Hubble	en	un	día?
2. Si la Estación Espacial Internacional y el Telescopio Espacial 
Hubble a las 00:00 horas de cierto día estaban en fase, ¿cuál será 
la	próxima	vez	que	estarán	en	fase?
3. ¿Cuántas	veces	estarán	en	fase	durante	una	semana?
Resolución de problemas
4. ¿Cuántos	divisores	comunes	tienen	los	números	
2	400	y	3	200	?
5. ¿Cuál	es	el	menor	número	que	dividido	por	30;	
64	 y	 84	 nos	 de	 siempre	 una	 división	 exacta?	
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
6. El mcm de los números 24k; 18k y 12k es 360. 
El mayor de los números es:
7. Se han dividido tres barras de acero de longi-
tudes 540; 480 y 360 mm en trozos de igual 
longitud,	siendo	esta	 la	mayor	posible.	¿Cuán-
tos	trozos	se	han	obtenido?
8. En una empresa trabajan 180 empleados. Se se-
lecciona un grupo de ellos, notándose que si se 
les agrupa de 8 en 8; de 10 en 10 ó de 12 en 12 
siempre sobra 1. Hallar la suma de las cifras del 
número de empleados no seleccionados.
9. Se desea construir un prisma rectangular recto 
de dimensiones 135; 189 y 261 m respectiva-
mente, con la menor cantidad de ladrillos cúbi-
cos de dimensiones enteras de metros posible. 
¿Cuántos	ladrillos	se	utilizarán?
10. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capa-
cidad 72; 24; 56 y 120 galones respectivamen-
te, ¿cuál es la máxima capacidad del balde que 
puede	usarse	para	llenarlos	exactamente?
11. Sean los números:
 A = 28 × 312 × 54
 B = 25 × 38 × 510 × 710
	 si	el	MCD(A;	B)=2x . 3y . 5z, ¿cuántos divisores 
tiene	el	MCD?
12. Sean los números: A = 22 × 32 × 54
 B = 23 × 33 × 52 × 79
 Si el mcm(A; B) = 2x . 3y . 5z . 7w, determina la 
cantidad de divisores compuestos del mcm.
13. Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 
360 chocolatines entre el mayor número de ni-
ños,	de	tal	modo	que	cada	uno	reciba	un	núme-
ro exacto de cada uno de esos elementos. ¿Qué 
cantidad	recibe	cada	uno	de	los	niños?
14. Cuatro	buques	parten	para	el	mismo	destino:	el	
primero, cada 10 días; el segundo, cada 8 días; 
el tercero, cada 9 días y el cuarto cada 15 días. 
¿Cuántos	 días	 transcurren	 entre	 dos	 salidas	 si-
multáneas	consecutivas?
15. Se desean acondicionar 1 830 latas de aceite 
y 1 170 latas de pescado en un cierto número 
de cajones que contengan el mismo número de 
latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las la-
tas.	¿Cuál	será	el	mayor	número	posible	de	latas	
que	puedan	ponerse	en	cada	cajón?
7máximo común divisor y mínimo común múltiplo
UNIDAD 4Central: 619-8100 107
¡Tú puedes!
1. Si se define: n! = n(n – 1)(n – 2) ... × 3 × 2 × 1
 Por ejemplo: 3! = 3 × 2 × 1
 Entonces, calcular el mcm de (10!)(18!) y (12!)(17!)
a)
 
(18!)(12!)
61 
b) (18!)(17!) c) (12!)(18!)
31
 d) (12!)(18!) e) (18!)(17!)
61
2. Se trata de formar un cubo compacto utilizando ladrillos cuyas dimensiones son 20; 15 y 6 cm. Si el 
número	de	ladrillos	es	el	más	cercano	a	6	000,	¿cuál	fue	la	arista	del	cubo?
a) 120 b) 180 c) 240 d) 300 e) 360
3. El mcm de dos números es 720. Si estos números poseen 15 y 16 divisores respectivamente, hallar la 
suma	de	cifras	de	su	MCD.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
4. ¿Cuántos	divisores	posee	el	MCD	de	7!	y
 
a + 1
a
(a + 8)!?
a) 60 b) 48 c) 28 d) 50 e) 40
5. Si	el	MCD	de	los	números	(a + 1)(a + 5)(a + 3) y (b + 1)(b + 6)(b + 2) es 24, hallar su mcm.
a) 2 212 b) 3 452 c) 2 114 d) 2 432 e) 4 224
1. Determina el menor múltiplo común de 24 y 
18.
2. Sumar los cuatro primeros múltiplos comunes 
positivos de 15 y 18.
3. Hallar	la	suma	de	cifras	del	MCD	de	420;	640	
y 720.
4. Hallar la cifra de mayor orden del mcm de 420; 
660 y 720.
5. Sean los números:
 A = 28 × 312 × 54
 B = 25 × 38 × 510 × 710
	 Si	el	MCD(A;	B)	=	2x . 3y . 5z, hallar "x+y+z".
6. Sean los números:
A = 28 × 312 × 54
B = 25 × 38 × 510 × 710
Practica en casa
18:10:45
 Si el mcm(A; B) = 2x . 3y . 5z . 7w, hallar 
"x + y + z + w".
7. ¿Cuántos	divisores	comunes	de	72	y	180	son	de	
dos	cifras?
8. ¿Cuántos	divisores	comunes	de	216	y	162	son	
impares?
9. Calcular	el	mínimo	común	múltiplo	de	4;	6;	8;	
10; 12 y 14.
10. Calcular	el	mcm	de	tres	números	pares	conse-
cutivos que suman 54.
11. Hallar	 cuántos	 divisores	 tiene	 el	MCD	de	 24;	
32 y 56.
12. Se desea dividir exactamente tres cintas de 78; 
102 y 114 cm de longitud, en pedazos iguales 
de	la	mayor	longitud	posible.	¿Cuál	es	esa	lon-
gitud?
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www.trilce.edu.pe10813. Se tiene un libro cuyo número de páginas tiene 
esta propiedad: si se cuentan de 3 en 3; de 4 en 
4 y de 6 en 6 siempre sobra 1. Determinar el nú-
mero de páginas del libro, si está comprendido 
entre 240 y 260.
14. En	 un	 rebaño	 de	 ovejas	 se	 forman	 grupos	 de	
8 en 8; de 10 en 10; de 12 en 12 y de 14 en 
14 y siempre sobran 5. Si el número de ovejas 
está comprendido entre 4 000 y 4 500, ¿cuántas 
ovejas	sobrarán,	si	se	forman	grupos	de	9	en	9?
15. Si el mínimo común múltiplo de:
 A = 26 – x. 34 + x . 55 + x
 B = 24 – x . 54 + x . 75 – x
 es: 2m . 3n . 5p . 7q, hallar "m + n + p + q"
8repaso
UNIDAD 4Central: 619-8100 109
repaso
Aprende más
1. Del 1 al 1 500, ¿cuántos son múltiplos de 5 
pero	no	de	9?
2. ¿Qué número siempre será divisor de 
ab(4a)(4b)?
a) 13 b) 15 c) 17 
d) 19 e) 31
3. A una convención de profesionales asistieron 
400 personas entre americanos y europeos. En-
tre los europeos, los 2/7 son médicos, los 1/6 
son	ingenieros	y	los	3/5	son	abogados.	¿Cuán-
tos	americanos	asistieron	a	dicha	convención?
4. Un fin de semana salieron de paseo varios salo-
nes del colegio. Un alumno deseando calcular 
la cantidad de mujeres, observó que de ellas, 
la quinta parte fueron con falda, la séptima par-
te con pantalón y la onceava parte fueron con 
ropa deportiva. Si en total fueron 700 alumnos, 
¿cuántas	chicas	fueron	con	falda?
5. Determine la cantidad de divisores del factorial 
de 7.
6. Si el número: N = 2x . 3y . 52 tiene 227 diviso-
res compuestos, hallar el valor de "x + y"
7. ¿Cuántos	divisores	de	 tres	millones	 son	múlti-
plos	de	6?
8. ¿Cuántos	de	 los	divisores	de	43 . 92 son com-
puestos?
9. ¿Cuántos	divisores	comunes	tienen	los	números	
1	200;	1	500	y	1	800?
10. ¿Cuántos	 números	 de	 cuatro	 cifras	 se	 pueden	
dividir	entre	12;	15;	18	y	20?
11. Hallar "a + b", si: 7457a = °8 y 2b3b7 = °9.
12. Calcular	el	valor	de	"a	+	b"	si:	ab0ab = °99
13. Si a un número se le divide entre 11, se obtiene 
7 de residuo y cuando se le divide entre 10, 
se	obtiene	5	de	residuo.	¿Cuál	es	el	residuo	de	
dividir	dicho	número	entre	110?
14. Hallar "a + b", si: 534a2 = °11 y 1b764 = °7.
15. Calcular	"a	+	b",	si:	a23aba = °45
¡Tú puedes!
1. Hallar "a + b + c + n", sabiendo que: abc(5) = cbn(6) (todas las cifras son significativas).
a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20
2. Si: 8B + 1 = A2
 mcm(A; B) = 3 720
 Hallar: A + B
a) 131 b) 151 c) 170 d) 141 e) 149
3. Si la escritura del número: 30n × 15n + 1 × 6n + 2 termina en 8 ceros, calcular la suma de divisores 
de nnn.
a) 1 466 b) 1 567 c) 1 268 d) 1 482 e) 1 370
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe110
4. 280	al	ser	representado	en	base	"n"	termina	en	8.	Calcule	cuántos	valores	puede	tomar	"n".
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
5. Encontrar un número de tres cifras que sea igual al producto de sus cifras. Dar como respuesta la suma 
de sus cifras.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
Practica en casa
18:10:45
1. Calcular	"n",	para	que	el	número	9	.	12n tenga 
150 divisores.
2. Hallar el valor de "n", para que el número 
25 . 45n tenga 117 divisores.
3. ¿Cuántas	veces	habrá	que	multiplicar	por	doce	
al número 420, para que el producto tenga 180 
divisores?
4. ¿Cuántos	 ceros	 debe	 tener	 2000...	 ...000	para	
que	admita	56	divisores?
5. María colecciona cromos de futbolistas. Si los 
ordena de 5 en 5 ó de 3 en 3 siempre le sobran 
2, en cambio si los ordena de 2 en 2 no le sobra 
ninguno.	 ¿Cuántos	 cromos	 tiene	María,	 si	 son	
menos	de	50?
6. Para realizar una encuesta de Matemática, Ma-
riana sale cada 2 días, Natalia cada 6 días y An-
drés cada 3 días. Si los tres se encontraron, el 
viernes 4 de julio, ¿en cuántos días más volve-
rán	a	encontrarse?
7. ¿Cuál	es	el	menor	número	que	al	dividirlo	sepa-
radamente entre 15; 20; 36 y 48, en cada caso, 
da	resto	9?	Dar	la	suma	de	sus	cifras
8. En un corral hay 70 animales entre conejos y po-
llos. Si el primer día se vendió los 3/11 de los co-
nejos y los 2/13 de los pollos, ¿cuántos animales 
quedan?
9. Sabiendo que 28a13b es divisible entre 36, cal-
cular el mayor valor de "a + b".
10. En un barco en el que viajaban 312 personas 
ocurre un accidente en el cual mueren algunos 
pasajeros. Se sabe que de los sobrevivientes 1/4 
son casados y que los 3/10 resultaron ilesos, y 
de los fallecidos se sabe que 5/6 dejaron viuda 
y	que	2/9	viajaban	solos.	¿Cuántos	pasajeros	so-
brevivieron?
11. ¿Qué cifras deben sustituir al 2 y al 3 en el nú-
mero	52	103,	para	que	sea	múltiplo	de	72?
12. Sabiendo que: aba2b = °9, hallar el valor de 
"a + b".
13. El	MCD	de	los	números	a15b y cbbd es 72, ha-
llar "a + b + c + d".
14. Si: abc = °8; bca = °5 y ab = °17.
 Hallar "a + b + c".
15. Hallar "k", si mcm(12k; 18k; 20k) = 1 080.