Geometria 7

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APRENDIZAJES ESPERADOS
A	continuación	mostramos	una	imagen	que	entre	otras	cosas	nos	sirve	para	el	seguimiento	del	desplazamiento	de	las	tormentas	y	huracanes.	Este	es	un	mapa	situado	en	un	plano	coordenado	de	la	península	del	Caribe	con	las	coordenadas	geográficas	de	cada	punto.	Uno	de	los	objetivos	del	mapa	es	que	los	usuarios	de	internet	puedan	imprimirlo	y	dar	seguimiento	escrito	en	papel	
al	huracán,	aún	en	caso	de	pérdida	de	comunicaciones	de	datos.	Otros	de	los	usos	es	el	de	saber	qué	
áreas	podrían	verse	afectadas.
SEGUIMOS CON EL AGRADABLE 
TEMA DE ÁREAS Y LAS 
COORDENADAS
Comunicación matemática
•	 Identificar	los	polígonos	y	elementos	que	intervienen	en	la	comparación	de	sus	áreas.
•	 Identificar	los	elementos	en	un	plano	coordenado	y	el	cálculo	en	ellos.
Resolución de problemas
• Calcula	con	los	datos	disponibles,	las	relaciones	entre	áreas,	las	partes	circulares	y	los	cálculos	
haciendo	uso	de	los	planos	cartesianos.
• Formula	 estrategias	 de	 resolución	 en	 diferentes	 tipos	 de	 problemas	 donde	 se	 calcule	 áreas	
circulares,	relaciones	y	el	uso	de	las	coordenadas	rectangulares.
UNIDAD 1UNIDAD 7
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1
En	 la	 antigüedad,	 se	 plantearon	 varios	problemas	 famosos,	 uno	 de	 ellos	 era	 la	
denominada	 cuadratura	 del	 círculo.	 Este	
problema	 es	 irresoluble	 por	 Geometría	 y	
consiste	en	hallar	_con	solo	regla	y	compás_	
un	cuadrado	que	posea	un	área	que	sea	igual	
a	la	de	un	círculo	dado.
La	 resolución	 de	 este	 problema	 trató	 de	
abordarse	repetidas	veces,	sin	éxito,	desde	la	
antigüedad	clásica	hasta	el	siglo	XIX.	Hablando	
en	sentido	figurado,	se	dice	de	algo	que	es	la	
"cuadratura	 del	 círculo"	 cuando	 representa	
un	 problema	 muy	 difícil	 o	 imposible	 de	
resolver.
Relaciones de
áreas
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	tipos	de	polígonos	y	los	elementos	que	intervienen	en	la	comparación	de	sus	
respectivas	áreas.
•	 A	reconocer,	diferenciar	y	aplicar	las	propiedades	de	las	relaciones	de	áreas,	en	la	resolución	de	
problemas.
p .	R2
b2
4 2
1 3
1
4
2
3
Cuadratura de un triángulo
Por	otra	parte,	se	trabajó	en	las	cuadraturas	de	algunos	polígonos.	La	siguiente	figura	nos	muestra	
una	manera	muy	 interesante	 de	mostrar	 la	 cuadratura	 de	 un	 triángulo,	 se	 observa	 cuatro	 cortes	
realizados	en	el	triángulo	de	modo	que	encajan	perfectamente	en	un	cuadrado.
•	 ¿Podría usarse estos 
cortes del triángulo 
como un aporte lúdico 
en matemática?
1
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Unidad VII
Geometría
Conceptos básicos
1.ra Relación
BF	 	Ceviana AF 	 	Ceviana
S1
S2
a
b
=
S1
S2
m
n
=
m
n
F
A C
B
S1
a bF
A C
B
S1 S2 S2
n 3n
DA C
B
S 3S
BD	 	Ceviana
4.ta Relación 5.ta Relación
6.ta Relación
MA C
B
S S
2.da Relación
BM	 	Mediana
A C
B
S
S
M N
P
S
S
A C
B
S
SS
S
S S
3.ra Relación
G	 	Baricentro
G
S= Área	 ABC
4
=
S1
S2
a.b
m.n
= = = ...=K2
S1
S2
a2
b2
h1
h2
2
2
También:
Si:	aº=qº		ó		aº+qº=180º
A C
B
3S
M N
S
aº
aº
qº
qº
S1 S2
h1 h2
MN	//	AC
m n
S2
qº
a
b
S1
aº
a
b
Si:	 1	 	 2
21
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Relaciones áreas
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Geometría
En	todo	cuadrilátero	convexo:
En	todo	cuadrilátero:
En	el	trapecio
Para	un	paralelogramo
Si:	"M",	"N",	"P"	y	"Q"	son	puntos
					medios	de	los	lados	
					 MNPQ	es	un	paralelogramo
Además:			X=
Área ABCD
2
	
A	.	B=x	.	y
BC	//	ADB C
A
S1
S1	=S2
S2
D
B C
A
x
A	=( x+ y)
2
y
D
7.ma Relación
8.va Relación
9.na Relación
10.ma Relación
A B
y
x
A	.	B=x	.	y
A= x=
B=
Luego:	A	.	B= ah
2
	.	bH
2
Ordenando:	A	.	B=aH
2
	.	 bh
2
y=
Demostración:
A
h
B
H
y
xa
b
ah
2
aH
2
bH
2
bh
2
A
M
B
N
C
P
DQ
X
B
A
C
D
S
S
B
A
C
D
A
A
A
A
B
A
C
D
P
S
S=A+B
S=Área	 ABCD
2
"P"	 punto	cualquiera	de	BC BA
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Unidad VII
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Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
•		 Dos	figuras	planas	son	equivalentes,	cuando	tienen	
la	misma	área.
FIGURAS	PLANAS	
EQUIVALENTES
•		 Las	áreas	se	encuentran	en	la	relación	de	los	lados	
a	los	cuales	es	relativa	la	altura.
•		 Al	trazar	una	mediana,	el	triángulo	queda	dividido	
en	dos	partes	equivalentes.
CUANDO	DOS	TRIÁNGULOS	
COMPARTEN	UNA	MISMA	
ALTURA
•	 En	todo	trapecio,	al	trazar	las	diagonales	se	forman	
triángulos	equivalentes.
AL	TRAZAR	LAS	DIAGONALES	DE	
UN	CUADRILÁTERO	CONVEXO,	
SE	DETERMINAN	CUATRO	
TRIÁNGULOS	TALES	QUE	EL	
PRODUCTO	DE	LAS	ÁREAS	DE	
LOS	OPUESTOS	SON	IGUALES
•	 Las	áreas	de	dos	polígonos	semejantes	son	propor-
cionales	al	cuadrado	de	sus	elementos	homólogos.
FIGURAS	
SEMEJANTES
1.	 En	 las	 figuras	 mostradas,	 calcular	 la	 relación	
entre	"S1"	y	"S2".
	 a)		
n 3n
S1 S2
	 	
	
	 b)		 2n
5n
S1
S2
2.	 Si	 el	 área	 de	 la	 región	 sombreada	 es	 de																									
12 3 	cm2,	calcular	el	área	de	la	región	triangular	
ABC.
	 A
B
M
C
3.	 Grafique	al	trapecio	ABCD	de	base	menor	BC	
y	donde	las	diagonales	se	cortan	en	"O".	Si	las	
áreas	de	las	regiones	triangulares	ABO	y	OCD	
son	de	(x2	-	1)	cm2	y	80	cm2	respectivamente,	
calcular	el	valor	de	"x".
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Geometría
Conceptos básicos Aprende más...
4.	 ABCD	es	un	trapecio.	Si	las	áreas	de	las	regiones	
ABO	y	ADO	son	de	8	cm2	y	14	cm2,	calcular	el	
área	de	la	región	triangular	ACD.
	 A
B C
D
O
5.	 La	 figura	muestra	a	dos	 triángulos	 semejantes.	
Calcular	la	relación	de	sus	áreas.
2l
aº qº
A
B
C 3l
aº qºP
Q
R
6.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	marque	"M"	punto	
medio	 de	 BC	 y	 "N"	 en	 AC,	 de	 modo	 que:	
NC=2AN.	 Si	 el	 área	 de	 la	 región	 triangular	
AMN	es	de	12	cm2,	calcular	el	área	de	la	región	
triangular	AMB.
7.	 Grafique	al	cuadrilátero	convexo	ABCD	cuyas	
diagonales	 se	 interceptan	 en	 "O".	 Si	 las	 áreas	
de	las	regiones	triangulares	AOB,	BOC	y	OCD	
son	de	8	cm2,	6	cm2	y	12	cm2	respectivamente,	
calcular	el	área	de	la	región	triangular	AOD.
8.	 Grafique	al	trapecio	ABCD	de	base	menor	BC	
y	donde	las	diagonales	se	cortan	en	"O".	Si	las	
áreas	de	las	regiones	triangulares	CBO	y	OAD	
son	de	9	cm2	y	25	cm2	respectivamente,	calcular	
el	área	de	la	región	triangular	COD.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 En	todo	triángulo,	al	trazar	una	mediana,	
el	triángulo	queda	dividido	en	dos	partes	
equivalentes.	........................................(__)
	 •	 Si	dos	triángulos	son	semejantes,	sus	áreas	
son	proporcionales	al	cuadrado	de	sus	
elementos	homólogos.	.........................(__)
	 •	 Si	se	une	los	puntos	medios	de	las	bases	
de	un	trapecio,	esta	se	divide	en	dos	partes	
de	diferentes	áreas.	..............................(__)
 
2.	 Completar	de	acuerdo	al	gráfico	(A=área).
	 a)	
A
B
C
M
AABM=	
___	AABC
	 b)	
AABF=	
___	AABC
3l lA
B
CF
	 c)	 ABCD:	Trapecio
	
A
B
S1 S2
C
O
D
S1=
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Unidad VII
Geometría 1
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Geometría
3.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	romboide	ABCD	y	su	punto	medio	"M"	
de	BC.	Sombree	el	área	de	la	superficie	in-
terior	al	paralelogramo	y	exterior	al	triángu-
lo	AMD.
	 •	 Al	 trapecio	ABCD	de	base	menor	BC	y	al	
punto	medio	"M"	de	AB.	Sombree	la	super-
ficie	de	la	región	triangular	DMC.
	 •	 El	cuadrado	ABCD,	los	puntos	medios	"M",	
"N",	"P"	y	"Q"	de	los	lados	BC,	CD,	AD	y	
AB	respectivamente.	Sombree	la	superficie	
del	cuadrado	que	determinan	AM,	BN,	CP	
y	DQ.
Resolución de problemas
4.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	la	ceviana	AF,	
de	modo	que	FB=2FC	y	sea	BM	una	mediana	
del	triángulo	ABF.	Calcular	el	área	de	la	región	
triangular	 ABC,	 sabiendo	 que	 el	 área	 de	 la	
región	triangular	ABM	es	de	12	cm2.
5.	 Grafique	 a	 dos	 triángulos	 semejantes	 cuyas	
bases	están	en	la	relación	de	2 2	a	3 5 .	Calcule	
la	relación	de	sus	áreas.
6.	 En	 el	 romboide	 ABCD	 mostrado,	 el	 área	 de	
la	 región	paralelográmica	MOPD	es	 de	 7	m2.	
Calcular	el	área	de	la	región	BNOQ.
D
M
Q
N
P C
O
A B
7.	 Dado	el	triángulo	ABC,	se	traza	la	mediana	AM	
y	se	marca	"F"	en	AC,	de	modo	que	AF=3FC.	
Calcule	la	relación	de	áreas	de	las	regiones	ABM	
y	FMA	respectivamente.
8.	 Dado	el	trapecio	ABCD,	las	diagonales	se	cortan	
en	"O"	y	su	base	menor	es	BC.	Si	las	áreas	de	las	
regiones	triangulares	BOC	y	AOD	son	de	2	dm2	
y	8	dm2	respectivamente,	calcule	el	área	de	la	
región	ABCD.
9.	 Si:	EF=3EA,	calcular	la	relación	de	áreas	de	los	
triángulos	AEC	y	ABC	respectivamente.
A
B
F
E
C
10.	 Sea	ABCD	un	cuadrilátero	convexo	cuyas	diago-
nales	se	cortan	en	"E".	Si	las	áreas	de	las	regio-
nes	triangulares	ABE,	ECD	y	AED	son	de	8'dm2,	
18	dm2	y	36	dm2	 respectivamente,	calcular	el	
área	de	la	región	triangular	BEC.
11.	 ¿Qué	porcentaje	del	área	del	rectángulo	ABCD	
es	el	área	de	la	región	sombreada?
A
B C
D
12.	Dado	 el	 triángulo	 ABC,	 se	 traza	 EF	 //	AC	 ("E"	
 AB	 y	 "F"	 	 BC)	 de	 modo	 que	 las	 áreas	 de	
las	 regiones	 EBF	 y	 AEFC	 se	 encuentren	 en	 la	
relación	de	2	a	3.	Si	AC	mide	2 5 	dm,	calcule	
el	valor	de	"EF".
13.	 En	el	gráfico,	 las	áreas	triangulares	EBF	y	HFC	
son	de	16	dm2	y	25	dm2	respectivamente.	Cal-
cule	el	área	de	 la	 región	 triangular	ABC,	si:	
EF	//	AC	y	EA	//	FH.
A
B
F
H
E
C
14.	 En	el	gráfico,	ABCD	es	un	romboide.	¿Cuál	es	la	
relación	correcta	entre	"S1",	"S2"	y	"S3"?
A D
S1
S2
S3
B C
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Relaciones áreas
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Geometría
Conceptos básicos¡Tú puedes!
15.	 El	 área	 de	 una	 región	 triangular	 ABC	 es	 de	
120'dm2	y	"G"	es	su	baricentro.	Calcular	el	área	
de	la	región	triangular	ABG.
16.	 En	un	triángulo	ABC,	los	lados	AB	y	BC	son	pro-
porcionales	a	5	y	8.	Si	el	área	de	la	región	trian-
gular	ABC	es	de	130	dm2,	calcular	la	diferencia	
de	las	áreas	de	los	triángulos	ABF	y	FBC,	siendo	
BF	una	bisectriz	del	triángulo	ABC.
17.	 En	un	triángulo	ABC,	se	traza	la	ceviana	AF	de	
modo	que:	2(BF)=5(CF).	Calcular	el	área	de	la	
región	 triangular	 ABC,	 si	 el	 área	 de	 la	 región	
triangular	ABF	es	de	50	dm2.
18.	 El	área	de	la	región	triangular	ABC	vale	64'dm2.	
Trace	BD	bisectriz	y	AM	una	mediana,	ambas	líneas
	 se	cortan	en	"E".	Calcular	el	área	de	la	región	trian-
gular	BEM,	si:	AB=10	dm	y	CB=12'dm.
1.	 ABCD	 es	 un	 cuadrado	 donde	 "M"	 y	 "N"	 son	
puntos	 medios	 de	BC	 y	 CD	 respectivamente.	
Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	 cuadrangular	
AOND,	 siendo	 "O"	 el	 punto	 de	 corte	 de	AM	
y	 BN.	 Además	 se	 sabe	 que	 el	 perímetro	 del	
cuadrado	es	32	cm.
2.	 En	 el	 interior	 de	 un	 paralelogramo	ABCD	 cuya	
área	es	de	90	m2	se	ubica	un	punto	"P",	de	modo	
que	el	área	de	la	región	triangular	APB	sea	30	m2.	
Calcule	el	área	de	la	región	triangular	CPD.
3.	 ABCD	es	 un	 cuadrilátero	 convexo	 de	 24	 cm2	
de	área.	Marque	"M"	y	"N"	puntos	medios	de	
BC	y	AD	respectivamente	y	calcule	el	área	de	la	
región	cuadrangular	AMCN.
4.	 Las	bases	de	un	trapecio	miden	36	y	22	cm	y	
su	altura	14	cm.	Calcular	el	 área	de	 la	 región	
triangular	total,	formada	al	prolongar	los	lados	
no	paralelos.
5.	 ABCD	es	un	trapecio	de	base	menor	BC.	Sean	
"M",	"N"	y	"Q"	 los	puntos	medios	de	AB,	BC	
y	AD	respectivamente.	Calcular	 la	relación	de	
áreas	de	los	polígonos	CMD	y	ABNQ.
Aplicación cotidiana
19.	Una	piscina	 tiene	210	m2	de	área	y	está	 formada	por	un	rectángulo	para	 los	
adultos	y	un	trapecio	rectángulo	para	los	niños.	Observa	el	dibujo	y	calcula	la	
relación	de	áreas	de	la	piscina	menor	y	la	mayor. 30	m
5	m
4	m
20.	Andrea	 tiene	 un	 terreno	 de	 cultivo	 cuya	 forma	 es	 de	 un	
paralelogramo	de	32'm	de	base	y	30'm	de	altura.	Ella	consciente	
del	 problema	 de	 la	 contaminación	 ambiental,	 desea	 plantar	
árboles	 en	 dicho	 terreno.	 Calcule	 el	 número	 de	 árboles	 que	
Andrea	va	a	plantar	en	dicho	campo,	sabiendo	que	cada	árbol	
necesita	para	desarrollarse	4	m2	de	área.
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Unidad VII
Geometría
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Geometría
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45 1
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 según	
corresponda	y	justifique	su	respuesta:
	 •	 Si	dos	triángulos	son	semejantes,	sus	
áreas	son	proporcionales	al	cubo	de	sus	
elementos	homólogos.		........................(__)
	 •	 Al	unir	los	puntos	medios	de	los	lados	
de	un	cuadrilátero,	se	determina	otro	
cuadrilátero	cuya	área	es	la	mitad	del	
cuadrilátero	inicial.	..............................(__)
	 •	 En	todo	triángulo,	al	trazar	una	altura,	el	
triángulo	queda	dividido	en	dos	partes	
equivalentes.	.......................................(__)
2.	 Completar	de	acuerdo	al	gráfico	(A=área).
	 a)	
A
B
C
Q
AABQ=.....	AAQC
4l
l
	 b)	
A
B
C
G
AABG=
___AABC
3.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Al	 cuadrilátero	 convexo	 ABCD.	 Ubique	
"M"	 en	 AD	 y	 "N"	 en	 CD.	 Sombree	 la	
superficie	cuadrangular	MBCN.
	 •	 El	 triángulo	 ABC,	 de	 baricentro	 "G"	 y	
sombree	la	región	cuadrangular	AGBC.
4.	 Grafique	 a	 dos	 triángulos	 semejantes	 cuyas	
bases	están	en	la	relación	de	3 2	y	2 5 .	Calcule	
la	relación	de	sus	áreas.
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC	y	trace	la	ceviana	AF,	
de	modo	que	FB=3FC	y	sea	BM	una	mediana	
del	triángulo	ABF.	Calcular	el	área	de	la	región	
triangular	 ABC,	 sabiendo	 que	 el	 área	 de	 la	
región	triangular	ABM	es	de	15	cm2.
6.	 Sea	ABCD	un	 paralelogramo	 y	 "M"	 un	 punto	
de	BC,	de	modo	que	BM=2	CM.	La	diagonal	
BD	intercepta	a	MA	en	"O".	Calcule	la	relación	
de	 áreas	 de	 los	 triángulos	 BOM	 y	 AOD	
respectivamente.
7.	 En	el	 trapecio	ABCD,	 las	diagonales	 se	cortan	
en	"O"	y	su	base	menor	es	BC.	Si	las	áreas	de	las	
regiones	triangulares	BOC	y	AOD	son	de	9'dm2	
y	16	dm2	respectivamente,	calcule	el	área	de	la	
región	ABCD.
8.	 En	un	triángulo	ABC,	trace	las	medianas	AM	y	
BN,	cortándose	en	"G".	Si	el	área	de	la	región	
triangular	GMN	es	de	5	dm2,	calcule	el	área	de	
la	región	triangular	ABC.
9.	 El	área	de	un	cuadrilátero	convexo	es	de	40'm2,	
hallar	 el	 área	 del	 cuadrilátero	 que	 tiene	 por	
vértices	 los	 puntos	 medios	 de	 los	 lados	 del	
primero.
10.	 En	un	 triángulo	ABC,	AB=6	cm	y	BC=8	cm.	
Calcule	la	relación	de	las	áreas	de	las	regiones	
ABD	 y	 DBC	 respectivamente,	 siendo	 BD	 la	
bisectriz	interior.
11.	Grafique	al	triángulo	ABC	y	marque	los	puntos	
medios	"M"	y	"N"	de	AC	y	BC	respectivamente.	
En	 BM	 marque	 "F"	 de	 modo	 que	 FB=3MF.	
Calcule	 la	 relación	 de	 áreas	 de	 los	 triángulos	
FNM	y	ABC	respectivamente.12.	 Las	áreas	del	triángulo	EBF	y	del	trapecio	AEFC	
están	en	 la	 relación	de	3	a	5.	Si	EF=2 3 	dm,	
calcule	el	valor	de	"AC".
A
B
C
FE
Geometría 4to - III Bim.indd 177 31/10/2014 11:46:07 a.m.
Relaciones áreas
179178
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Geometría
13.	 El	 área	 de	 un	 trapecio	 ABCD	 es	 de	 100	 m2.	
Calcular	 el	 área	 del	 trapecio	 ABMN,	 siendo	
"M"	y	"N"	puntos	medios	de	las	bases	BC	y	AD	
respectivamente.
14.	 El	área	de	la	región	de	un	triángulo	ABC	es	de		
120'm2.	Hallar	 el	 área	 de	 la	 región	 triangular	
MGN,	 siendo	 "G"	 el	 baricentro	 y	 "M"	 y	 "N"	
puntos	medios	de	AB	y	BC	respectivamente.
15.	 Los	lados	de	un	triángulo	ABC	miden	13;	14	y	
15	cm.	Calcular	el	área	de	la	región	triangular	
AGM,	siendo	"G"	el	baricentro	y	"M"	el	punto	
medio	de	AC.
16.	 Si:	BQ=5QM,	calcular	qué	fracción	del	área	del	
triángulo	ABC,	 representa	el	área	de	 la	 región	
sombreada.
A
B
CM
Q
17.	 El	área	de	la	región	sombreada	es	al	área	de	la	
región	no	sombreada	como:
2nn
18.	 En	 un	 trapezoide	 ABCD,	 las	 diagonales	 se	
interceptan	en	"O".	Si:	SAOB=6	m
2;	SBOC=8m
2	y	
SCOD=12	m
2,	calcular:	SAOD.
19.	 El	 área	de	 la	 región	 sombreada	 es	 al	 área	del	
romboide	ABCD	como:
A D
N
B CM
20.	Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 ceviana	
BR	 de	modo	 que:	 7(CR)=5(AR)	 y	 el	 área	 del	
triángulo	RBC	sea	de	50	dm2.	Calcular	el	área	
triangular	ABC.
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2
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Geometría
El	círculo	es	una	figura	geométrica	bastante	estudiada	desde	 el	 colegio	 y	 que	 tiene	 innumerables	
aplicaciones.	 En	 él	 se	 puede	 distinguir	 a	 los	 sectores	
circulares,	 segmentos	 circulares,	 a	 la	 corona	 circular	 y	
otras	figuras	más.	En	esta	oportunidad,	deseo	mostrar	una	
aplicación	práctica	de	la	corona	circular.
En	 nuestros	 apreciables	 ojos	 hay	 una	 parte	 que	 los	
médicos	 llaman	 "la	 corona	 iridiana"	 y	 ella	 nos	 puede	
ayudar	a	mostrar	ciertos	casos	de	la	situación	de	nuestro	
organismo.	Ya	decía	 la	 abuelita:	 "El	 estado	de	 tus	 ojos	
refleja	tu	estado	de	ánimo	y	de	salud".
Los	expertos	elaboran	una	topografía	del	iris,	que	consiste	
en	 una	 representación	 gráfica	 de	 las	 áreas	 iridológicas	
correspondientes	 a	 cada	 órgano,	 sistema	 o	 región	
del	 cuerpo	 humano.	 En	 el	 centro	 del	mapa	 está	 la	
pupila,	cuyo	tamaño	puede	variar	según	el	grado	de	
dilatación	establecida	por	la	mayor	o	menor	cantidad	
de	luz	o	por	intoxicaciones	o	defectos	orgánicos.
A	partir	de	 la	pupila	 se	puede	determinar	en	el	 iris	
siete	zonas:
1.	 Área	estomacal
2.	 Zona	intestinal
3.	 Glándulas	suprarrenales,	área	cardíaca,	riñones	y	
pituitaria
4.	 Conductos	bronquiales,	glándulas	pineal	y	pitui-
taria
5.	 Cerebro	y	órganos	reproductores
6.	 Bazo,	tiroides	e	hígado
7.	 Área	de	 la	piel,	 sistema	 linfático	 y	 circulatorio,	
glándulas	sudoríficas,	músculos	y	nervios	motores	y	sensitivos.
Como	verán,	el	estudio	matemático	de	 la	corona	 trasciende	más	allá	de	nuestros	cuadernos	y	es	
interesante	saber	que	en	los	ojos	se	pueden	reflejar	ciertas	dolencias.
Áreas de regiones
circulares
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	 identificar	 los	 tipos	 de	 áreas	 de	 regiones	 circulares,	 como	 el	 círculo,	 sector	 circular,	 corona	
circular,	etc.
•	 A	 reconocer,	 diferenciar	 y	 aplicar	 las	 propiedades	 que	 se	 dan	 entre	 las	 diferentes	 regiones	
circulares.
A=p	(R2	-	r2)
R
r
2
Unidad VII
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GeometríaÁreas de regiones circulares
Conceptos básicos
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente:
•	 Elementos	asociados	a	la	circunferencia:
	
	
Secante
TangenteB
A
Cuerda
a) b) c)
•	 Ten	presente	las	siguientes	partes	de	un	círculo.
	
	
O
Sector	circulara) Segmento	circularb)
•	 Circunferencias	concéntricas.
	 Dos	circunferencias	concéntricas
a)
Tres	circunferencias	concéntricas
b)
1. Área del círculo
A=p.R2
p=3,1416
L=2pR
L=Longitud
O
R
2. Área del sector circular
O
A
B
R
R
a
R
A=
360°
a p	R2
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GeometríaGeometría 2
Unidad VII
3. Área de la corona circular
S=pR2	-	pr2
S=p(R2	-	r2)
O
S
r
R
4. Trapecio circular
S= -O
A
B
O
E
F
S=
360°
ap(R2	-	r2)
O
a
A
B
R
E
Fr
S
5. Área del segmento circular 6. Área de la zona circular
S= -
O O
A AB B
S= -	Área AOB360°
apR2 O
BS
a
R
A
B
F
R
S
A
E
S= BA 	-	 FE
Si:	AB	//	EF
7. Figuras semejantes
Demostración:
x=S+Q
S
Q
x
S
Q
x
a
a
a
b
b
c
c
c
S+Q=x
Luego:
S=
2
pa2
S+Q=
S+Q=
S+Q=
2
pa2
2
p
c2
2
p
Q=
2
pb2
+
(a2+b2)
2
pb2
c2	(por	Pitágoras)
x=
2
pc2
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GeometríaÁreas de regiones circulares
Síntesis teórica
8. Teorema de las lúnulas de Hipócrates
x=S+Q
Q
S
x
Demostración:
Q
S
x
a a b
b
bc
cc
a
N
M
S+Q=x
S+Q+N+M=x+N+M
S+N=
2
pa2
Q+M=
2
pb2
S+Q+N+M=
2
p (a2+b2)
c2	(por	Pitágoras)
x+N+M=
2
pc2 ..............	1
S+Q+N+M= c2
2
p ..............	2
El	área	de	un	segmento	circular	se	calcula	como	
la	diferencia	de	las	áreas	del	sector	circular	y	el	
triángulo	correspondiente. O
B
S
a
R
A
El	área	de	todo	círculo	es	pR2
O
R
El	área	de	un	sector	circular	se	calcula	conociendo	
el	radio	y	el	ángulo	central.
O
A
B
R
r
a
r
El	área	de	la	corona	circular	es	igual	a	p por	la	
diferencia	de	los	cuadrados	de	sus	radios.
O
S
r
R
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Geometría
Unidad VII
Geometría 2
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 La	longitud	de	una	circunferencia	es	de	10	p	cm.	
Calcular	el	área	de	su	círculo.
2.	 Calcule	el	área	de	la	región	sombreada	en	cada	
caso.
	
	 a)
4
60º
	 b)
6
120º
3.	 Calcule	el	área	de	cada	corona	circular	mostrada
	 a)
2
6
	
	 b)
4 4
4.	 La	figura	nos	muestra	a	un	segmento	circular	cuya	
área	 se	desea	 calcular,	 sabiendo	que	 la	medida	
del	arco	AB	es	de	60º	y	el	radio	mide	4	cm.
	
A B
R
5.	 El	área	de	un	semicírculo	es	de	8p	cm2.	Calcule	
la	longitud	de	su	diámetro.
6.	 El	área	de	un	cuadrante	circular	es	de	9p	cm2.	
Calcule	su	perímetro.
7.	 En	una	circunferencia	de	6	cm	de	radio,	trace	una	
cuerda	que	subtienda	un	arco	de	30º.	Calcular	
el	área	del	segmento	circular	determinado.
8.	 Un	 círculo	 y	 un	 cuadrante	 de	 círculo	 son	
equivalentes.	Calcular	la	relación	de	sus	radios.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 El	área	de	un	sector	circular	depende	de
	 	 su	ángulo	central.	.................................(__)
	 •	 Un	segmento	circular	se	determina	al	trazar	
solamente	un	diámetro.	..............(__)
	 •	 La	corona	circular	se	determina	al	trazar	
dos	circunferencias	cualesquiera.	.........(__)
2.	 Completar:
	 a)	 Área	del	sector	circular
R
aºO
A=
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GeometríaÁreas de regiones circulares
		 b)	 Área	de	la	corona	circular
R
r
A=
	 	
3.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	 hexágono	 regular	 y	 la	 corona	 que	
determinan	 sus	 circunferencias	 inscrita	 y	
circunscrita.
	 •	 Un	cuadrado	ABCD	y	a	una	semicircunfe-
rencia	de	diámetro	AD,	interior	al	cuadra-
do.	Sombree	la	región	interior	al	cuadrado	
y	exterior	a	la	semicircunferencia.
	 •	 Dos	circunferencias	secantes	y	sombree	la	
superficie	en	común.
Resolución de problemas
4.	 Un	 sector	 circular	 de	 60º	 de	 ángulo	 central	
y	6	cm	de	radio,	es	equivalente	al	área	de	un	
círculo.	Calcular	el	radio	de	dicho	círculo.
5.	 Grafique	 dos	 circunferencias	 concéntricas,	 de	
modo	que	el	área	de	la	corona	sea	equivalente	
al	círculo	menor.	Calcular	la	relación	de	radios	
de	estas	circunferencias.
6.	 ABCD	es	un	cuadrado	 inscrito	en	una	circun-
ferencia	de	4	cm	de	radio.	Calcular	el	área	del	
segmento	circular	que	determina	el	lado	BC.
7.	 ABC	es	un	triángulo	equilátero	inscrito	en	una	
circunferencia	de	6	cm	de	radio.	La	altura	AH,
	 prolongada	 corta	 a	 la	 circunferencia	 en	 "M".	
Calcular	el	área	del	segmento	circular	MB.
8.	 La	longitud	de	una	circunferencia	es	de	20p	dm	
y	se	tiene	en	dicha	circunferencia	un	sector	cir-
cular	de	60º	de	ángulo	central.	Calcule	el	área	
de	dicho	sector.
9.	 En	una	circunferencia	de	3	cm	de	radio,	se	traza	
una	cuerda	AB	de	modo	que	su	arco	mida	60º.	
Calcule	el	área	del	segmento	circular	determi-
nado.
10.	 Si	 la	medida	del	arco	AB	es	120º	y	R=6	dm,	
calcular	el	área	del	segmento	circular	sombrea-
do.
A B
R
11.	 La	 figura	muestra	 al	 triángulo	 equilátero	 ABC	
de	12	dm	de	lado.	Calcule	el	área	de	la	región	
sombreada.
A C
M N
B
12.	 ¿Qué	porcentaje	del	círculo	mayor	es	la	región	
sombreada?
13.	AOB	 es	 un	 triángulo	 equilátero	 de	 6 3 	m	 de	
perímetro.	Calcular	el	área	de	la	corona	circular	
limitada	 por	 las	 circunferencias	 inscrita	 y	 cir-
cunscrita.
14.	AOB	 es	 un	 triángulo	 equilátero	 de	 6	 dm	 de	
lado.	Calcular	el	área	de	la	región	limitada	por	
la	circunferencia	y	los	dos	arcos	descritos	y	tan-
gentes	a	la	circunferencia.
A B
O
M
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Geometría
Unidad VII
Geometría 2
Conceptos básicos¡Tú puedes!
15.	Dada	dos	circunferencias	concéntricas,	el	área	
de	la	corona	circular	que	determinan	es	el	triple	
del	área	del	círculo	menor.	Calcule	la	relación	
de	radios.
16.	 En	un	 triángulo	equilátero,	calcular	el	área	de	
la	 corona	 circular	 que	 determinan	 las	 circun-
ferencias	 inscrita	y	circunscrita	al	 triángulo.	El	
circunradio	mide	4	dm.
17.	Grafique	a	una	semicircunferencia	de	diámetro	
AB	y	marque	"F"	en	AB.	Grafique	dos	semicir-
cunferencias	 interiores	 de	 diámetros	AF	 y	FB.	
Calcule	el	área	limitada	por	estas	semicircunfe-
rencias,	si:	AF=8	dm	y	FB=4	dm.
18.	Dado	el	cuadrante	AOB	de	radios:	AO=OB=2 2m.	
Se	trazan	interiormente	dos	semicírculos	de	diá-
metros	AO	y	OB	cortándose	las	dos	semicircun-
ferencias	en	"C".	Calcular	el	área	del	triángulo	
curvilíneo	ABC.
Aplicación cotidiana
19.	 La	figura	nos	muestra	a	un	esquinero	de	baño	en	forma	de	un	sector	
circular.	Los	soportes	de	madera	en	la	que	se	apoya	el	esquinero	mi-
den	20	cm	cada	uno.	Calcular	 la	cantidad	de	vidrio	gastado	en	este	
diseño,	sabiendo	además	que	las	paredes	forman	un	ángulo	de	90º.
25%
10%
20%
30%
15%
Balonmano Fútbol
BaloncestoTenis
Atletismo
También	se	suele	incluir	en	cada	sector	el	
valor	del	porcentaje	correspondiente
20.	 En	 el	 aula	 de	 Julio	 Alberto,	 los	 alumnos	
practican	balonmano,	 fútbol,	baloncesto,	 tenis	
y	atletismo.	El	entrenador	del	aula	muestra	un	
reporte	 estadístico	 del	 número	 de	 alumnos	
que	 practican	 estas	 disciplinas.	 Si	 Julio	 y	 Luz	
practican	tenis,	¿cuál	será	el	ángulo	central	del	
sector	circular	que	los	representa?
1.	 Un	sector	circular	de	ángulo	central	60º	y	radio	
"R",	se	inscribe	en	una	circunferencia.	Calcular	
el	área	de	la	región	exterior	a	la	circunferencia	
e	interior	al	sector.
2.	 Sobre	el	radio	OB	de	un	círculo	AOB,	se	toma	
el	punto	"P",	de	modo	que:	PB=2 2	cm.	Con	
centro	 en	 "P"	 y	 radio	PB 	 se	 traza	un	 arco	de	
circunferencia	que	corta	a	OA	en	el	punto	"N".	
Si:	AN=PB,	hallar	el	área	de	la	región	encerrada	
por	los	arcos	AB;	NB	y	el	segmento	AN.
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GeometríaÁreas de regiones circulares
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Graficar	lo	que	se	indica:
	 •	 Una	 semicircunferencia	 y	 un	 cuadrado	
inscrito,	tal	que	uno	de	sus	lados	esté	sobre	
el	 diámetro.	 Sombree	 la	 superficie	 que	
limitan	estas	figuras.
	 •	 Un	pentágono	y	cinco	semicircunferencias	
interiores	 cuyos	 diámetros	 sean	 los	 lados	
del	 pentágono.	 Sombree	 la	 superficie	 que	
limitan	estas	figuras.
2.	 Un	 sector	 circular	de	60º	de	 ángulo	 central	 y	
12	 cm	de	 radio,	 es	 equivalente	 al	 área	 de	 un	
círculo.	Calcular	el	diámetro	de	dicho	círculo.
3.	 Grafique	 dos	 circunferencias	 concéntricas,	
de	modo	que	el	área	del	círculo	menor	sea	 la	
octava	parte	del	área	de	la	corona.	Calcular	la	
relación	de	los	radios	de	estas	circunferencias.
4.	 En	una	circunferencia	de	6	cm	de	radio	se	traza	
una	cuerda	AC,	que	subtiende	un	arco	que	mide	
45º.	Calcular	el	área	del	segmento	circular	que	
forma	la	cuerda	AC.
5.	 Un	 dodecágono	 regular	 está	 inscrito	 en	 una	
circunferencia	 de	 8	 cm	 de	 radio.	 Calcular	 el	
área	 de	 uno	 de	 los	 segmentos	 circulares	 que	
determina	uno	de	sus	lados.
6.	 Si	 el	 perímetro	 y	 el	 área	 de	 un	 círculo	 son	
numéricamente	 iguales,	 hallar	 el	 área	 del	
círculo.
7.	 Si	el	área	de	un	sector	circular	es	3p m2,	hallar	la	
medida	de	su	ángulo	central,	sabiendo	que	su	
radio	mide	6m.
8.	 Se	 tiene	un	 sector	 circular	 con	 ángulo	 central	
igual	a	30º	y	radio	6	cm.	Hallar	la	medida	del	
radio	del	círculo	equivalente	al	sector.
9.	 Hallar	el	área	del	círculo	inscrito	en	un	triángulo	
equilátero	de	9 3 	dm2	de	área.
10.	 Se	 tiene	un	 cuadrado	ABCD	de	4	m	de	 lado,	
haciendo	 centro	 en	 "D"	 se	 traza	 el	 arco	 AC.	
Hallar	el	área	de	la	región	limitada	por	AB,	BC	
y	el	arco	AC.
11.	 En	 el	 gráfico,	 hallar	 el	 área	de	 la	 región	 som-
breada,	si:	AB=BC=4m.
A
B C
D
12.	 En	 el	 gráfico,	 hallar	 el	 área	de	 la	 región	 som-
breada,	 si:	 AO=OB=R.	 ("B"	 centro	 del	 arco	
OD)
A
D
BO
3.	 Hallar	el	área	de	una	zona	circular,	determinada	
en	 un	 círculo	 de	 radio	 "R",	 sabiendo	 que	 las	
bases	 son	 los	 lados	 del	 triángulo	 equilátero	 y	
hexágono	regular	inscritos,	situados	a	un	mismo	
lado	del	centro.
4.	 Calcule	el	área	de	la	corona	circular	determinada	
por	 las	circunferencias	 inscrita	y	circunscrita	a	
un	pentágono	regular	de	30	cm	de	perímetro.
5.	 Grafique	 al	 cuadrado	 ABCD	 de	 6	 m	 de	 lado	
y	ubique	 los	puntos	medios	"M"	y	"N"	de	BC	
y	 CD			 respectivamente.	 Con	 centro	 en	 "A",	
describa	 un	 cuadrante	 y	 calcule	 el	 área	 del	
sector	 circular	 limitado	por	dicho	cuadrante	y	
los	segmentos	AM	y	NA.
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Geometría
Unidad VII
Geometría 2
13.	 Si	 el	 perímetro	 de	 un	 círculo	 es	 de	 24p	 cm,	
calcule	su	área.
14.	 Se	 tiene	un	 círculo	de	36p	m2	de	 área,	 hallar	
el	área	del	segmento	circular	 limitada	por	una	
cuerda	que	subtiende	un	arco	de	60º.
15.	Hallar	la	relación	de	las	medidas	de	los	radios	de	
dos	sectores	circulares	equivalentes,	de	ángulos	
centrales	de	120º	y	60º	respectivamente.16.	Dadas	 dos	 circunferencias	 concéntricas,	 se	
tiene	que	el	área	del	círculo	menor	es	la	cuarta	
parte	del	área	de	la	corona	circular.	Calcular	la	
relación	de	sus	radios.
17.	Hallar	el	área	de	la	corona	circular	determinada	
por	 los	 círculos	 inscrito	 y	 circunscrito	 a	 un	
cuadrado	de	16	cm2	de	área.
18.	 En	dos	circunferencias	concéntricas	se	toma	una	
cuerda	AB	 de	 la	 circunferencia	mayor	 tal	 que	
sea	 tangente	a	 la	circunferencia	menor.	Hallar	
el	área	de	la	corona	determinada,	si:	AB=4	m.
19.	 En	 el	 gráfico,	 los	 lados	 del	 cuadrado	 son	
diámetros	de	 las	 semicircunferencias,	 además:	
AB=2	 cm.	 Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	
sombreada.
A
B C
D
20.	Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	 sombreada,	 si:	
AB=AC=BC=2BN=2AM=4	dm.
A
B
CM
N
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3
Se	conoce	como	geometría analítica	al	estudio	de	ciertos	objetos	geométricos	mediante	técnicas	básicas	del	análisis	matemático	y	del	álgebra.	Se	podría	decir	que	es	el	desarrollo	histórico	que	
comienza	con	la	geometría	cartesiana	y	concluye	con	la	aparición	de	la	geometría	diferencial	con	
Gauss	y	más	tarde	con	el	desarrollo	de	la	geometría	algebraica.
Geometría
analítica I
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	reconocer	el	ángulo	de	inclinación	de	una	recta,	su	pendiente	y	ecuación,	encontrando	una	
relación	entre	ellos.
•	 A	resolver	problemas	de	la	línea	recta	a	partir	del	análisis	de	sus	características,	gráficas	y	ecuacio-
nes.
y
x
y=
k
x
Lo	novedoso	de	la	geometría	analítica	es	que	per-
mite	 representar	 figuras	 geométricas	 mediante	
fórmulas	del	tipo	f(x;	y)=0,	donde	"f"	representa	
una	función.	En	particular,	las	rectas	pueden	ex-
presarse	como	ecuaciones	polinómicas	de	grado	
uno	 (ejemplo:	 2x+6y=0)	 y	 las	 circunferencias	
y	el	 resto	de	cónicas	 como	ecuaciones	polinó-
micas	de	grado	dos	(ejemplo:	la	circunferencia:	
x2+y2=4,	la	hipérbola:	xy=1).
Es	bueno	aclarar	que	nosotros	en	este	curso	de	
geometría	escolar,	solo	veremos	y	estudiaremos	
hasta	la	ecuación	de	la	recta.
A P
y
x
1
1
r
3
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Unidad VII
Geometría
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente:
•	 Coordenadas	rectangulares
	
II
III
I
IV
b)
x0
y0
P(x0;y0)
a) y
x
•	 Distancia	entre	dos	puntos
B(x2;	y2)
y
x
d=AB=			(x1	-		x2)
2+(y1	-	y2)
2A(x1;	y1)
•	 Punto	medio	de	un	segmento
B(x2;	y2)
A(x1;	y1)
M
=
=
y
x
M= ;
x1+x2
2
y1+y2
2
•	 Rectas	perpendiculares	 	 	 	 •					Rectas	paralelas
	 	 	
L1L2
	 	 	 								
L1
L2
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GeometríaGeometría analítica I
Conceptos básicos
LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO
Elementos
	 	 	 Dada	la	recta	" "
	 	 	 •		(-	a;	0)	 :	intersección	con	"x"
	 	 	 •		(0;	b)		 :	intersección	con	"y"
	 	 	 •		"a"	∧	"b"	 :	interceptos
	 	 	 •		"a"	 	 :	ángulo	de	inclinación
	 	 	 •		(x0;	y0)	 :	punto	de	paso
PENDIENTE DE UNA RECTA: m
Dada	la	recta	" "	con	su	ángulo	de	inclinación	"a";	se	denomina	pendiente	de	la	recta	 	al	número	"m"	
que	se	obtiene	de	la	tangente	del	ángulo	de	inclinación.
Observación:
a
(x0;	y0)(0;	b)
y
L
x(-	a;	0)
a
b
45º
L
x
y
⇒		 m=tg45º
	 m=1
a)
a)	 Si	"a"	es	agudo:	0º	<	a	<	90º	⇒	m:	(+)
	 Se	calcula	así:
aº
L
x
y
m=tga
b)	 Si	"a"	es	obtuso:	90º<a<180º	⇒	m:	(	-	)
	 Se	calcula	así:
m=	-	tg(180º	-	a)
y
aº
L
x
	 c)	 Si:	a=0º	⇒	m=0
	 d)	 Si:	a=90º	⇒	 m:	no	definida
120º
L
x
y
⇒m=	-	tg(180º	-	120º)=	-	tg60º
				m=	-	 3
b)
Ejemplos
Geometría 4to - III Bim.indd 190 31/10/2014 11:46:12 a.m.
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Geometría
Unidad VII
Geometría 3
L
x
y
⇒		 m=tg0º
	 m=0
c) d)
⇒		 m=tg90º
	 m=
90º
x
y L
OBTENCIÓN DE LA PENDIENTE CON DOS PUNTOS DE PASO
Dada	la	recta	" "	que	pasa	por	los	puntos	P(x1;	y1)	y	Q(x2;	y2),	la	pendiente	"m"	se	calcula	así:
aº
L
Q
P
xx1
y1
x2
y2
y
m=tga=
y2	-	y1
x2	-	x1
Por	ejemplo	del	gráfico:
	 	
Para	 :	tga1=m1=
6	-	1
3	-	(	-	2)
m1=1
Para	 :	tga2=m2=
4	-	0
2	-	6
m2=	-	1
a1
a2
(3;	6)
(-2;	1)
(6;	0)
y
L1L2
x
(2;	4)
ECUACIÓN DE LA RECTA
Es	una	relación	algebraica	que	debe	verificar	tanto	la	abscisa	como	la	ordenada	de	todo	punto	perteneciente	
a	una	recta.	Para	hallar	esta	relación	se	requiere	de	dos	elementos	necesarios	y	suficientes:
a
P0(x0;	y0)
P(x;	y)
y
L
x
	 	 •		m=tga	→	pendiente	de	la	recta
	 	 •		P0(x0;	y0)	→	punto	de	paso
	 Luego:	P	∈	 ;	se	debe	cumplir:
	 	 m=
y	-	y0
x	-	x0
	⇒	y	-	y0=m(x	-	x0) 		Ecuación	de	la	recta
Geometría 4to - III Bim.indd 191 31/10/2014 11:46:12 a.m.
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GeometríaGeometría analítica I
	 También:
	 La	ecuación	de	la	recta	la	podemos	representar	por	la	siguiente	expresión:
	
	 	
Ecuación	ordinaria
de	la	recta
a
y L1
x
b
y=mx+b 																			Se	le	denomina
	 Donde:
	 m	→	pendiente	de	la	recta	=	tg
	 b	→	intersecto	en	"y"
	 Si	a	 la	ecuación	de	una	 recta	 se	 le	expresa	de	 la	 forma:	Ax+By+C=0,	a	esta	 se	 le	conoce	como	
ecuación	general	de	la	recta.
Ax+By+C=0 	Ecuación	general	de	la	recta
POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA
a0
y
x
(a;	0)
:	x=a
Recta vertical
b
0
y
x
(0;	b)
:	y=b
Recta horizontal
•	Propiedades
		a)	 Dada	la	ecuación	general	de	una	recta	 :	Ax+By+C=0,	su	pendiente	"m"	se	calcula	así:
A
B
m=	-
		b)	 Si	 un	 punto	 P(a;	 b)	 pertenece	 a	 una	 recta	 	 de	 ecuación	 general:	 Ax+By+C=0,	 entonces	 debe	
satisfacer	la	ecuación,	es	decir:
	 •	 P(a;	b)	∈	 :	Ax+By+C=0
		 Aa+Bb+C=0
		c)	 Rectas paralelas ( / / )
	 Si	dos	rectas	 	y	 	son	paralelas,	entonces	sus	pendientes	son	iguales.
	 Gráficamente:
Si:	 	//		 	⇒	m1=m2
qq
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Geometría
Unidad VII
Geometría 3
		d)	Rectas perpendiculares ( )
	 Si	dos	rectas	 	y	 	son	perpendiculares,	entonces	el	producto	de	sus	pendientes	es	-	1.
	 Gráficamente:
Si:	 	 	 	⇒	m1	.	m2=	-	1
L2
L1
	 Demostración:
L2
L1
y
x
a q
tga=m1	 ∧	 tgq=m2
	 	 	 -	tg(180º	-	q)=m2
	 	 	 tg(180º	-	q)=	-	m2
	 como:	 tga=ctg(180º	-	q)
	 	 	 tga=
1
tg(180º	-	q)
	 	 	 m1=
1
-	m2
	 	 	 ...	 m1	.	m2=	-	1
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
En	un	triángulo	ABC	cuyas	coordenadas	de	sus	vértices	son	A(x1;	y1),	B(x2;	y2)	y	C(x3;	y3)	se	trazan	sus	tres	
medianas	denominándose	al	punto	de	intersección	BARICENTRO,	representado	por	G(x0;	y0).
A(x1;	y1) B(x2;	y2)
C(x3;	y3)
G
y
x
Las	coordenadas	del	baricentro	G(x0;	y0)	se	calculan	así:
x1+x2+x3
3x0=
y1+y2+y3
3y0=
A+B+C
3
G=o	también
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GeometríaGeometría analítica I
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
La	recta	en	el	plano	cartesiano,	
ángulo	y	pendiente.
45º
L
P(x;	y)
y
x
Ecuación	de	la	recta,	perpendicularidad	
y	paralelismo.
Posiciones	de	la	recta,	baricentro	de	un	triángulo	
y	ejercicios	de	aplicación.
1.	 Indique	el	ángulo	de	inclinación	de	cada	recta:
	 a)
120º
y
x
	 b)
40º
y
x
	 c)
150º
y
x
2.	 Grafique	 una	 recta	 que	 forme	 con	 el	 ejede	
las	 abscisas	 un	 ángulo	 de	 30º	 y	 calcule	 su	
pendiente.
3.	 Grafique	 una	 recta	 que	 forme	 con	 el	 eje	 de	
las	 abscisas	 un	 ángulo	 de	 120º	 y	 calcule	 su	
pendiente.
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-1 1 2 3 4 5-2-3-4-5
(2;	3)
(0;	-3)
y
x
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-1 1 2 3 4 5-2-3-4-5
C
B
A
y
x
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Geometría
Unidad VII
Geometría 3
Conceptos básicos Aprende más...
4.	 Calcule	la	pendiente	de	las	rectas	mostradas:
	
(0;	5)
(-2;	0)
y
x
a)
	
(0;	7)
(3;	0)
y
x
b)
5.	 Determinar	la	pendiente	de	una	recta	que	pasa	
por	A(-	5;	6)	y	B(2;	-	5)
6.	 En	la	figura	mostrada,	determinar	la	pendiente	
de	la	recta	que	pasa	por	"A"	y	"B".
	
B(5;	8)
A(2;	4)
y
x
7.	 En	el	gráfico,	calcular	el	ángulo	de	inclinación	
de	la	recta	e	indicar	cuáles	son	los	interceptos.
	
(0;	4)
(-3;	0)
y
x
8.	 Graficar	la	recta	cuya	ecuación	es:	2x+y=8
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 Si	una	recta	forma	un	ángulo	"b"	con
	 	 el	eje	"X",	entonces	se	afirma	que	su	
pendiente	es	"senb".	............................(__)
	 •	 El	ángulo	de	inclinación	de	una	recta
	 	 en	el	plano	cartesiano	es	siempre	agudo	...
.............................................................(__)
	 •	 La	pendiente	de	una	recta	horizontal
	 	 es	cero.	................................................(__)
2.	 Completar:	
	 La	 ....................................	 de	 una	 recta	 viene	
a	ser	 la	 .................................	de	su	ángulo	de	
inclinación.
Resolución de problemas
3.	 Una	 recta	 forma	con	el	eje	de	 las	abscisas	un	
ángulo	que	mide	37º.	Calcular	su	pendiente.
4.	 Una	 recta	 al	 cortar	 a	 los	 ejes	 coordenados,	
determina	 en	 ellas	 dos	 segmentos	 iguales.	
Calcular	el	ángulo	de	inclinación	de	dicha	recta,	
si	esta	no	se	intercepta	con	el	cuarto	cuadrante.
5.	 Los	 extremos	 de	 un	 segmento	 de	 recta	 son	
A(2;	0)	y	B(0;	6).	Calcule	su	pendiente.
6.	 La	pendiente	de	una	recta	es	4/5	y	pasa	por	el	
punto	 (-2;	5).	Determine	 la	ecuación	de	dicha	
recta.
7.	 Calcule	 la	pendiente	de	 la	 recta	que	pasa	por	
los	puntos	A(5;	4)	y	B(-	7;	5).
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GeometríaGeometría analítica I
8.	 Calcular	la	pendiente	de	la	recta	"L"	del	gráfico	
mostrado.
45º
L
P(x;	y)
y
x
9.	 Determine	 el	 ángulo	 de	 inclinación	 de	 una	
recta	que	pasa	por	los	puntos	(-	1;	3)	y	(7;	9)
10.	Determine	la	ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	
el	punto	(1;	2)	y	tiene	una	pendiente	de	-	2/3.
11.	Calcular	la	ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	los	
puntos	A(3;	7)	y	B(-	5;	1).
12.	Determinar	la	ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	
los	puntos	P(1;	5)	y	Q(-	3;	2).
13.	 Los	 vértices	 de	 un	 triángulo	 son	 los	 puntos:	
A(2;	3),	B(5;	-	4)	y	C(1;	8).	Calcular	la	pendiente	
del	lado	mayor.
14.	Calcule	la	ecuación	de	la	recta	"L"	de	la	figura	
mostrada.
(0;	6)
(5;	0)
y
L
x
15.	 Los	 vértices	 de	 un	 triángulo	 son	 los	 puntos:	
A(2;	2),	B(-	1;	4)	y	C(4;	5).	Calcular	la	pendiente	
de	cada	uno	de	sus	lados.
16.	 Si	 los	vértices	de	un	 triángulo	 son	 los	puntos:	
A(-	2;	 -	3),	B(-	1;	7)	y	C(12;	2),	determinar	 las	
coordenadas	del	baricentro.
17.	 Teniendo	 en	 cuenta	 el	 problema	 anterior,	
determinar	el	punto	medio	de	AB	y	la	pendiente	
de	la	recta	que	pasa	por	"A"	y	"B".
18.	Una	 recta	de	pendiente	3	pasa	por	el	punto	
(3;	2)	y	la	abscisa	de	otro	punto	de	la	recta	es	
4.	Hallar	la	ordenada	de	este	punto.
20.	 Las	curvas	de	oferta	y	demanda	forman	parte	de	la	cultura	general	de	
todo	alumno	de	secundaria.	En	realidad	estas	"curvas"	las	dibujamos	
más	 como	 líneas	 rectas	 que	 como	 curvas.	 La	 curva	 de	 oferta	 está	
inclinada	hacia	adelante	y	la	curva	de	demanda	está	inclinada	hacia	
atrás	(las	ordenadas	representan	el	precio	y	las	abscisas	la	cantidad).
	 El	precio	y	 la	cantidad	de	equilibrio	se	encuentran	en	el	punto	de	
intersección	de	las	dos	curvas.	En	este	punto	la	cantidad	demandada	
es	igual	a	la	cantidad	ofrecida.
	 Conteste	Ud.	lo	siguiente:
	 a)	 ¿Cómo	son	las	pendientes	de	la	demanda	y	de	la	oferta?
	 b)	 ¿Qué	nos	representa	el	punto	"E"	y	qué	significa?	
Aplicación cotidiana
19.	 En	un	día	de	campamento,	Karem	ubica	su	carpa	en	el	punto	 (30 2;	0)	
y	 tiene	 que	 ir	 a	 recoger	 agua	 de	 un	 río	 cuya	 trayectoria	 se	 encuentra	
representada	por	la	recta:	y=x.	Si	Karem	recoge	agua	haciendo	el	menor	
recorrido	de	ida	y	vuelta,	¿cuánto	recorrió	Karem?
D
E
OP
P1
QQ1
Geometría 4to - III Bim.indd 196 31/10/2014 11:46:14 a.m.
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Geometría
Unidad VII
Geometría 3
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 Las	 rectas	 L1:	 3x+2y=6	y	 L2:	 2x	 -	 ay=5,	 son	
perpendiculares	 entre	 sí.	 Calcular	 el	 valor	 de	
"a".
2.	 Se	 tiene	 el	 segmento	AB,	 tal	 que:	 A(-	 a;	 3)	 y	
B(2;	a).	Si	la	pendiente	del	segmento	AB	es	2/3,	
calcular	la	distancia	de	"B"	al	punto	(-	2;	-	6)
3.	 Del	gráfico,	hallar	la	ecuación	de	la	recta	L1.
yº yº
L2
L1
P(6;	5)
(3;	0)
(0;	-2)
y
x
4.	 Dados	 los	 vértices	 de	 un	 triángulo	 ABC:													
A(2;	-	1),	B(4;	5)	y	C(-	3;	2),	escribir	la	ecuación	
de	 la	 recta	que	une	el	 centro	de	gravedad	de	
este	triángulo	y	el	origen	de	coordenadas.
5.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F)	 según	
corresponda:
	 I.	 Si	L1:3x	-	4y+6=0		y		L2:	6x+8y+24=0			
	→ 	m1	-	m2=0	..................................	 (___)
	 II.	 Si	L1:	2x+y+3=0		→		L1:	m1=-	2	....	(___)
	 III.	 Si:	L1	//	L2	→	m1	.	m2=0	....................	(___)
	 IV.	 Si:	L1 	L2	→	m1	.	m2=	-	1	................	(___)
1.	 Calcular	la	pendiente	de	la	recta	mostrada	que	
pasa	por	"P".
127º
P(x;	y)
y
x
2.	 Determine	el	ángulo	de	inclinación	de	una	recta	
que	pasa	por	los	puntos	(2;	5)	y	(4;	7).
3.	 Calcular	la	ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	los	
puntos	(5;	4)	y	(-	2;	7).
4.	 Dados	los	puntos	(3;	-	2)	y	(-	2;	4),	determinar	la	
ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	estos	puntos.
5.	 Determinar	las	coordenadas	del	baricentro	del	
triángulo	ABC,	si:	A(-	6;	6),	B(-	2;	8)	y	C(2;	1).
6.	 Halle	la	pendiente	de	la	recta	que	pasa	por	los	
puntos	(-	2;	3)	y	(7;	-	5)
7.	 Calcule	 la	 ecuación	 de	 la	 recta	 "L"	 que	 se	
muestra	en	la	figura.
L
(4;	0)
(0;	-	3)
y
x
8.	 Si	el	ángulo	de	inclinación	de	una	recta	con	el	
eje	 de	 abscisas	 es	 60º,	 halle	 la	 pendiente	 de	
dicha	recta.
9.	 Calcule	 la	 ecuación	 de	 la	 recta	 mediatriz	 del	
segmento	cuyos	extremos	son	A(-	2;	7)	y	B(4;	5)
10.	Una	 recta	contiene	al	punto	 (-	5;	6)	y	 su	pen-
diente	es	-	1/2.	Calcule	el	valor	de	la	abscisa	de	
un	punto	de	la	recta,	cuya	ordenada	es	4.
11.	 En	un	triángulo	ABC,	encontrar	la	ecuación	de	
la	 recta	 que	 contiene	 a	 la	mediana	 relativa	 al	
lado	AB,	si:	A(-	3;	8),	B(1;	6)	y	C(-	5;	-	2).
Geometría 4to - III Bim.indd 197 31/10/2014 11:46:14 a.m.
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Geometría analítica I
12.	Del	gráfico,	calcular	la	ecuación	de	la	recta	L2.
aa
L2
L1
127º
(0;	-2)
y
x
13.	 Se	 tiene	 un	 triángulo	 cuyos	 vértices	 son:	
A(-	2;	1),	B(4;	6)	y	C(7;	-	4),	hallar	la	ecuación	
de	 la	 recta	que	pasa	por	 el	 baricentro	 y	 el	
vértice	"B".
14.	Dado	el	triángulo	ABC,	calcular	la	ecuación	de	
la	recta	que	pasa	por	los	puntos	medios	de	AB	yBC,	siendo	A(-	1;	7),	B(3;	5)	y	C(7;	-	1).
15.	Calcular	la	ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	los	
puntos	A(3;	4)	y	B(5;	-	7).
16.	 Se	 tiene	 al	 segmento	AB,	 cuyos	 extremos	 son	
A(-	1;	3)	y	B(-	5;	1).	Calcule	la	ecuación	de	su	
recta	mediatriz.
17.	 Se	 tiene	 al	 segmento	AB,	 cuyos	 extremos	 son	
A(2;	3)	y	B(-	4;	-	2).	Calcule	la	ecuación	de	una	
recta	 perpendicular	 a	 ella	 y	 que	 contenga	 al	
punto	(1;	2).
18.	Una	recta	pasa	por	los	puntos:	B(4;	1)	y	A(-	2;	3).
	 Si	 un	 punto	 de	 abscisa	 10	 pertenece	 a	 dicha	
recta,	¿cuál	será	su	ordenada?
19.	Calcule	la	ecuación	de	la	recta	mediatriz	del	seg-
mento	cuyos	extremos	son	A(3;	4)	y	B(-	5;	2).
20.	 En	el	gráfico	mostrado,	calcular	la	pendiente	de	
una	recta	perpendicular	a	"L".
(0;	-	5)
(6;	0)
L
x
y
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Saberes previos
4
Repaso
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	 reconocer	 los	 elementos	 que	 se	 asocian	 a	 una	 recta	 en	 el	 plano	 cartesiano,	 sus	 gráficas	 y	
características.
•	 A	aplicar	las	relaciones	aprendidas	para	el	cálculo	de	áreas	de	regiones	circulares	y	de	comparación	
de	áreas,	en	la	resolución	de	problemas	matemáticos.
Relación	de	áreas	en	triángulos	y	
cuadriláteros.
La	línea	recta	en	el	plano	cartesiano,	ángulo,	
pendiente	y	ecuaciones.
Q(5;	3)
yP
x
A
B
C
Q
AABQ=..........	AAQC
4l
l
Cálculo	de	áreas	de	círculos	y	sus	
partes
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Conceptos básicosAprende más...
x
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 Dos	figuras	planas	son	equivalentes,	si	
	 	 son	semejantes.	....................................(__)
	 •	 El	área	de	la	región	de	un	sector	circular
	 	 depende	del	valor	de	su	ángulo	central	y	
	 	 de	su	radio.	..........................................(__)
	 •	 La	pendiente	de	una	recta	en	el	plano	
	 	 cartesiano	no	puede	ser	negativa.	.........(__)
2.	 Completar:	En	el	plano	cartesiano,	dos	rectas	son	
perpendiculares	cuando	el	................................
de	sus	pendientes	sea	igual	a	.............
3.	 Calcular	la	pendiente	de	una	recta	cuyo	ángulo	
de	inclinación	es	de	150º.
4.	 Una	recta	corta	al	eje	de	las	abscisas	en	el	punto	
(-	 3;	 0)	 y	 pasa	 por	 el	 punto	 (1;	 4),	 calcule	 su	
pendiente.
5.	 Dos	triángulos	semejantes	tienen	sus	áreas	una	
relación	de	16	a	25.	Calcular	la	relación	en	la	
que	se	encuentran	sus	bases.
6.	 En	un	triángulo,	al	trazar	una	paralela	a	su	base,	
su	región	queda	dividida	de	manera	que	el	área	
del	trapecio	formado	sea	seis	veces	el	área	del	
triángulo	determinado.	Calcular	 la	 relación	de	
las	bases	del	trapecio.
7.	 Grafique	al	trapecio	PQRS,	de	base	menor	QR	y	
donde	sus	diagonales	se	cortan	en	"O".	Calcule	
el	área	de	 la	 región	 triangular	POQ,	sabiendo	
que	las	áreas	de	las	regiones	triangulares	ROQ	y	
POS	son	de	16	cm2	y	49	cm2	respectivamente.
8.	 ABCD	es	un	trapecio,	de	base	menor	BC	y	donde	
sus	diagonales	se	cortan	en	"O".	Si	las	áreas	de	
las	 regiones	 triangulares	 ABC	 y	 ACD	 son	 de	
24'cm2	 y	 48'cm2	 respectivamente,	 calcular	 el	
área	de	la	región	triangular	ABO.
9.	 Una	 recta	 pasa	 por	 el	 punto	 (-	 5;	 0)	 y	 por	 el	
punto	medio	del	 segmento	OB,	 siendo	 "O"	
el	origen	de	coordenadas	y	B(0;	10).	Calcule	
la	pendiente	de	dicha	recta.
10.	 En	un	cuadrado	ABCD,	de	4	cm	de	lado,	se	ins-
cribe	una	circunferencia	de	centro	"O".	Calcu-
lar	el	área	de	 la	superficie	 interior	al	 triángulo	
AOD	 y	 exterior	 a	 la	 circunferencia	 de	 centro	
"O".
11.	 El	perímetro	de	un	triángulo	equilátero	inscrito	
en	una	circunferencia	es	de	12 3 	cm.	Calcular	
el	 área	 del	 círculo	 correspondiente	 a	 dicha	
circunferencia.
12.	 En	un	cuadrado	de	lado	igual	a	12	cm,	se	describe	
una	 circunferencia	 tangente	 a	 un	 lado	 y	 que	
contiene	a	dos	vértices	opuestos	de	dicho	lado.	
Calcular	 el	 área	del	 círculo	 correspondiente	 a	
dicha	circunferencia.
13.	Dos	 circunferencias	 concéntricas	 tienen	 como	
radios	 6 	cm	y	"R"	cm.	La	corona	circular	que	
ellas	 determinan	 es	 equivalente	 a	 un	 sector	
circular,	 de	 30º	 de	 ángulo	 central	 y	 6	 cm	 de	
radio.	Calcular	el	valor	de	"R".
14.	 En	la	figura,	AM=MO=2 3 .	Calcular	el	área	de	
la	región	sombreada.
A
BO
M N
15.		En	la	figura:	R=2 3 ,	m BSM=120º	y	 	//	AM.	
Calcular	el	área	de	la	región	sombreada.
A
a
a
B
L S
M
CR
16.	 La	 circunferencia	 inscrita	 en	 un	 trapecio	
rectángulo	divide	al	mayor	 lado	lateral	en	dos	
segmentos	parciales	de	1	y	9	m.	Calcular	el	área	
del	trapecio.
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Unidad VII
Geometría 4
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Geometría
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
17.	Calcular	el	área	de	la	región	sombreada	"S1+S2",	
si	el	área	del	triángulo	ABC	es	igual	a	26	m2.
A C
B
S1
S2
18.	Calcular	 el	 área	del	 triángulo	 rectángulo	mos-
trado,	si:	x=30	m2	e	y=5	m2.
A
B
C
x
y
19.	 En	 la	 figura	 mostrada,	 calcular	 el	 área	 de	 la	
región	 triangular	ABC	sombreada,	 si:	PB=12 	
y	BQ=18 .
B
P
QCOA
20.	 Las	bases	de	un	trapecio	miden	"a"	y	"b"	(a>b).	
Calcular	la	longitud	del	segmento	paralelo	a	las	
bases	que	determina	dos	regiones	equivalentes.
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F)	según	co-
rresponda	y	justifique	su	respuesta:
	 •	 El	área	de	la	corona	circular	depende
	 	 del	valor	de	su	ángulo	central	y	de
	 	 su	radio.	...............................................(__)
	 •	 La	pendiente	de	una	recta	en	el	
	 	 plano	cartesiano,	no	puede	ser	cero.	....(__)
2.	 Completar:	En	el	plano	cartesiano,	si	dos	rectas	
son	paralelas,	entonces	sus	..............................	
serán	iguales.
3.	 Calcular	la	pendiente	de	una	recta	cuyo	ángulo	
de	inclinación	es	de	127º.
4.	 Una	recta	corta	al	eje	de	las	abscisas	en	el	punto	
(5;	 0)	 y	 pasa	 por	 el	 punto	 (2;	 2).	 Calcule	 su	
pendiente.
5.	 En	un	triángulo,	al	trazar	una	paralela	a	su	base,	
su	región	queda	dividida	de	manera	que	el	área	
del	trapecio	formado	sea	cinco	veces	el	área	del	
triángulo	determinado.	Calcular	 la	 relación	de	
las	bases	del	trapecio.
6.	 Grafique	al	trapecio	PQRS,	de	base	menor	QR	y	
donde	sus	diagonales	se	cortan	en	"O".	Calcule	
el	área	de	 la	 región	 triangular	POQ,	sabiendo	
que	las	áreas	de	las	regiones	triangulares	ROQ	y	
POS	son	de	25	cm2	y	64	cm2	respectivamente.
7.	 Una	 recta	 pasa	 por	 el	 punto	 (-'3;	 0)	 y	 por	
el	punto	medio	del	segmento	OB,	siendo	"O"	
el	origen	de	coordenadas	y	B(0;	8).	Calcule	la	
ecuación	de	dicha	recta.
8.	 ABCD	 es	 un	 trapecio,	 de	 base	 menor	 BC	 y	
donde	 sus	diagonales	 se	cortan	en	 "O".	Si	 las	
áreas	de	 las	 regiones	 triangulares	ABC	y	ACD	
son	de	21	cm2	y	28	cm2,	calcular	el	área	de	la	
región	triangular	OCD.
9.	 En	 un	 cuadrado	 ABCD,	 de	 6	 cm	 de	 lado,	 se	
inscribe	 una	 circunferencia	 de	 centro	 "O".	
Calcular	 el	 área	 de	 la	 superficie	 interior	 al	
triángulo	AOD	y	exterior	a	la	circunferencia	de	
centro	"O".
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202
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10.	 El	 perímetro	 de	 un	 hexágono	 regular	 inscrito	
en	una	circunferencia	es	de	24 3 	cm.	Calcular	
el	 área	 del	 círculo	 correspondiente	 a	 dicha	
circunferencia.
11.	Dos	 circunferencias	 concéntricas	 tienen	 como	
radios	a	 6 	y	3	cm.	La	corona	circular	que	ellas	
determinan	es	equivalente	a	un	sector	circular,	
de	 "qº"	 de	 ángulo	 central	 y	 6	 cm	 de	 radio.	
Calcular	"qº".12.	 La	longitud	de	una	circunferencia	es	de	12p cm.	
Calcule	el	área	de	su	círculo.
13.	 Los	 lados	 de	 un	 triángulo	 miden	 10;	 10	 y	
12'dm.	 Si	 este	 triángulo	 es	 equivalente	 a	 un	
rectángulo	 de	 18	 dm	de	 base,	 hallar	 la	 altura	
del	rectángulo.
14.	Un	trapecio	tiene	como	bases	a	6	y	14	dm.	Si	
este	polígono	es	equivalente	a	un	rombo	cuya	
diagonal	 menor	 es	 congruente	 a	 la	 altura	 del	
trapecio,	 calcular	 el	 área	 del	 trapecio,	 si	 la	
diagonal	mayor	 del	 rombo	 es	 cuatro	 veces	 la	
altura	del	trapecio.
15.	Grafique	dos	circunferencias	concéntricas	y	trace	
una	cuerda	de	21	dm	de	longitud	perteneciente	
a	la	circunferencia	mayor	y	que	es	trisecada	por	
la	circunferencia	menor.	Calcular	el	área	de	la	
corona	circular.
16.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 se	 traza	 la	 ceviana	 BF	
(AF=6FC)	y	la	mediana	AM	del	triángulo	ABF.	
Calcular	la	relación	de	áreas	del	triángulo	ABM	
y	ABC	respectivamente.
17.	Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 ceviana	
BF	 y	 la	 mediana	 AM	 que	 se	 cortan	 en	 "Q".	
Si	 FC=4AF,	 calcular	 qué	 fracción	 del	 área	
del	 triángulo	 ABC,	 nos	 representa	 el	 área	 del	
triángulo	AMF.
18.	 La	suma	de	las	bases	de	un	trapecio	es	de	26	cm	
y	su	altura	mide	13	cm.	Calcule	el	lado	de	un	
cuadrado	equivalente	a	dicho	trapecio.
19.	Grafique	al	 triángulo	 rectángulo	ABC	 (C=90º).	
Se	 traza	 la	 bisectriz	 interior	 BM 	 y	 se	 desea	
calcular	el	área	de	la	superficie	triangular	ABM,	
si:	AB=6	dm	y	CB=2	dm.
20.	 Sea	ABCD	un	trapecio,	cuya	base	menor	sea	BC	
y	cuya	área	es	igual	a	46	cm2.	Calcular	el	área	
de	la	región	triangular	CMD,	siendo	"M"	punto	
medio	de	AB.
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