2016825 9591 Tema+II+ +Transformada+de+Laplace

Prévia do material em texto

Tema II 
Tranaformada de Laplace 
Introdução 1 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Introdução 
▪ No nosso curso de CSV, vamos estudar a partir de agora uma 
ferramenta muito poderosa para a análise de circuitos e modelagem de 
sistemas – a Transformada de Laplace; 
 
▪ A T.L permite ao analista de circuitos transformar o sistema de equações 
diferenciais que descreve um circuito para o domínio da frequência 
complexa, onde ele se torna um sistema de equações lineares. 
 
 
 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida pela equação 
 
 
 
 
 
 
 f(t) = uma função de tempo em que f(t) = 0 para t< 0; 
 s = uma variável complexa; 
 L = símbolo operacional que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por 
meio da integral de Laplace; 
 F(s) = transformada de Laplace de f(t). 
 
 
 



0
)()( dtetfsF st
 )()( tfLsF 
4 
Operador de Laplace 
Transformada de 
Laplace Unilateral 
Definição 
t 
f(t) 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
No nosso curso, vamos nos concentrar no intervalo de tempo t≥0 e assume- 
se que a função f(t) possui a seguinte propriedade 
 
 
 
 
Importante!!! 
 Em estudos no domínio do tempo, a referência de tempo é frequentemente 
escolhida no instante t = 0. A resposta não precede a excitação. 
 
 
 
 
 
5 
f(t) = 0 p/ t< 0 
Transformada de 
Laplace de Funções 
Singulares 
2 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Degrau Unitário 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Rampa 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Função Exponencial 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Funções Seno e Cosseno 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO COSSENO 
 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Tabelas 
Trabalho 
 
Encontrar a Laplace do Seno e Cosseno usando a definição (integral) 
Entegrar na próxima aula 
Invidual 
Vale 0,5 ponto na PP1 
Propriedades 
3 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Multiplicação por uma Constante 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Multiplicação por uma Constante 
)(
1
)].([)]([
a
s
F
a
tafLtgL 
)(
1
)(]).()].([
00
a
s
F
aa
du
eufdtetaftafL a
su
st 





 
9
3
1
3
1
3
1
3sin
22 






ss
tL
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Linearidade 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Deslocamento no Tempo 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Deslocamento no Tempo 
a t 
f(t) g(t) 
Determinar a transformada de Laplace da função abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 t,0)(
2 t,)2()( 3


tg
ttg
 
44
3 6!3
ss
tL   se
s
tgL 2
4
6
)( 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Deslocamento na Frequência 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Derivada E-nésima 
Laplace de 
Funções Gráficas 
4 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
)()(
)(
000
00
ttttB
ttA




st
e
s
A
ttAL 0)]([ 00

Degrau 
Rampa 
st
e
s
B
ttttBL 0
2000
)]()([
 
Para cada descontinuidade 
da curva, teremos um 
degrau na expressão, e 
para cada mudança de 
inclinação, teremos uma 
rampa na expressão. 
 
Uma técnica utilizada para expressar uma forma de onda complexa envolve 
o uso de uma combinação de degraus e rampas da forma: 
As T.L dessas funções são simplesmente 
Degrau 
Rampa 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 1 
Determine a TL da função gráfica abaixo: 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 2 
Determine a TL da função gráfica abaixo: 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Seja f(t) uma função periódica com período T para t≥0 e é zero para t<0, então f(t) 
pode ser expressa como 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tt0 intervalo no )(1 tf 2TtT intervalo no )(2 tf
0≤t<T e zero nos demais lugares T≤t<2T e zero nos demais lugares 
3Tt2T intervalo no )(3 tf
Tt0 intervalo no )(1 tf
 )2()2()()( 01011 TtTtfTtTtf(t)ff(t) 
Função Periódica 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Usando o teorema do deslocamento no tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Periódica 
  TsTs esFesFsFtfL 2111 )()()()]([
)1)(()]([ 21 
 TsTs eesFtfL
 )2()2()()( 01011 TtTtfTtTtf(t)ff(t) 
)(
1
1
)]([ 1 sF
e
tfL
Ts

TL do primeiro período de f(t) 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 3 
Determine a TL das funções gráficas abaixo: 
sss e
s
e
s
e
ss
sF 32
221
2111
)(  








 

sss
s
e
s
e
s
e
sse
sF 32
224
2111
1
1
)(
 sss eee
s
sF 321 1
1
)(  
 sss
s
eee
se
sF 32
4
1
)1(
1
)( 




Laplace Inversa 
5 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 Seja a função racional em s da forma 
 
 
 
 As raízes do polinômio P(s) são chamados de zeros da função F(s) 
porque nesses valores de s, F(s) = 0; 
 As raízes do polinômio Q(s) são chamados de pólos da função F(s) 
porque nesses valores de s, F(s) se torna infinita.; 
 
 
 
29 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
30 
Pólos Simples 
Assumiremos que todos os pólos de F(s) são simples, tal que a expansão em 
frações parciais de F(s) é da forma 
 
 
 
Então a constante Ki pode ser determinada multiplicando-se ambos os lados dessa 
equação por e determinando-se o valor da equação em , isto é, 
 
 
 
Uma vez que todos os termos Ki sejam conhecidos, a função no tempo de f(t) pode 
ser obtida por meio do seguinte par de TL 
 
 
 
 
 
 
0000
)(
)()(
1 


 k
sQ
sPps
ips
i
i=1,2,...n 
ate
as
L  






11
ips )( ips 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 4 
Determine a transformada inversa de Laplace da função abaixo: 
)2)(1(
3
)(



ss
s
sF
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Pólos Múltiplos 
Se r dos n pólos de X(s) são idênticos, isto é, o pólo em é de 
multiplicidade r, X(s) é escrita como 
 
 
 
Então X(s) pode ser expandido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculado pelo método anterior Calculado por um algoritmo 
iss 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Pólos Múltiplos - Algoritmo 
 
 
 
 
i
i
i
i
ss
r
ir
r
ss
r
ir
ss
r
ir
ss
r
ir
sXss
ds
d
r
A
sXss
ds
d
A
sXss
ds
d
A
sXssA











)()(
)!1(
1
)()(
!2
1
)()(
)()(
1
1
1
2
2
2
1
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 5 
Determine a transformada inversa de Laplace da função abaixo: 
3
2
)1(
32
)(



s
ss
sF
n
tn
s
et
n )(
1
)!1(
1 1






Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Pólos Conjugados Complexos 
A expansão em frações parciais para Pólos simples é válida também para Pólos 
complexos. 
Vamos assumir que F(s) possui um par de pólos conjugados complexos. A expansão 
da fração parcial de F(s) pode ser então escrita como 
 
 
 
A constante pode ser obtida usando-se o procedimento empregado para pólos 
simples. 
 
 
 
1K
Prof. RaimundoJr. M.Sc., MBA 
Pólos Conjugados Complexos 
A função correspondente no tempo fica na forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 6 
Determine a transformada inversa de Laplace da função abaixo: 
)22)(1(
)12(9524.0
)(
2
2



ssss
ss
sX
Solução de EDLIT 
6 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
 
 
Exercício 7 
 Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelo 
método da T.L, estão envolvidas duas etapas: 
 
1. Aplicar a T.L a em cada termo de uma dada equação diferencial, converter a 
equação diferencial em uma equação algébrica em s e obter a T.L da variável 
dependente, reorganizando a equação obtida; 
2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela T.I.L da 
variável independente. 
 
 
 
 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Exercício 7 
Encontre a solução x(t) da equação diferencial : 
MatLab 
7 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Manipulando Polinômios 
Encontre a solução x(t) da equação diferencial : 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Pólos e Zeros 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Pólos e Zeros 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Expansão em Frações Parciais 
Prof. Raimundo Jr. M.Sc., MBA 
Expansão em Frações Parciais