Dependência e Independência Linear em Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 6- DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR– AULA 6
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
. Combinação Linear:
Definição.
Exemplos.
. Espaço Gerado por um Conjunto de Vetores
. Independência Linear
. Teoremas
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COMBINAÇÃO LINEAR
DEFINIÇÃO
Considere os vetores v1,v2,v3,...,vn do espaço vetorial
V e os escalares a1,a2,a3,...,an. Dizemos que qualquer vetor
v V da forma:
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn
é uma COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores v1,v2,v3,...,vn.
EXEMPLOS:
1.No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau n 2, o
polinômio v=3x²+13x-2 é uma combinação linear dos
polinômios v1=3x²-4x+5 e v2=-x²+7x-4.

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Observe que, de fato: v = 2v1 + 3v2 , ou seja:
3x²+13x—2 = 2(3x²-4x+5) + 3(-x²+7x-4)
3x²+13x-2 = 6x²-8x+10-3x²+21x-12
3x²+13x-2 = 3x²+13x-2
2. Verificar se a matriz M=(3 2 -1) é combinação linear das
matrizes: A1=(2 0 0) , A2=(0 0 2) e A3=(0 1 0)
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3.Prove que u + v = v + u para todos u e v do .Rn
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4. Determinar o valor de k para que o vetor v=(-2,k,5) seja
combinação linear dos vetores v1=(1,-2,3) e v2=(-2,1,-3).
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ESPAÇO VETORIAL GERADO POR UM CONJUNTO DE VETORES
Os vetores fixos v1,v2,v3,...,vn em um espaço vetorial
V geram V se todo vetor de V for uma combinação linear de
v1,v2,v3,...,vn.
Representamos por V=[v1,v2,v3,...,vn] que indica ser V
gerado pelos vetores v1,v2,v3,...,vn.
Para verificar se os vetores v1,v2,v3,...,vn geram o
espaço vetorial V basta proceder do seguinte modo:
1º) escolher um qualquer vetor v em V
2º) verificar se v é combinação linear dos vetores dados.
Então se for, os vetores dados geram V, caso
contrário, não geram V.
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Note que os vetores v1=(1,0) e v2=(0,1) geram o espaço R².
De fato, qualquer que seja o vetor (x,y) do R² ele pode ser
escrito como uma combinação linear dos vetores v1=(1,0) e
v2=(0,1).
Isto é: (x,y) = x(1,0) + y(0,1)
Podemos então escrever:
R²=[(1,0),(0,1)]
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INDEPÊNDENCIA LINEAR
Se S={v1,v2,v3,...,vn} é um conjunto não-vazio de
vetores, então a equação vetorial
a1v1+a2v2+a3v3+ ... +anvn = 0
tem pelo menos uma solução, a saber,
a1=0, a2=0, a3=0, ... , an=0.
Se esta é a única solução, então o conjunto S é
chamado LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI). Se existem outras
soluções, então S é um conjunto LINEARMENTE DEPENDENTE
(LD).
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EXEMPLOS.
1. No espaço vetorial V=R³ os vetores v1=(2,-1,3), v2=(-1,0,-2)
e v3=(2,-3,1) formam um conjunto linearmente
dependente (LD), pois 3v1+4v2-v3=0 ou seja:
3(2,-1,3)+4(-1,0,-2)-(2,-3,1) = (0,0,0)
2. No espaço vetorial R³, o conjunto {e1,e2,e3} , tal que
e1=(1,0,0) , e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1), é linearmente
independente (LI)
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TEOREMA 1
a. Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo
é linearmente dependente.
b. Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente
independente se, e somente se, nenhum dos dois vetores é
um múltiplo escalar do outro.
TEOREMA 2
Seja S={v1,v2,v3, ... ,vn} um conjunto de vetores em .
Se r>n, então S é linearmente dependente.
OBS.: O teorema acima nos diz que um conjunto em R² com
mais de dois vetores é linearmente dependente e que um
conjunto em R³ com mais de três vetores é linearmente
dependente.
R
n
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EXEMPLOS
1. Verifique se as matrizes M1 = 2 2 e M2 = 0 0 do
0 0 2 2
espaço das matrizes de ordem 2x2 são LI ou LD.
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2. Os vetores u=(3,-2), v=(-5,0) e w=(1,-4), do R², são
linearmente dependentes, pois w=2u + v.
3. Os vetores u=(-1,0,2) e v=(-3,0,6) do R³, são linearmente
dependentes, pois v=3u.
Obs.: Note que a frase “v é combinação linear de u” significa
“v é múltiplo de u”.
4.Os vetores u=(4,-1) e v=(3,5) do R², são linearmente
independentes, pois v não é múltiplo de u, nem u é múltiplo
de v.
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5. Determinar o valor de k que torna os vetores u=(k,1,0),
v=(2,2,3) e w=(-1,0,2) linearmente dependentes.
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Na aula de hoje estudamos:
. Combinação Linear:Definição.
Exemplos.
. Espaço Gerado por um Conjunto de Vetores
. Independência Linear e Dependência Linear
. Teoremas