Integrais Duplas

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Integrais Duplas
Soma de Riemann
Partições Rij da região R
Definição de Integral Dupla de f sobre R
R
dA = área de R
(u,v) = ponto de R
2
Partições de W 
Sólido W e partições de W
Paralelepípedos de W
Reconstrução do sólido W
Integral Iterada
Cálculo: 
Integramos primeiro o colchete interno, mantendo fixa a variável externa;
 Aplicamos os limites da integração indicados do colchete;
Integramos novamente na outra variável;
Aplicamos os limites da integração não utilizada ainda.
Resultado é um número real = volume.
ou
Teorema de Fubini
Seja f : R  R, contínua sobre a região R. 
Interpretação geométrica 1
Interpretação geométrica 2
Solução:
Interpretação geométrica 3
Calcule o volume do sólido limitado por e pelos planos x = 0, x = 3, y = 0 e y = 1.
Interpretação geométrica 4
Calcular o volume do sólido limitado por e pelos planos x = -1, x = 1, y = -1 e y = 1.
Integração Dupla sobre Regiões Gerais
Exemplo da Região de Tipo I
Integração Dupla sobre Regiões Gerais – Regiões de Tipo II
Exemplo de Região de Tipo II
Integração Dupla sobre Regiões Gerais – Regiões de Tipo III
A figura ao lado representa que tipo de Região ?
Qual a integral dupla que representa a figura abaixo?
Integral Dupla e volume dos Sólidos
Integral Dupla e volume dos Sólidos
Como resolver integrais duplas sem indicação de limites de integração?
no primeiro octante?
Exemplo 1:
Como resolver integrais duplas sem indicação de limites de integração?
Exemplo 2:
eixo dos y ?
Exercício:
Determine o volume do sólido limitado por 
y – x + z = 1 e pelos planos coordenados.
Solução: 
O sólido está limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0,0,1), (0,1,0) e (-1,0,0); e, inferiormente pelo plano z= 0.
Determine o volume do sólido limitado por 
y – x + z = 1 e pelos planos coordenados.
Mais um exemplo...
Último exemplo.
Visualizando as quádricas:
4 vezes
Exercícios: