EP01 Números Complexos 2012 2 TUTOR

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Fundac¸a˜o CECIERJ − Vice Presideˆncia de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia
Curso de Licenciatura em F´ısica − UFRJ/CEDERJ
Exerc´ıcios Programados de Nu´meros Complexos −
Aulas 1 mo´dulo 2
Exerc´ıcios recomendados em cada aula: Todos
Exerc´ıcios extras:
1. Determine o valor de E na expressa˜o E = sen2
pi
12
− cos2 pi
12
+ tg
pi
12
Soluc¸a˜o:
Temos que sen2
pi
12
− cos2 pi
12
= −cos(2× pi
12
) = −cospi
6
= −
√
3
2
.
e
pi
12
=
pi
4
− pi
6
,
segue que tg
pi
12
=
tg pi
4
− tg pi
6
1 + tg pi
4
.tg pi
6
=
1−
√
3
3
1 +
√
3
3
=
3−√3
3 +
√
3
.
Assim, E = −
√
3
2
+
3−√3
3 +
√
3
.
1. Calcule os seguintes valores:
(a) cos
5pi
24
Soluc¸a˜o:Como
5pi
24
=
1
2
(pi
4
+
pi
6
)
, enta˜o
cos2
5pi
24
=
1 + cos(
pi
4
+
pi
6
)
2
=
1 + cos
pi
4
· cos pi
6
− sen pi
4
· sen pi
6
2
=
1 +
√
2
2
·
√
3
2
−
√
2
2
· 1
2
2
=
4 +
√
6−√2
8
Assim, cos
5pi
24
=
√
4 +
√
6−√2
8
(b) sen 90◦
Soluc¸a˜o:sen 90◦ = sen(45◦ + 45◦) = 2 sen 45◦ · cos 45◦ = 2 ·
√
2
2
·√
2
2
= 1.
2. Verifique a identidade senα+ sen β = 2 · sen
(
α+ β
2
)
· sen
(
α− β
2
)
Soluc¸a˜o:Sabemos que para todos arcos x e y temos{
sen(x+ y) = sen x cos y + cosx sen y
sen(x− y) = sen x cos y − cos x sen y
Assim, sen(x + y) + sen(x− y) = 2 senx · cos y. Fazendo x + y = α
e x− y = β, temos x = α+ β
2
e y =
α− β
2
. Com isso, temos
senα+ sen β = 2 · sen
(
α+ β
2
)
· cos
(
α− β
2
)
.