BDQ CALCULO 2

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1 
 
 
1° AVALIAÇÃO (28/11/17): 
 
 
 
 
 
 
Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈2,3,11〉 
 
〈4,8,7〉 
 〈4,0,10〉 
 
〈6,8,12〉 
 
〈2,4,12〉 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201610186445) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 
fx=ey e fy=3xey 
 
fx=0 e fy=0 
 fx=e3y e fy=3xe3y 
 
fx= -e3y e fy= -3xe3y 
 
fx=π3y e fy=3πe3y 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201609096508) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201609219783) Acerto: 0,0 / 1,0 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 (1-cost,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 (1-sent,sent,0) 
2 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201610177060) Acerto: 1,0 / 1,0 
A circunferência x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 
r = 6 
 
r = 4 
 
r = 7 
 r = 3 
 
r = 5 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201609790309) Acerto: 1,0 / 1,0 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
no raio do círculo. 
 Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
 
no centro do círculo. 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
na reta y = x. 
 5a Questão (Ref.: 201609641923) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 
20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
x40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
 
x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
3 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201609636093) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
 
-2 
 
-1 
 
1 
 
0 
 2 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201610168783) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): 
 
 
1/5 ua 
 
1 ua 
 
1/4 ua 
 
1/3 ua 
 ½ ua 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201610168748) Acerto: 1,0 / 1,0 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
 
cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 
1xyz 
 2(xz+yz-xy)xyz 
 
 (1x+1y+1z) 
 
 
 
 
4 
 
2° AVALIAÇÃO (28/09/17): 
 
1a Questão (Ref.: 201610144613) Acerto: 1,0 / 1,0 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
(1, 1, -1) 
 (0, -1, 1) 
 
(2, 1, -1) 
 
(-1, 0, 1) 
 
(0, 2, -1) 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201610082458) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 
 
r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 
r'(t)=v(t)=32i - j 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 
r'(t)=v(t)=14i + j 
 
r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 
 3a Questão (Ref.: 201609219813) Acerto: 1,0 / 1,0 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, 
de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
i - j - k 
 
j - k 
 
- i + j - k 
 i + j + k 
 
i + j - k 
 
 4a Questão (Ref.: 201610022563) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de 
x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 0 e 0 
 
36 e -60 
 
9 e 15 
 
36 e 60 
 
18 e -30 
 
 
5 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201609636133) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201609635701) Acerto: 0,0 / 1,0 
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 
cosxy + senxy 
 y.cosxy + senxy 
 xy.cosxy + senxy 
 
xy.cosxy - senxy 
 
x.cosxy + senxy 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201609636093) Acerto: 0,0 / 1,0 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
 2 
 
-2 
 1 
 
-1 
 
0 
 
 8a Questão (Ref.: 201610057773) Acerto: 0,0 / 1,0 
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1) 
 
 
-5 
 
-3 
 -4 
 -2 
 
-1 
 
 
 
 
6 
 
 9a Questão (Ref.: 201610185015) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
 
 27/2 
 
14 
 
12 
 
18/35 
 
15/17 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201610168782) Acerto: 1,0 / 1,0 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para 
os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
21(u.v.) 
 
2(u.v.) 
 
15(u.v.) 
 8(u.v.) 
 
17(u.v.) 
 
 
 
OBS: AS QUESTÕES DA 3° AVALIAÇÃO (28/09/17) FORAM AS 
MESMAS DA AVALIAÇÃO ANTERIOR (SEGUNDA). 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
OUTRAS AVALIAÇÕES: 
 
1° AVALIAÇÃO CÁLCULO II (AGOSTO 2017): 
 
 1a Questão (Ref.: 201610082458) 
Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 
r'(t)=v(t)=32i - j 
 
r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 
r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 
r'(t)=v(t)=14i + j 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201610022048) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
 
I 
 I e II 
 
I, II e III 
 
II 
 
III 
 
 3a Questão (Ref.: 201609102486) Acerto: 1,0 / 1,0 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 3 
 
9 
 
2 
 
14 
 
1 
8 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201609096508) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
 
5a Questão (Ref.: 201609641923) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
 
 
x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 
x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
 
x40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
 
20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201609635701) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy.xy.cosxy - senxy 
 
x.cosxy + senxy 
 
y.cosxy + senxy 
 xy.cosxy + senxy 
 
cosxy + senxy 
 
 
 
 
 
9 
 
 7a Questão (Ref.: 201609636093) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
 
0 
 
-2 
 
-1 
 2 
 
1 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201609087581) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no 
plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula 
são x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
 1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) (V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 6) (F) 
 
 
 
10 
 
 9a Questão (Ref.: 201610168776) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
Todas as opções são verdadeiras. 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a 
precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume 
estimado pelo diferencial é maior que 5%. 
 Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 
cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o 
diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone 
é de aproximadamente 20π cm^3. 
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201610168779) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
 
70/9 
 70/3 
 
70/15 
 
70/11 
 
70/13 
 
 
2° AVALIAÇÃO CÁLCULO II (AGOSTO 2017): 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201609219931) Acerto: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
t2 i + 2 j 
 
0 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201609219901) Acerto: 1,0 / 1,0 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201609102486) Acerto: 1,0 / 1,0 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
2 
 
9 
 
14 
 
1 
 3 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201609707807) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
 
 r =3 tg θ . sec θ 
 
r=tg θ. cossec θ 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 
r =3 cotg θ. sec θ 
 
=cotg θ. cossec θ 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201609904526) Acerto: 1,0 / 1,0 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
2,28 
 
9,31 
 
3,47 
 4,47 
 
2,56 
 
12 
 
 6a Questão (Ref.: 201609635702) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 
z / ( z - 1) 
 
z / (yz + 1) 
 
z / y 
 z / (yz - 1) 
 
z / (y - 1) 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201609851526) Acerto: 1,0 / 1,0 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(23)x-133 
 
y=(23)x+103 
 
y=-(23)x+133 
 y=(23)x+133 
 
y=(13)x+133 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201609704674) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 
 
 2/t + 2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2btgt + cotgt 
 
2/t + 2bcotgt 
 
2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2bt + tgt 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201610168776) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 
cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o 
diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone 
é de aproximadamente 20π cm^3. 
 
Todas as opções são verdadeiras. 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a 
precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume 
estimado pelo diferencial é maior que 5%. 
 
 
13 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201610168781) Acerto: 1,0 / 1,0 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, 
para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
1/2(e6-1) 
 
1/2(e-1) 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 
(e-1)(e6-1) 
 
-1/2(e-1)(e6-1) 
 
3° AVALIAÇÃO CÁLCULO II (AGOSTO 2017): 
 1a Questão (Ref.: 201609219931) Acerto: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
t2 i + 2 j 
 3t2 i + 2t j 
 
0 
 
 2t j 
 
 2a Questão (Ref.: 201609219901) Acerto: 1,0 / 1,0 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 3a Questão (Ref.: 201609102486) Acerto: 1,0 / 1,0 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
2 
 
1 
 
14 
 
9 
 3 
 
 
 
14 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201609707807) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
 
 
=cotg θ. cossec θ 
 
r=tg θ. cossec θ 
 
r =3 cotg θ. sec θ 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 r =3 tg θ . sec θ 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201609904526) Acerto: 1,0 / 1,0 
Qual a taxade variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
2,28 
 
9,31 
 
3,47 
 4,47 
 
2,56 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201609635702) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 
z / (y - 1) 
 
z / y 
 z / (yz - 1) 
 
z / ( z - 1) 
 
z / (yz + 1) 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201610082549) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-zno ponto P0(-1,-
1,-1) 
 
 
∇f=<-e,-e, e> 
 
∇f=<-e,-1,-e> 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 ∇f=<-e,-e,-e> 
 
∇f=<-1,-1,-1> 
 
 
15 
 
 8a Questão (Ref.: 201609636093) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
 
0 
 2 
 
-1 
 
-2 
 
1 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201610168775) Acerto: 0,0 / 1,0 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 125 
 
120 
 
110 
 105 
 
115 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201610168749) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 
 
 
sen t + cos t 
 cos t 
 
tg t - sen t 
 
sen t 
 
tg t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
OUTRAS PROVAS (INTERNET): 
 
 1a Questão (Ref.: 201308267554) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, 
de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
i - j + k 
 
j 
 
j - k 
 k 
 
j + k 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201308267578) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 2t j 
 
t2 i + 2 j 
 
0 
 3t2 i + 2t j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201308267563) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
6i+2j 
 6ti+2j 
 
6ti+j 
 
6ti -2j 
 
ti+2j 
 
 
 
 
17 
 
 4a Questão (Ref.: 201308267466) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
sent i - t2 k + C 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 
-cost j + t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201308267760) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
 
 
(0,0,2) 
 
(0,-1,-1) 
 
(0, 1,-2) 
 (0,-1,2) 
 (0,0,0) 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201308267548) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201308267518) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
2i - j + π24k 
 
2i + j + (π2)k 
 
i+j- π2 k 
 
i - j - π24k 
 2i + j + π24k 
 
18 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201308144185) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (sent)i + t³j 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i + 3tj 
 
(cost)i - 3tj 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201308150583) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201308146411) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 
e3 i+j 
 
3i+5k 
 
e3i+j+5k 
 
3i+j+5k 
 e3 i + 5k 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 5a Questão (Ref.: 201308145347) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
-12 
 
12 
 11 
 
5 
 
- 11 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201308267442) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, 
de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 i + k 
 
i + j - k 
 
j + k 
 i + j 
 
i + j + k 
 
 
 
 Fechar 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201308267430) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 
 
 
20 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201308144768) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 (c) 
 
(d) 
 (a) 
 
(b) 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201308267423) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 
(sect,-cost,1) 
 
(sent,-cost,0) 
 (-sent, cost,1) 
 
(sent,-cost,2t) 
 
(sent,-cost,1) 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201308149974) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
21 
 
 
(1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201308150133) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. 
Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
14 
 
9 
 3 
 
1 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201308144155) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i +(sent + cost)j + 1 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201308146707) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
w2 
 
cos2(wt) 
 
-wsen(wt) 
 0 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201308149645) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
32 
 
3 
 33 
 23 
 
22 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201308149491) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
 
cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 
1xyz 
 
 (1x+1y+1z) 
 2(xz+yz-xy)xyz 
 
 
 
 
23 
 
 4a Questão (Ref.: 201308150608) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 (-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201308148880) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t=0 
 
 18 
 10 
 
8 
 
20 
 
12 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201308150603) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
sen t 
 
1/t + sen t 
 1/t + sen t + cos t 
 
cos t 
 1/t 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
1. 
 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no 
ponto (0,π,π/2). 
 
 
 
2√(π^2+ 1) 
 √(π^2+ 1) 
 
5√(π^2+ 1) 
 
4√(π^2+ 1) 
 
3√(π^2+ 1) 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no 
ponto (0, 1, π/2). 
 
 
 
-2 
 1 
 
2 
 
-1 
 
0 
 
 
3. 
 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 
 
0 
 
 -1 
 
 -2 
 2 
 
1 
 
 
25 
 
4. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x 
variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
12 
 16 
 
20 
 
14 
 
10 
 
 
 
 
5. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 xy cos xy + sen xy 
 
 
 
6. 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 
2π3 
 2π2 
 
3π2 
 
2π 
 
π2 
 
26 
 
7. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a 
curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 
, 1] 
 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
4 
 
2 * (14)^(1/2) 
 4 * (14)^(1/2) 
 
 
8. 
 
 
Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla 
de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale: 
 
 
 
128π3 
 
64π 
 
32π3 
 
36π 
 128π 
 
1. 
 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j 
- 6k será: 
 
 
 
-
37/7 
 
12/7 
 
-
51/7 
 
26/7 
 40/7 
 
27 
 
2. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada 
parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x 
 
 
 
- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 
x3.cos(x) +y3.sen(x) 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 
3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 
 3x
2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
 
3. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) 
* z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
 
4. 
 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do 
vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π). 
 
 
 
3√3 
 √3 
 
√3/3 
 
2√3 
 
√3/2 
 
 
28 
 
5. 
 
 
Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k sobre a curva r(t) = ti 
+t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1). 
 
 
 
0,58 
 
0,38 
 0,48 
 
0,28 
 
0,18 
 
 
6. 
 
 
Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo 
eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = 
∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗 
 
 
 
3 
 1 
 
2 
 
4 
 
5 
 
 
 
7. 
 
 
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move 
ao longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o 
vetor aceleração para t = 0. 
 
 
 
- 3i 
 
i + j + 2k 
 
- 3j + 2k 
 - 3i + 2k 
 
3i + 2k 
 
29 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1 
 
 
 
- 9 E 15 
 - 8 E 14 
 
- 6 E 12 
 
- 10 E 16 
 - 7 E 13 
1. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
 
e-1 
 7e
-7 
 
7e 
 
7 
 
e7 
 
 
 
2. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra 
submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em 
metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
 
 60PI 
 80PI 
 
100PI 
 
40PI 
 
20PI 
 
30 
 
 
3. 
 
 
Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < 
z < x^2+y^2. 
 
 
 
V = 1/4 u.v. 
 
V = 3/4 u.v 
 V=2/3 u.v 
 
V = 21 u.v. 
 
V = 1/3 u.v 
 
 
4. 
 
 
O valor da integral é 
 
 
 -1/12 
 
1/12 
 
-2/3 
 
0 
 
2/3 
 
5. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
 
- 3x - 2y 
 
- 3x + 2y 
 
3x + 2y 
 3x - 2y 
 
2x - 3y 
 
 
 
31 
 
6. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-
1). 
 
 
 -7/2 
 
1/2 
 
0 
 
-1/2 
 
7/2 
 
 
7. 
 
 
Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2) 
 
 
 
-4 
 
46 
 
-2 
 
2 
 
 
8. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
 
 1 
 
 20 
 
 16 
 
 10 
 
 2 
32 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 25, 33 
 
34,67 
 
32,59 
 
33,19 
 
53,52 
 
 
2. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva 
representada pela fronteira . 
 
 
 
 
 
-3 
 
-1 
 
3 
 6 
 -6 
 
 
 
33 
 
3. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções 
harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 1,3,4 
 
1,2,3 
 
1,2,5 
 
1,2,4 
 
1,3,5 
 
 
4. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
0 
 
13 
 
14 
 12 
 
15 
 
 
 
34 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva 
C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
2 
 -2 
 
0 
 
1 
 
-10 
 
6. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva 
C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
1 
 
2 
 0 
 
4 
 
3 
7. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, 
os valores de f ao longo da curva são dados pela função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando 
integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a 
integral de linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 423 
 
233 
 
1 
 
324 
 
2 
35 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 
14u.c. 
 21u.c. 
 
7u.c. 
 
 28u.c. 
 
 49u.c. 
 
1. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado 
por r(t) = t3 i + t2j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
0 
 3t
2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
t2 i + 2 j 
 
2. 
 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos 
Reais, analise as afirmativas abaixo: 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
 
 
36 
 
 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
I 
 I e II 
 
II 
 
I, II e III 
 
III 
 
 
3. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-
1+6t〉 
 
 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
4. 
 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. 
 
 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 
r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 
r'(t)=v(t)=32i - j 
 
r'(t)=v(t)=14i + j 
 
r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 
 
 
 
 
37 
 
5. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 2sent i - cost j + t
2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
6. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, 
indicando a única resposta correta. 
 
 
 
 
(0,-1,-1) 
 
(0,0,0) 
 
(0,0,2) 
 
(0, 1,-2) 
 (0,-1,2) 
 
 
 
7. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado 
por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
 
ti+2j 
 6ti+2j 
 
6ti -2j 
 
6i+2j 
 
6ti+j 
 
 
38 
 
8. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o 
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da 
função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
j + k 
 
j 
 
i - j + k 
 k 
 
j - k 
 
 
1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-sent,sent,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
2. 
 
 
Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t 
pertencente a R. As coordenadas de seu vetor velocidade em t = 0 são: 
 
 
(2; -3; 3) 
 
(1; -2; -1) 
 (2; 0; 3) 
 
(2; -6; -3) 
 
(0; 8; 4) 
 
39 
 
3. 
 
 
Sendo C(x, y) = 200 + 3x + 2y a função custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y 
unidades de um produto B, o custo para fabricar 20 unidades de A e 15 unidades de B é: 
 
 
270 
 250 
 
300 
 290 
 
280 
 
 
4. 
 
 
O custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades de um produto B é dado 
por C(x, y) = 200 + 3x + 2y. Ao custo total de 270 e fabricando 20 unidades de B, quantas unidades de 
A podem ser fabricadas? 
 
 
15 
 
20 
 10 
 
25 
 
5 
 
5. 
 
 
A equação paramétrica da reta tangente à função f(t), para t pertencente ao 
intervalo [1;5] em t0=2 é: 
 
 
 
x = 4 - 4t; y = 19 -16 t 
 
x = 4 + 2t; y = 16 +19 t 
 x = 2 + 4t; y = 19 +16 t 
 
x = 2 - 4t; y = 19 +16 t 
 
x = -2 + 4t; y = -19 +16 t 
 
40 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-
3t2; 3t+4), para t pertencente a R. As coordenadas de seu vetor aceleração em t = 
0 são: 
 
 
(-2; 6; 2) 
 
(1; -2; 0) 
 
(0; 8; 4) 
 (0; -6; 0) 
 
(2; -3; 3) 
 
 
7. 
 
 
Dada a equação da velocidade v(t)=(sent)i+t2j, o vetor aceleração no instante t=0 tem módulo: 
 
 
4 
 
0 
 
3 
 1 
 
2 
 
8. 
 
 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
 0,25i + 7j + 1,5k 
 
0,25i + 7j - 1,5k 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 
 
41 
 
1. 
 
 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 
2.x2 + y2. 
 
 
 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y)= x^2 y^3-4 y no 
ponto (2,-1) na direção do vetor v=2i+5j. 
 
 
 
 
(32)/29 
 (32√29)/29 
 
(32√29)/9 
 
(3√29)/2 
 
(√29)/29 
 
3. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 2.x3.3y2, simbolizaremos por fx e fy as derivadasparciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(-1;2) e 
fy(-2,1) são, respectivamente. 
 
 
 
18 e 6 
 
72 e -24 
 
18 e - 54 
 
36 e -96 
 72 e -96 
 
42 
 
4. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais 
de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, 
respectivamente. 
 
 
 
36 e -60 
 
36 e 60 
 
18 e -30 
 
9 e 15 
 0 e 0 
 
5. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para as derivadas parciais 
de f(x,y,z)=x3yz2+x+2y+4. 
 
 
 
 
fx=3x2yz2+1; fy=x3yz2-
2; fz=2x3yz. 
 
fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 
 
fx=3x2yz2; fy=x3z2+2; fz=2x3yz2. 
 
fx=2x3yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 
 fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz. 
 
 
6. 
 
 
Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x2 + 
y3).senx. 
 
 
 fx = 2x.senx + 2x.cosx e fy = 3y.senx 
 
fx = 2x.cosx + (2x2 + y3).senx e fy = 3y2.senx 
 fx = 2x.senx + (x
2 + y3).cosx e fy = 3y2.senx 
 
fx = x.senx + (x2 + y3).cosx e fy = 3y2.senx + x2 
 
fx = 2x.senx + (x2 + 3y).cosx e fy = 3y2 
 
 
43 
 
7. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = (x2 + 2xy)3, paralela 
ao eixo x, no ponto P = (1;2). 
 
 
 
200 
 
320 
 
150 
 
125 
 450 
 
8. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 4xy2, paralela ao eixo 
x, no ponto P = (5;4). 
 
 
 
160 
 
32 
 
135 
 64 
 
26 
 
 
1. 
 
 
Encontre o lim┬(t→3)⁡〖(3t^2 i-(2e^2t-1)j-cos⁡(tπ)k)〗 
 
 
 
 27i - (2e^6 - 1)j + k 
 
27i - (2e^6 - 1)j - k 
 
27i - (2e^3 + 1)j - k 
 
27i - (2e^3 - 1)j - k 
 
27i + (2e^6 - 1)j - k 
 
 
 
 
44 
 
2. 
 
 
Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), 
para a função f(x,y) = ln(x2 + 2xy), o valor de fx e fy será: 
 
 
 
 
fx = 2/(x2 + 2xy) e fy = 2/(x2 + 2xy) 
 
fx = 1/(x2 + 2xy) e fy = 2/(x2 + 2xy) 
 fx = (2x+2y)/(x
2 + 2xy) e fy = 2x/(x2 + 2xy) 
 
fx = (2x+2y) e fy = e(x + 2xy) 
 
fx = (x+y)/(x2 + 2xy)2 e fy = x/(x2 + 2xy)2 
 
3. 
 
 
Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), 
para a função f(x,y) = (x2 + y2).sen(x), o valor de fx e fy será: 
 
 
 
fx = sen(x) + cos(x) e fy = 2y 
 
fx = 2x.sen(x) - cos(x) e fy = y.cos(x) 
 fx = 2x.sen(x) + (x
2 + y2).cos(x) e fy = 2y.sen(x) 
 
fx = 2x.cos(x) - (x2 + y2).sen(x) e fy = 2y.cos(x) 
 
fx = 2x.sen(x) e fy = 2y.sen(x) 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 
 
z / (yz + 1) 
 
z / y 
 
z / (y - 1) 
 z / (yz - 1) 
 
z / ( z - 1) 
 
45 
 
5. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 3x2y, paralela ao eixo 
y, no ponto P = (10;15). 
 
 
 
900 
 
500 
 300 
 
700 
 
200 
 
6. 
 
 
Encontre a diferencial total da função z= e^(x^2+ y^2 ) (senx)^2 das três variáveis x, y 
e z. 
 
 
 
dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+cos2zdx) 
 
dz= e^(x^2+ y^2 )(2sen^2 zdx+2sen^2 zdy+sen2zdx) 
 dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx) 
 
dz= e^(y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx) 
 
dz= e^(x^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy + sen2zdx) 
 
 
7. 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = x2 + 3y2, paralela ao 
eixo y, no ponto P = (3;2). 
 
 
 
-8 
 
18 
 
6 
 
3 
 12 
 
 
46 
 
8. 
 
 
Sabendo que uma partícula se move ao longo de uma curva no espaço, com velocidade v = (2t;-4t; 1) e que 
a sua posição no instante t=0 era (1;1;0), qual é sua posição em qualquer t maior que zero. 
 
 
 
s (t) = (t^2; 1 - 2t^2; t) 
 
s (t) = (t^2+1; 1 - 4t^2; t) 
 s (t) = (t^2 +1; 1 - 2t^2; t) 
 
Nenhuma das alternativas anteriores 
 
s (t) = (t^2; 1 - 4t^2; t) 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 
 
 
 
70/13 
 
70/15 
 
70/9 
 
70/11 
 70/3 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(cost)i - 3tj 
 (sent)i + t³j 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i + 3tj 
 
47 
 
3. 
 
 
Calcule a Integral Dupla: 
 
 
 -1/2 
 
2/3 
 
1/3 
 
5/2 
 
1/2 
 
4. 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
 
Todas as opções são verdadeiras. 
 Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e 
obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas 
medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o 
erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de 
aproximadamente 20π cm^3. 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e 
que a cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a 
diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é 
maior que 5%. 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que 
∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
5. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo 
vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
2i + 2j 
 2j 
 
2i 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
48 
 
6. 
 
 
 
 
 
41 
 
22 
 27/2 
 
33/19 
 
18/5 
7. 
 
 
Determine e indique a única resposta correta para fx,fy,fz, se f(x,y,z)=exylnz. 
 
 
fy=yexylnz; fx=xexylnz; fz=eyz 
 
fx=zyexylnz; fy=xyexylnz; fz=xyexyz 
 fx=yexylnz; fy=xexylnz; fz=exyz 
 
fx=exylnz; fy=exylnz; fz=xyexyz 
 
fx=yexylnyz; fy=xexylny; fz=exyx 
8. 
 
 
Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 
 
 
13 
 
15 
 
16 
 
12 
 14 
 
 
49 
 
1. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1) 
 
 
 
 ∇f=<-e,-e,-e> 
 
∇f=<-1,-1,-1> 
 
∇f=<-e,-1,-e> 
 
∇f=<-e,-e, e> 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
 
2sen(x - 3y) 
 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 
 
∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
50 
 
 
 
4. 
 
 
Considerando que a equação define y como uma função diferenciável de 
x, use a Diferenciação Implícita para encontrar o valor de dydx no ponto 
dado. 
 x3 - 2y2 + xy = 0, (1,1). 
 
 
 
 
3/4 
 
-3/4 
 
-4/3 
 4/3 
 
1/2 
 
 
5. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2). 
 
 
 
 
∇f=<-8,8,8> 
 
∇f=<-8,-8,-8> 
 ∇f=<8,8,8> 
 
∇f=<8,8,-8> 
 
∇f=<8,-8,8> 
 
 
6. 
 
 
Calculea velocidade de uma partícula com vetor de 
posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. 
 
 
 
 
(2,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(1+t)et) 
 (2t,et,(1+t)et) 
 (t,et,(2+t)et) 
 
(2t,et,(1 - t)et) 
 
51 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=-e-x-e-y-e-z no ponto P0(1,1,1). 
 
 
 
 ∇f=<1e,1e,1e> 
 
∇f=<1e,-1e,1e> 
 
∇f=<-1e,1e,1e> 
 
∇f=<1e,1e,-1e> 
 
∇f=<2e,3e,4e> 
 
 
8. 
 
 
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 
 
 
 
 
2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2bcotgt 
 
2/t + 2bt + tgt 
 2/t + 2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2btgt + cotgt 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201503237643) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio=2 cm e altura=5 cm. O 
custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm^2. Se as dimensões sofrerem um 
acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se : Qual o valor exato do acréscimo no custo da 
caixa? 
 
 
R$ 19,30 
 
R$ 25,17 
 R$ 10,47 
 
R$ 10,00 
 
R$ 11,21 
52 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201503089530) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O valor de ∫012∫0yx dx dy é 
 
 
64 
 
144 
 
128 
 288 
 
328 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201503062832) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 
y = x - 7x² + 5 
 
y = 7 + 2x - 0,25x² 
 
y = x² -7x - 1 
 
y = x³ -5x² -3 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201503132313) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a derivada de 2ª Ordem D2f/dxdy da função f(x,y) = (y/2)e2x+xln(2y) 
 
 e2x+ln(2y) 
 
ye2x+ln(2y) 
 e2x+(2/y) 
 
ye2x+(2/y) 
 
e2x+(1/y) 
53 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201502819614) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
5/6 
 
2/3 
 7/6 
 
1/2 
 1/6 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201503092636) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 27/2 
 
12 
 
15/17 
 
18/35 
 
14 
 
 
54 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201503095516) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a área limitada da região limitada entre as curvas, y = x + 6 e y = x². 
 
 
13/2 
 
49/6 
 
22/3 
 125/6 
 
27/2 
 
 8a Questão (Ref.: 201502818830) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) na direção de v = 3i - 4j 
usando o gradiente. 
 
 
8/5 
 -1 
 
1 
 
3/5 
 
-4/5 
 
 
1a Questão (Ref.: 201502836809) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 
 
 
1-z 
 
0 
 1 
 
2-2z 
 
2 
55 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201503089604) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2 é 
 
 
8/3 
 
2/3 
 
4/3 
 
1/3 
 16/3 
 
 3a Questão (Ref.: 201502825407) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 
56 
 
 
50 π 
 
73,37 π 
 
33,37 π 
 37,33 π 
 
60 π 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201503089957) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
 
 
244π 
 
188π 
 288π 
 
144π 
 
36π 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201503241396) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a integral de linha ∮c (x2 ydx (x-2y)dy, onde a curva "c" é o segmento da parábola y = x2 de 
(0,0) a (1,1) 
 
 
-2/5 
 
-3/5 
 
-1/5 
 
-1/15 
 -2/15 
 
 
57 
 
 6a Questão (Ref.: 201503241422) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja Ψ (x,y,z) = sen x + 2xy + zy, calcule o laplaciano de Ψ 
 
 
- sen (x) - 6 
 
- cos x - 3 
 - sen(x) + 6 
 
6 
 
-cos ( x) + 3 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201503203769) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 
10 u.v 
 
16/3 u.v 
 
24/5 u.v 
 
18 u.v 
 9/2 u.v 
 
 
 
58 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201503000412) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 
3y2 e inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2. 
 
 
e) 25 /5 
 
c) 89 / 5 
 
b) 85/ 2 
 a) 86 / 3 
 
d) 82 /3 
 
1. 
 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no 
ponto (0,π,π/2). 
 
 
 
4√(π^2+ 1) 
 √(π^2+ 1) 
 
5√(π^2+ 1) 
 
3√(π^2+ 1) 
 
2√(π^2+ 1) 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, 
π/2). 
 
 
 
0 
 
2 
 -2 
 
-1 
 1 
59 
 
 
 
3. 
 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 
 -
1 
 
0 
 
 -
2 
 2 
 1 
 
4. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano 
xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na 
superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
10 
 16 
 
20 
 
14 
 
12 
 
 
5. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 xy cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
60 
 
6. 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 
2π3 
 
π2 
 
2π 
 2π2 
 
3π2 
 
 
7. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a 
curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 
, 1] 
 
 
 
4 * 
(2)^(1/2) 
 
4 
 
14 * 
(2)^(1/2) 
 
2 * 
(14)^(1/2) 
 
4 * 
(14)^(1/2) 
 
 
8. 
 
 
Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla 
de f(r,θ,z)=2z para 0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale: 
 
 
 
64π 
 128π 
 
32π3 
 
128π3 
 
36π 
 
61 
 
1. 
 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de 
equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x 
≥ 0}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do 
vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π). 
 
 
 
2√3 
 √3 
 
3√3 
 
√3/2 
 
√3/3 
 
 
3. 
 
 
Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 
3xy + y ¿ 1 
 
 
 - 10 E 16 
 
- 9 E 15 
 
- 8 E 14 
 - 7 E 13 
 
- 6 E 12 
 
62 
 
 
 
4. 
 
 
Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) 
= (x3 + y3) . sen(x) em relação a x- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x) 
 3x
2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x) 
 
(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x) 
 x
3.cos(x) +y3.sen(x) 
 
3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x) 
 
 
5. 
 
 
A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V 
= 2i +3j - 6k será: 
 
 
 
12/7 
 26/7 
 40/7 
 
-
51/7 
 
-
37/7 
 
 
6. 
 
 
Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k sobre a 
curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e 
chegando em (1, 1, 1). 
 
 
 
0,18 
 
0,38 
 0,48 
 
0,58 
 
0,28 
63 
 
 
7. 
 
 
Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo 
eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = 
∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗 
 
 
 
5 
 
4 
 1 
 
3 
 
2 
 
8. 
 
 
Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que 
se move ao longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 
6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0. 
 
 
 - 3i + 2k 
 
3i + 2k 
 
- 3j + 2k 
 
i + j + 2k 
 
- 3i 
 
1. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
 
7e 
 7e
-7 
 
7 
 
e7 
 
e-1 
 
64 
 
2. 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se 
encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o 
deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules. 
 
 
 
20PI 
 60PI 
 
40PI 
 
80PI 
 
100PI 
 
3. 
 
 
Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < 
z < x^2+y^2. 
 
 
 
V = 1/3 u.v 
 
V = 1/4 u.v. 
 
V = 21 u.v. 
 
V = 3/4 u.v 
 V=2/3 u.v 
 
4. 
 
 
O valor da integral é 
 
 
 
0 
 
-2/3 
 
1/12 
 -1/12 
 
2/3 
 
65 
 
5. 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
 
3x + 2y 
 
2x - 3y 
 3x - 2y 
 - 3x - 2y 
 
- 3x + 2y 
 
6. 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os 
pontos (1,2) e (0,-1). 
 
 
 
0 
 -7/2 
 
1/2 
 
7/2 
 -1/2 
 
 
7. 
 
 
Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2) 
 
 
 
-2 
 
4 
 6 
 -4 
 
2 
 
 
 
66 
 
8. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
 
20 
 
2 
 16 
 
1 
 10 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
33,19 
 
32,59 
 
53,52 
 
34,67 
 25, 33 
 
2. 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se 
que C é a curva representada pela 
fronteira . 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
-3 
 
3 
 -6 
 
-1 
 
6 
 
3. 
 
A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas: 
 
 
 
1,2,5 
 
1,2,3 
 1,3,5 
 
1,2,4 
 1,3,4 
 
4. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
14 
 
0 
 
13 
 12 
 
15 
 
 
68 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a 
fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
2 
 -2 
 
0 
 
1 
 
-
10 
6. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a 
curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
3 
 
4 
 0 
 
2 
 
1 
7. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela 
função composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em 
relação ao comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
2 
 
324 
 423 
 
1 
 
233 
 
69 
 
8. 
 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 
 
7u.c. 
 21u.c. 
 
 28u.c. 
 
14u.c. 
 
 49u.c.