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A´lgebra Linear Segunda avaliac¸a˜o 2017
A prova conte´m quatros exerc´ıcios, que totalizam 10 pontos. Podem
encontrar um exerc´ıcio de demonstrac¸a˜o de valor 2.5 pontos na parte C.
Sera˜o consideradas nulas soluc¸o˜es sem adequada explicac¸a˜o do
procedimento utilizado. Boa sorte!
Nome do estudante:
Nome do professor: Jacopo Viti
1 Parte A: Definic¸o˜es, notac¸o˜es
• N(A) e´ o nucleo da transf. linear A
• Im(A) e´ a imagem da transf. linear A
• 〈v, w〉 com v, w ∈ Rn e´ o produto escalar canoˆnico em Rn.
• Pn[x] e´ espac¸o vetorial dos polinomios na variavel real x de grau ate´ n.
• M(n× n) e´ espac¸o vetorial das matrizes n× n com elementos reais.
Definic¸a˜o: Consideramos uma transformac¸a˜o linear A : E → F , chamamos E o espac¸o de
saida e F o espac¸o de entrada.
Definic¸a˜o: Sejam v, w ∈ Rn, a projec¸a˜o ortogonal de v sobre u e´ o vetor
pru(v) =
〈u, v〉
〈u, u〉u (1)
2 Parte B: Exerc´ıcios (max 10 pt.)
1. Considere o vetor v =
 1−2
1
 em R3 e a transformac¸a˜o linear Qv : R3 → R3 definida
como
Qv(w) = w − prv(w), (2)
sendo prv(w) a projec¸a˜o ortogonal de w sobre v.
(a) Calcule a matriz que representa Q respeito a` base canonica de R3 (em saida e
entrada). Chame MQ esta matriz. (0.5pt)
(b) Calcule M2Q e interprete geometricamente o resultado (Dica: Pode calcular o pro-
duto de matrizes o observar qual e´ o resultado da transformac¸a˜o Qv(Qv(w))). (1pt)
(c) Caracterize geometricamente os subespac¸os vetoriais Im(Q) e N(Q). (1.5pt)
AL Simulac¸a˜o, pag. 2 de 4 Outubro 2017
2. Considere a transformac¸a˜o linear A : R3 → R3, definida como
A(x, y, z) = (x− y + 2z, x + y − z, 2x + z) (3)
(a) Escreva a matriz MA que representa A respeito a` base canonica de R3 (em saida e
entrada) (0.5pt)
(b) Determine uma base para Im(A). A transformac¸a˜o e´ sobrejetiva? Se na˜o construa
uma base B de R3 que contem uma base de Im(A) (1pt).
(c) Seja M ′A a matriz que representa A respeito a` base canonica em saida e a` base B
em entrada. Podemos escrever M ′A como
M ′A = X
−1MAY. (4)
determine as matrizes X e Y neste caso. Sem calcular M ′A, diga porque esta matriz
tera´ uma linha nula e qual sera´ esta linha. (2pt.)
(d) Calcule M ′A e verifique que possui uma linha nula (1pt)
3. Sejam {e1, e2, e3, e4} os vetores da base canonica de R4 e o conjunto V = {v1, v2, v3, v4}
com
v1 =

1
0
0
0
 , v2 =

1
1
0
0
 , v3 =

1
1
1
0
 v4 =

1
1
1
1
 , (5)
uma outra base para R4. Considere a transformac¸a˜o linear A : R4 → R4 definida como
A(e1) = v1 (6)
A(ei) = ivi − (i− 1)vi−1, i = 2, 3, 4. (7)
(a) Determine a matriz MA que representa A respeito a` base canonica em saida e a`
base V em entrada (1pt).
(b) Verifique que MA e´ inversivel (Na˜o precisa calcular a inversa de MA!) (0.5pt)
(c) Escreva a matriz que representa A respeito a` base V em entrada e saida (Dica: Na˜o
precisa invertir nenhuma matriz!) (1pt).
4. Considere os vetores em R3
u =
11
1
 , v =
 1−1
1
 , w =
10
0
 . (8)
Determine a projec¸a˜o ortogonal de w sobre o plano gerado por u e v (2.5 pt).
5. Considere em R3 os vetores u1 = (1, 0, 1) e u2 = (−1, 1, 1). Seja A : R3 → P1[x] a
transformac¸a˜o linear definida como
A(v) = 〈v, u1〉x + 〈v, u2〉 (9)
AL Simulac¸a˜o, pag. 3 de 4 Outubro 2017
(a) Escreva a matriz que representa A respeito a` base canonica de R3 em saida e a` base
B = {1, x} de P1 em entrada (1pt).
(b) Caracterize N(A) neste caso e escreva uma base deste espac¸o vetorial. A trans-
formac¸a˜o A e´ injetiva? (1pt)
(c) Determine dim(Im(A)) e uma base para Im(A). A trasformac¸a˜o A e´ sobrejetiva?
(0.5pt)
6. Considere o vetor v =
11
1
 em R3 e a transformac¸a˜o linear Pv : R3 → R3 definida como
Pv(w) = prv(w), (10)
sendo prv(w) a projec¸a˜o ortogonal de w sobre v.
(a) Calcule a matriz que representa P , respeito a` base canonica de R3 (em saida e
entrada). Chame MP esta matriz. (0.5pt)
(b) Calcule M2P e interprete geometricamente o resultado (Dica: Pode calcular o pro-
duto de matrizes o observar qual e´ o resultado da transformac¸a˜o Pv(Pv(w))). (1pt)
(c) Caracterize geometricamente os subespac¸os vetoriais Im(P ) e N(P ). (1.5pt)
7. Considere a transformac¸a˜o linear L : M(2× 2)→ R2, definida como
L
([
a b
c d
])
=
[
a + b
c + d
]
(11)
(a) A transformac¸a˜o linear L pode ser injetiva? Justifique. Escreva uma base para
N(L) (1.5pt).
(b) Quanto vale a dimensa˜o de Im(L)? A trasformac¸a˜o sera´ sobrejetiva? Justifique
(0.5pt)
(c) Escreva a matriz que representa L respeito a` base canonica de M(2× 2) em saida
e de R2 em entrada e verifique o resultado do item (b) (0.5pt).
8. Determine a base de Grahm Schmidt ortonormal B = {u′, v′, w′} obtida a partir dos
vetores
u =
12
0
 , v =
 1−1
1
 , w =
−21
1
 (12)
9. (a) Escreva uma transformac¸a˜o linear A entre R3 → R3 tal que (1pt)
• O nucleo de A e´ gerado pelos vetores {(1, 1, 1), (1, 0, 0)}
• A Imagem de A e´ gerada pelo vetor {(1, 1, 1)}
(b) Escreva uma transformac¸a˜o linear A entre R3 → R3 tal que (1pt)
• O nucleo de A e´ gerado pelos vetores {(1, 1, 1)}
AL Simulac¸a˜o, pag. 4 de 4 Outubro 2017
• A Imagem de A e´ gerada pelo vetor {(1, 1, 1), (1, 0, 0)}
(c) Demonstre que uma tranformac¸a˜o linear A : Rn → Rn e´ injetiva se e somente se e´
sobrejetiva (1pt).
10. Considere a transformac¸a˜o linear S : R2 → R2 definida como
S(e1) = e2, S(e2) = e1; (13)
sendo e1 e e2 os vetores da base canoˆnica de R2.
(a) Determine uma base para Im(S) e verifique que a transformac¸a˜o e´ sobrejetiva e
injetiva (0.5pt).
(b) Sejam v1 = e1 + e2 e v2 = e1 − e2 uma nova base em R2. Utilizando a definic¸a˜o
(13), calcule S(v1) e S(v2) e escreva a matriz M
′
S que representa S respeito a` base
{v1, v2} (em saida e entrada)(1pt).
(c) Escreva a matriz MS que representa S respeito a` base canoˆnica de R2 (em saida e
entrada). Encontre M ′S a partir de MS, utilizando as corretas matrizes de passagem.
Verifique o resultado do item (b) (1pt).
Dica. Pode ser util lembrar que a inversa de
A =
[
a b
c d
]
, (14)
(quando existir) e´
A−1 =
1
detA
[
d −b
−c a
]
(15)
	Parte A: Definições, notações
	Parte B: Exercícios (max 10 pt.)