QUESTÕES DE FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMOS

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QUESTÕES DE PROBLEMAS DO 1º E 2º GRAUS
Q1 – (ESPM-SP - adaptada) Seja x um número real e f(x) = (0,5)x2-4x . Calcule o valor máximo de f(x)
Uma função do tipo f(x) = ax é decrescente quando 0 < a < 1. Como a = 0,5, este é o caso.
Portanto, precisamos ter x2 – 4x (expoente) o menor possível. Então, vamos achar o x-vértice da parábola dada. Lembrando que x-vértice é dado por:
Temos b=-4 e a = 1, o que nos leva a x-vértice = 2. Substituindo esse valor no expoente, temos -4 (22 – 4.2). Agora, utilizando as técnicas para calcular potenciação, temos:
Portanto o maior valor possível dessa função é 16.
Q2 – (UFPI - adaptada) O valor mínimo da função real f, de variável real, definida por f(x) = (1/3)4x-x2 é igual a: 
O raciocínio é igual ao da questão anterior. Portanto, aqui, vamos calcular direto o x-vértice:
Temos que b = 4 e a = -1, o que nos dá x = 2. Substituindo x = 2 no expoente dado, temos 4 (4.2 – 22). Dessa maneira, calcularemos a quarta potência de 1/3.
Portanto o valor mínimo de f(x) é 1/81.
Q3 – (PUCMG - adaptada) Sendo f(x) = 2x, a expressão [f(x+y)-f(x)]/y é igual a:
Se f(x) = 2x, então f(x+y) = 2x+y. Dessa maneira, substituindo os valores na expressão, temos:
Resultado, a expressão é dada, na forma mais simplificada, por 
Q4 (ITA – adaptada) Seja: a função definida por f(x) = -3ax, onde . Temos as seguintes informações:
f(x+y) = f(x)f(y) para todos x, y reais.
f é bijetora
f é crescente e se x for positivo, então y será um número entre -3 e 0.
Quais são as verdadeiras?
I: f(x) = -3ax e f(y) = -3ay. Portanto o produto será f(x)f(y) = 9ax+y. Mas f(x+y) = -3ax+y. Portanto, I é FALSO.
II: Uma função bijetora é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Para ser injetora, é necessário que aconteça, . As funções ax com a > 0 são injetoras, pois serão crescentes quando a > 1 e decrescentes, caso contrário. O coeficiente -3 apenas faz uma reflexão e compressão no gráfico sem alterar essa propriedade. Portanto a função é INJETORA. Para ser SOBREJETORA, é necessário que qualquer número real possa ser imagem de algum x (visto ). Porém, a função ax com 0 < a < 1, admite apenas números positivos para a imagem da função. O coeficiente -3 garante que apenas números NEGATIVOS poderão ser imagens de x. Dessa forma, existem números do contradomínio que não são imagem de nenhum x, portanto a função NÃO É SOBREJETORA. Se não é sobrejetora, também f NÃO É BIJETORA. Portanto, II é FALSO.
III: Conforme explicado no item anterior (II), f é crescente. Portanto, o menor resultado será -3 (quando x = 0). Se x for um número muito grande, ax é um número muito perto de zero. Assim, todas as imagens de f, para x positivo, estarão entre -3 e 0. Portanto, III é VERDADEIRO.
Q5 (UFAM – adaptada) Seja k o menor número real que é a solução da equação (0,3)x2-2 : (0,09) = (1/0,027)-x. Qual o valor de k?
Resolveremos a equação:
A resolução por fórmula de Bhaskara será omitida. Teremos como soluções x = -1 e x = 4.
O enunciado refere-se à menor solução, ou seja, x = -1, que foi chamado de k.
Q6 (UFMG – adaptada) O valor de x que satisfaz a equação 24x – 6(22x)=16 é
Resolveremos a equação:
Omitida a resolução, temos que y = -2 ou y = 8. E esses são os possíveis valores de 22x.
Se a base de uma potência é positiva, jamais o resultado poderá ser negativo. Descartamos y = -2.
Agora, resolvemos:
Q7 (IFPR – adaptada) Preocupados com possível guerra biológica, cientistas de certa nação pesquisam uma bactéria que cresce pela função , onde t representa o tempo em horas e p(t) a população de bactérias. Qual o tempo necessário para obtermos 3125 bactérias?
Vamos calcular p(t) = 3125.
Dessa forma, em sete horas teremos 3125 bactérias.
Q8 (UFSM – adaptada) Construiu-se uma represa para criar traíras. Inicialmente, havia 1000 traíras na represa e, descuidadamente, soltou-se 8 lambaris. As populações de traíras e lambaris, em t anos, são dadas, respectivamente, por e . Quantos anos levarão para que a população de ambas as espécies seja igual?
Objetivo: 
Resolvendo: 
Em 3 horas, a população dos dois irá se igualar (e será igual a 8.000 exemplares).
Q9 (UFPI – adaptada) Se , então o valor de será igual a:
Pela definição de logaritmo: 
Desse modo: . Aplicando as substituições na expressão e as regras das potências:
Q10 (UECE – adaptada) Se , calcule bb.
Encontrando o valor de a: 
Substituindo na expressão original: