TESTE DE CONHECIMENTO 1

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
AULA 1: TESTE DE CONHECIMENTO
	
		1
		Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo.
P3: N - s(N)  consta de um só elemento.
É somente correto afirmar que 
(I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 ≠ s(n)  para todo n ∈ N.
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
	
	
	
	(I) e (III)
	
	 
	(I) e (II)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(III)
	
	
	(II)
	
	
		2
		Considere o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dele.
	
	
	
	
	Se m > n e n < p então, temos que:  n = m + k e  p = n + r. Assim,  p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m > p.
	
	 
	Se m < n e n < p então, temos que:  n = m + k e  p = n + r. Assim,  p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
	
	
	Se m < n então, temos que:  n = m + k e  p = n + r.  Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
	
	
	Se m < n e n < p então, temos que:  n = k e  p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
	
	
	Se n < p então, temos que:  n = m + k e  p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
	
	
		3
		Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto:
 
	
	
	
	I e II somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e III somente.
	
	 
	I, II e III.
	
	
	I somente.
	
	
		4
		Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas:
(1) Se limn→∞an=∞ e bn = n2+3 então limn→∞anbn= ∞
(2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0 
(3) Se an e bn são ambas sequências não convergentes, então a sequência an + bn não converge.
(4) Se limn→∞na = -∞ e limn→∞bn =∞ então limn→∞anbn = -1.
(5) Se an converge então  ∑an  também converge.
	
	
	
	
	As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as proposições (1), (4) e (5) são falsas.
	
	 
	Todas são falsas
	
	
	As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as proposições (4) e (5) são falsas.
	
	
	As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as proposições (2) e (3) são falsas.
	
	
	Todas são verdadeiras.
	
	
		5
		Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano.
O segundo dos axiomas de Peano é P2.
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m, n ∈ N, temos que   s(m) = s(n)⟹m = n
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor.
	
	
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(III)
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (III)
	
	 
	(I) e (II)
	
	
		6
		Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) m + (n + p) = (m + n) + p
(II) n + m = m + n
(III) Dados m, n ∈ N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: m = n    ou ∃p∈N  tal que m = n + p   ou ∃p∈N  tal que  n = m + p.
(IV) m + n = m + p ⇒ n = p
	
	
	
	(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte
	
	 
	(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	
	(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa.
	
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa.
	
	
	(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	
		7
		Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
	
	
	
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	 
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	
	
		8
		Todo subconjunto finito dos reais tem:
	
	
	
	uma dízima periódica.
	
	
	pelo menos um intervalo (a,b) contido nele.
	
	
	Os reais não tem subconjuntos finitos.
	
	 
	um menor elemento.
	
	
	o zero como elemento.