Aula 1 - Limites

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Aula 1 – Limites 
Prof. Ronaldo Portela 
Roteiro da aula 
• Definição de Limites; 
• Interpretação Geométrica de Limites; 
• Propriedades dos Limites; 
• Cálculo de Limites. 
2 
Limites 
• Vamos analisar a seguinte função: 
 
 
 
• Esta função não está definida para x = 1. Vamos 
observar o que acontece com a função f (x) quando 
aproximamos x de 1. 
 
 
 
2 1
( )
1
x
f x
x



3 
Limites 
• De quantas maneiras eu posso aproximar a variável x 
do número 1? 
 
 
4 
1 
Pela esquerda 
(Por valores menores que 1) 
Pela direita 
(Por valores maiores que 1) 
Limites 
x se aproxima de 1 por valores 
menores que 1 
x f (x) 
0,8 1,8 
0,9 1,9 
0,99 1,99 
0,999 1,999 
x se aproxima de 1 por valores 
maiores que 1 
x f (x) 
1,2 2,2 
1,1 2,1 
1,01 2,01 
1,001 2,001 
Conclusão: 
Podemos observar que quando x se 
aproxima ou “tende” a 1, a função f 
(x) se aproxima de 2. 
2 1
( )
1
x
f x
x



5 
Limites 
• Na função estudada anteriormente, podemos dizer 
então que: 
2
1
1
lim 2.
1x
x
x



6 
Limites 
• Definição: Seja f uma função definida para todo 
número em algum intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente no próprio número a. O limite de f (x) 
quando x tende a a será L, escrito como 
 
 
 se a seguinte afirmativa for verdadeira: 
 
 
lim ( )
x a
f x L


Dado ε > 0 qualquer, existe um > 0, tal que
se 0 < < então ( ) < εx a f x L

 
7 
Limites 
8 
lim ( )
x a
f x L


Limites 
• Alternativamente, 
 
• “ significa que os valores de f (x) 
podem ser tornados tão próximos de L quanto 
desejarmos, tomando-se x suficientemente próximos 
de a (mas não igual a a).” 
9 
lim ( )
x a
f x L


Limites 
• Interpretação Geométrica da definição de Limites: 
a 
L 
( ) 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
L – ε 
L + ε 
a +δ a – δ 
y 
x 
y = f (x) 
10 
Limites 
• Exemplo: Demonstre através da definição, que: 
 
 
• Exemplo: Demonstre através da definição, que: 
 
 
11 
 
3
lim 2 1 7
x
x

 
 
4
lim 5 10 10
x
x

  
Propriedades dos Limites 
• Seja c uma constante e suponha que existam os limites 
 
 
12 
lim ( ) e lim ( )
x a x a
f x g x
 
 
 
 
 
1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
3) lim ( ) lim ( )
4) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( )( )
5) lim , se lim
( ) lim ( )
x a x a x a
x a x a x a
x a x a
x a x a x a
x a
x a x
x a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
cf x c f x
f x g x f x g x
f xf x
g x g x
  
  
 
  

 

  
  

  
 
 
 
( ) 0
a
g x 
Propriedades dos Limites 
• Usando a propriedade do produto repetidamente podemos 
obter a propriedade da potência. 
 
 
• Para utilizar estas seis propriedades, precisamos usar dois 
limites especiais 
 
13 
 6) lim ( ) lim ( ) , onde n é um inteiro positivo.
n
n
x a x a
f x f x
 
 
 
7) lim 
8) lim 
x a
x a
c c
x a




Propriedades dos Limites 
• Uma propriedade similar a da potência é válida para a 
radiciação: 
14 
 
9) lim ( ) lim ( ), onde n é um inteiro positivo.
Se n for par, supomos que lim ( ) 0
n n
x a x a
x a
f x f x
f x
 



Propriedades dos Limites 
• Exemplo: Determine os seguintes limites: 
 
 
 
 
• Porém nem todos os limites podem ser resolvidos através das 
suas propriedades, como mostra o seguinte exemplo: 
• Exemplo: Determine os seguintes limites: 
 
15 
2
2
3 2
2
a) lim (2 3 4)
2 1
b) lim 
5 3
x
x
x x
x x
x


 
 

2 2
2 5
4 25
a) lim b) lim 
2 5x x
x x
x x 
 
 
Referências Bibliográficas 
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 
1994. 
 
• STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São 
Paulo, Thomsom Learning. 2006. 
 
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