UFSJ Modelagem Matemática

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Modelagem 
Matemática
José Angel Dávalos Chuquipoma
MATEMÁTICA
Graduação
José Angel Dávalos Chuquipoma
Modelagem Matemática
2012
C559m Chuquipoma, José Angel Dávalos. Modelagem matemática José Angel Dávalos Chuquipoma. – São João del-Rei, MG : UFSJ, 2012. 147p.
 Graduação em Matemática.
1. Modelagem matemática 2. Matemática I. Título.
CDU: 51
Reitora Valéria Heloísa Kemp Coordenadora NEAD/UFSJ Marise Maria Santana da Rocha Coordenador UAB Carlos Alberto RaposoComissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos
 Flávia Cristina Figueiredo Coura
 Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
 José do Carmo Toledo
 José Luiz de Oliveira
 Leonardo Cristian Rocha (Presidente)
 Maria Amélia Cesari Quaglia
 Maria do Carmo Santos Neta
 Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
 Maria Rita Rocha do Carmo
 Marise Maria Santana da Rocha
 Rosângela Branca do Carmo
 Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
 Terezinha Lombello FerreiraEdição Núcleo de Educação a Distância
 Comissão Editorial - NEAD-UFSJCapa
 Eduardo Henrique de Oliveira GaioDiagramação Luciano Alexandre Pinto
Suma´rio
MODELAGEM MATEMA´TICA 5
UNIDADE I - MODELAGEM MATEMA´TICA E FORMULAC¸A˜O DE
PROBLEMAS 6
1.1 Modelagem Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 O Que e´ Modelagem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 O Que e´ Modelagem Matema´tica? . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 A Modelagem no contexto da Educac¸a˜o Matema´tica . . . . . . . 11
1.1.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Formulac¸a˜o de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Escolha de Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Formulac¸a˜o de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE II - O ME´TODO DOS MI´NIMOS QUADRADOS 23
2.1 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 O Me´todo dos Mı´nimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ajuste Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Ajuste Linear de Modelos Geome´tricos . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Ajuste Quadra´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE III - EQUAC¸O˜ES DE DIFERENC¸AS 46
3.1 Variac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Variac¸o˜es Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Variac¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Equac¸o˜es de Diferenc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Equac¸o˜es de Diferenc¸as Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Sistemas de Equac¸o˜es de Diferenc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
SUMÁRIO
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799111317181919202425283031374144474951535661636974
UNIDADE IV - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 72
4.1 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Definic¸o˜es Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Varia´veis Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 Reduc¸a˜o de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3 Equac¸o˜es Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 98
4.3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
UNIDADE V - APLICAC¸O˜ES DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS OR-
DINA´RIAS 111
5.1 Modelos de Dinaˆmica Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.1 Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.3 Modelo de Lotka - Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Respostas das Atividades 133
6.1 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
REFEREˆNCIAS 139
4
777980848590969797103104116
117119120123131138141141147
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MODELAGEM MATEMA´TICA
Seja bem-vindo (a)
ao Mo´dulo da Disciplina Modelagem Matema´tica !
Este texto destina-se ao curso de graduac¸a˜o a distaˆncia da disciplina de Modelagem
Matema´tica no marco da Universidade Aberta do Brasil -UAB. O objetivo principal do
conteu´do do mo´dulo e´ fornecer ao aluno um texto que desenvolva os to´picos principais
da ementa desta mate´ria que normalmente na˜o e´ poss´ıvel encontrar num u´nico texto,
facilitando, assim, o entendimento por parte do aluno no estudo desta mate´ria.
A informac¸a˜o teo´rica apresentada e´ complementada com os exerc´ıcios propostos, com
a intenc¸a˜o de que o aluno mostre os conhecimentos adquiridos no texto e nos exemplos
resolvidos. Os temas que apresentamos e discutimos neste texto sa˜o divididos em cinco
unidades que a seguir detalhamos.
A primeira unidade se destina ao estudo dos aspectos teo´ricos da Modelagem Ma-
tema´tica, onde sa˜o abordadas as etapas da modelagem e em especial as etapas do
processo da Modelagem Matema´tica, escolha de temas, formulac¸a˜o de modelos.
Na segunda unidade, estudamos o me´todo dos mı´nimos quadrados e suas implicaˆncias
no ajuste linear de curvas para os modelos de tipo exponencial e geome´trico, como
tambe´m para o ajuste quadra´tico.
Na terceira unidade, estudamos as equac¸o˜es em diferenc¸as finitas e destacamos os mo-
delos lineares de diferenc¸as e abordamos os conceitos de variac¸o˜es discretas e cont´ınuas.
A unidade quatro esta´ destinada ao estudo dos aspectos introduto´rios das equac¸o˜es di-
ferenciais ordina´rias, enfatizando o me´todo de varia´veis separa´veis para solucionar uma
equac¸a˜o ordina´ria de primeira ordem; solucionamos uma equac¸a˜o de segunda ordem
homogeˆnea com coeficientes constantes, consideramos exemplos de aplicac¸a˜o.
Por u´ltimo, na quinta unidade, sa˜o vistos alguns problemas de aplicac¸a˜o das equac¸o˜es
diferenciais: abordamos problemas da dinaˆmica populacional, entre eles o modelo de
Malthus, o modelo de Verhulst e o modelo de Lotka-Volterra.
Apesar de este texto apresentar um conteu´do ba´sico, e´ importante consultar outras
fontes com o intuito de enriquecer os conceitos, bem como auxiliar na resoluc¸a˜o dos
exerc´ıcios.
O autor
5
unidade
7
unidade 1
MODELAGEM MATEMÁTICA 
E 
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS
9
unidade 1
1.1 Modelagem Matema´tica
Objetivos
• Interpretar as etapas presentes no processo da modelagem.
• Explicitar a importaˆncia da matema´tica para a formac¸a˜o do aluno.
• Aplicar os conhecimento obtidos na formulac¸a˜o de novos problemas que envolvem
a modelagem matema´tica.
1.1.1 O Que e´ Modelagem?
A diversidade de fenoˆmenos presentes ao longo do desenvolvimento de nossa histo´ria
tem sido um dos fatos pelos quais o homem vem se superando atrave´s das gerac¸o˜es, com
o intuito de ir ale´m do desconhecido; estes fenoˆmenos ou obsta´culos teˆm permitido que
cada pessoa construa o seu conhecimento dentro de suas pro´prias limitac¸o˜es,
quer dizer,
vai criando conhecimentos ante seus pro´rios problemas da vida cotidiana. Enta˜o, po-
demos dizer que esta e´ uma maneira de como o homem (aprendedor) constitui o sujeito
do processo congnitivo, que, dependendo de nossas capacidades, vamos estabelecendo
um conjunto de informac¸o˜es, ideias e abstrac¸o˜es da realidade, cujo comportamento
desejamos analisar e interpretar em um linguagem lo´gica, com caracter´ısticas similares
a` magnitude do problema; conceitualmente, isto e´ o que e´ conhecido como modelo de
um problema.
Assim, se o modelo obtido na˜o consegue interpretar a realidade do problema, seja por
diversos fatores como tamanho do problema, complexidade etc., somos obrigados a
simplificar as hipo´teses(informac¸o˜es) do objeto de estudo (fenoˆmeno) para obter um
modelo com caracter´ısticas semelhante ao problema, pore´m descartanto caracter´ısticas
ou comportamentos menos importantes ou secunda´rios.
Neste contexto, entendemos por Modelagem o processo de aproximar ou transformar
problemas concretos do mundo real em modelos de problemas que simulem de forma
o´tima o objeto de estudo e assim poder resolveˆ-los para interpretar suas soluc¸o˜es de
forma clara.
Etapas da Modelagem
Apo´s ter entendido o conceito de modelagem, surge a questa˜o: como e´ que podemos
confrontar problemas do mundo real com modelos que possam interpretar tais proble-
mas? Para responder essa pergunta, explicaremos a seguir as etapas ou momentos que
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devem ser tidos em conta na Modelagem.
Primeira Etapa: A primeira etapa consiste em reconhecer a existeˆncia de um pro-
blema real, no sentido de ser significativo, isto e´, determinar a situac¸a˜o do problema a
ser modelado, quer dizer, determinar seu fator de impacto no mundo real.
Exemplo 1 Quando queremos prevenir a reduc¸a˜o do nivel do lenc¸ol frea´tico, causado
pelo desmatamento ou reflorestamento das a´reas florestais, isso constitui um problema
de impacto florestal, que exige significac¸a˜o, avaliac¸a˜o e cr´ıtica.
Segunda Etapa: Designado o problema, a segunda etapa da Modelagem exige hipo´teses
de simplificac¸a˜o, ou seja, devemos conhecer o problema e simplifica´-lo; na˜o simplifica-
mos o problema real e sim introduzimos hipo´teses que simplificam sua abordagem.
Todo problema nesta etapa deve ser tratado com um grau de simplificac¸a˜o, e, a`s vezes,
a simplificac¸a˜o e´ feita para facilitar a resoluc¸a˜o do modelo.
Exemplo 2 No caso do problema de impacto florestal, o estudo e´ feito em uma regia˜o
do plano onde o meio poroso e´ homogeˆneo e isotro´pico (ou seja, possui as mesmas carac-
ter´ısticas em todas as direc¸o˜es e em todos os pontos); desta forma e´ que simplificamos
as hipo´teses com o objetivo de poder fazer um estudo de forma clara.
Terceira Etapa: No passo seguinte do processo da Modelagem temos a terceira etapa,
que consiste na resoluc¸a˜o do modelo decorrente atrave´s de diversas a´reas do conheci-
mento; nesta etapa e´ muito importante a aproximac¸a˜o do modelo a considerar.
Exemplo 3 O modelo aproximado do problema de impacto florestal e´ dado atrave´s
de um modelo de tipo matema´tico definido por uma equac¸a˜o em derivadas parciais
cuja soluc¸a˜o e´ dada pela func¸a˜o potencial e por uma func¸a˜o que define a localizac¸a˜o
do lenc¸ol frea´tico.
Quarta Etapa: Na quarta etapa, temos a avaliac¸a˜o das soluc¸o˜es encontradas na
etapa anterior, de acordo com a questa˜o real do problema a modelar.
Quinta Etapa: Nesta quinta e u´ltima etapa da Modelagem, o que devemos ter em
considerac¸a˜o e´ definir a decisa˜o com base nos resultados obtidos. E´ assim que, atrave´s
da Modelagem, conseguimos obter melhores condic¸o˜es para decidir o que fazer frente
a um fenoˆnemo ou a uma situac¸a˜o real.
Na Figura 1.1 damos um esquema do processo da modelagem.
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unidade 1
Figura 1.1: Processo da Modelagem
1.1.2 O Que e´ Modelagem Matema´tica?
A Modelagem Matema´tica e´ uma mate´ria da Matema´tica que teve seu in´ıcio na an-
tiguidade a partir de problemas pra´ticos; a invenc¸a˜o da roda pelos sume´rios, aproxi-
madamente 3.000 anos a.C., foi, por exemplo, um dos primeiros modelos matema´ticos
produzidos pela humanidade que se conhece; eles observaram um tronco de a´rvore
rolando por um declive e tiveram a ideia de transportar cargas pesadas colocando-as
sobre objetos rolantes.
Modelos descrevem as nossas crenc¸as sobre como o mundo funciona. Na modelagem
matema´tica, traduzimos essas crenc¸as em termos da linguagem da matema´tica. Isso
tem muitas vantagens: primeiro, Matema´tica e´ uma linguagem muito precisa. Isso nos
ajuda a formular ideias e estabelecer premissas importantes; segundo, a matema´tica e´
uma linguagem concisa, com regras bem definidas para manipulac¸o˜es; terceiro, todos
os resultados que os matema´ticos provaram ao longo de centenas de anos esta˜o a` nossa
disposic¸a˜o, e, por u´ltimo, os computadores podem ser usados para realizar os ca´lculos
nume´ricos.
Segundo BASSANEZI (2011), a ModelagemMatema´tica e´ a arte de transformar proble-
mas da realidade em problemas matema´ticos e resolveˆ-los, interpretando suas soluc¸o˜es
na linguagem do mundo real. Assim, entre essas novas formas de considerar e entender
a Modelagem, podemos concluir que a Modelagem Matema´tica e´ utilizada como um
me´todo cient´ıfico de pesquisa ou tambe´m como uma estrate´gia de ensino-aprendizagem.
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Podemos inferir enta˜o que a Modelagem Matema´tica surgiu da necessidade do homem
em resolver determinadas situac¸o˜es ou problemas do seu dia a dia. Nesse sentido,
pode-se dizer que Modelagem Matema´tica e´ o processo que envolve a obtenc¸a˜o de
um modelo que tenta descrever matematicamente um fenoˆmeno da nossa realidade para
tentar compreendeˆ-lo e estuda´-lo, criando hipo´teses e reflexo˜es sobre tais fenoˆmenos.
Ha´ um grande elemento de compromisso em modelagem matema´tica. A maioria dos
sistemas que interagem no mundo real sa˜o demasiado complicados para modelar, na
sua totalidade. Da´ı o primeiro n´ıvel de compromisso e´ o de identificar as partes mais
importantes do sistema. Essas sera˜o inclu´ıdas no modelo, o restante sera´ exclu´ıdo. O
segundo n´ıvel de compromisso diz respeito a` quantidade de manipulac¸a˜o matema´tica
que vale a pena. Embora a matema´tica tenha o potencial de revelar os resultados
gerais, estes resultados dependera˜o essencialmente da forma das equac¸o˜es utilizadas.
Pequenas alterac¸o˜es na estrutura das equac¸o˜es podem exigir enormes mudanc¸as nos
me´todos matema´ticos utilizados.
Que objetivos pode a modelagem alcanc¸ar? A Modelagem Matema´tica pode ser usada
para uma se´rie de razo˜es diferentes, qualquer objetivo espec´ıfico a ser alcanc¸ado, de-
pende tanto do estado do conhecimento do sistema e de como a modelage e´ feita..
Entre as muitas variedade de objetivos temos
• desenvolver a compreensa˜o cient´ıfica - atrave´s da expressa˜o quantitativa do conhe-
cimento atual de um sistema (bem como exibir o que sabemos ou o que na˜o sa-
bemos);
• testar o efeito de alterac¸o˜es no sistema;
• tomar uma decisa˜o, incluindo deciso˜es ta´ticas dos gestores e as deciso˜es es-
trate´gicas por planejadores.
Nesse contexto, o esquema da Modelagem dada pela Figura 1.1, em termos da Mode-
lagem Matema´tica e´ dado atrave´s da Figura 1.2:
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unidade 1
Figura 1.2: Esquema do Processo de Modelagem Matema´tica. Adaptac¸a˜o de Burghes
e Borrie, (1981). Fonte: DA COSTA, J. F. M.; CALDEIRA, A. D.; DOS SANTOS,
A. P, 1999.
1.1.3 A Modelagem no contexto da Educac¸a˜o Matema´tica
Pelo que foi dado anteriormente, quando estamos familiarizados com a Modelagem,
em que o aluno e´ o sujeito do processo cognitivo e na˜o somente com problemas ma-
tema´ticos, o pesquisador ou pessoa que trabalha nesta a´rea vai ter uma maior capaci-
dade em lidar com a Modelagem Matema´tica. De outro lado, muitas vezes, temos a
ideia de que trabalhar na Modelagem com conteu´dos matema´ticos
altamente sofistica-
dos e´ uma condic¸a˜o que na˜o se pode deixar de lado; isso, em geral, na˜o e´ verdade, pois
a matema´tica a se utilizar deve ser aquela que permita a resoluc¸a˜o do problema a tratar.
O procedimento ou processo de Modelagem Matema´tica no contexto da educac¸a˜o ma-
tema´tica, ale´m das etapas presentes no processo, deve estar unido a` introduc¸a˜o do
problema por meio de informac¸o˜es adicionais, como por exemplo, uma figura, um es-
quema ou um fluxograma; de tal maneira que possa facilitar ao aluno o entendimento
da situac¸a˜o do problema a estudar e das diversas formas de modelagens matema´ticas.
Assim, isso quer dizer que a Modelagem Matema´tica, no campo da educac¸a˜o, tem que ir
ale´m das etapas que o caracterizam, de fato; devemos entender que, quando na sala de
aula o professor ministra o que preparou ou programa com anticipac¸a˜o aquele conteu´do
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matema´tico com o intuito de que os alunos aprendessem, sa˜o na verdade ferramentas
necessa´rias mas na˜o suficientes para que o aluno comprenda o problema, o que significa
que e´ precisso cobrir esse vazio que ainda esta´ presente na educac¸a˜o matema´tica.
O exemplo seguinte representa um problema que pode ser interpretado atrave´s da
Modelagem Matema´tica.
Exemplo 4 (Controle Biolo´gico de pragas) Desejamos combater biologicamente
uma praga de insetos em uma plantac¸a˜o sem o uso de substaˆncias agroqu´ımicas.
A estrate´gia a utilizar e´ a seguinte: controlamos a populac¸a˜o de insetos fazendo uma
plantac¸a˜o inicial da planta atacada com o objetivo de atrair os insetos a serem com-
batidos, para posteriormente serem recolhidos. No caso poss´ıvel de obter resultados
positivos, teremos determinado na verdade o fator de impacto do problema, pois, sem
o uso de substaˆncias qu´ımicas, o custo econoˆmico resulta ser muito conforta´vel, deter-
minando dessa forma a situac¸a˜o do problema (primeira etapa).
Claro esta´ que devemos de considerar o caso em que temos um porcentagem ma´xima
de perda p relativa a` plantac¸a˜o inicial, isso devido ao fato que pode na˜o existirem
insetos na plantac¸a˜o inicial, o que origina uma coleta nula de insetos. O problema sera´
solucionado se conseguimos determinar a largura de uma faixa em torno de uma regia˜o
plantada em que pudesse ser colocada a plantac¸a˜o inicial, tendo em considerac¸a˜o o
percentual ma´ximo de perda p.
Supondo que a regia˜o de plantac¸a˜o seja um retaˆngulo e que a produc¸a˜o da plantac¸a˜o
seja igual a` a´rea plantada, estamos na verdade simplificando as hipo´teses, e´ dizer que
fazemos uso de umas das etapas do processo da modelagem, isto e´, a hipo´tese de sim-
plificac¸a˜o (segunda etapa). Representando por x a largura da faixa ao redor do campo
retangular EFGH, ver Figura 1.3.
Considerando um campo retangular de dimenso˜es M = 90 e N = 45 dados em metros,
com um porcentual ma´ximo de perda p = 5%, vemos da Fifura 1.3 que as dimenso˜es
do retaˆngulo interior EFGH sa˜o 90− 2x e 45− 2x metros.
Da hipo´tese, temos que a produc¸a˜o da plantac¸a˜o (1 − p)MN e´ igua a` a´rea plantada
(M − 2x)(N − 2x), isto e´,
(1− 0, 05)(90)(45) = (90− 2x)(45− 2x),
ou
3847, 5 = (90− 2x)(45− 2x) = 4x2 − 270x+ 4050
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unidade 1
Figura 1.3: Geometria do problema
obtendo a expressa˜o quadra´tica
4x2 − 270x + 202, 5 = 0,
ou ainda
2x2 − 135x + 101, 25 = 0,
o que significa que o modelo matema´tico de nosso problema e´ dado por uma equac¸a˜o
quadra´tica; encontrando as ra´ızes do polinoˆmio de grau dois, estaremos resolvendo
nosso problema (terceira etapa). Logo, utilizando a fo´rmula que nos permite encontrar
ra´ızes de uma equac¸a˜o quadra´tica, temos
x =
135±√1352 − 4.2.101, 25
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obtendo os seguintes valores aproximados x = 66, 741 ou x = 0, 75.
Embora ambos os valores matema´ticamente sejam corretos, observamos que o valor de
x = 66, 741 metros na˜o faz sentido, pois a largura da faixa no interior da plantac¸a˜o deve
ser menor que 45 metros; isso corresponde a` avaliac¸a˜o dos resultados (quarta etapa),
o que implica que a largura da faixa da plantac¸a˜o inicial deve ser aproximadamente
x = 0, 75 metros. Por u´ltimo, devemos tomar a decisa˜o correta, se for razoa´vel ou na˜o
o resultado obtido de 0, 75 metros da largura da faixa (quinta etapa).
No exemplo anterior, vemos a importaˆncia de representar o problema por meio de um
desenho, pois isso nos da´ uma visa˜o global do entendimento da situac¸a˜o do problema.
Como trabalhar com a Modelagem Matema´tica em sala de
aula?
Ja´ no setor da educac¸a˜o, o ensino-aprendizagem realizado atrave´s da Modelagem Ma-
tema´tica, permite lidar satisfatoriamente tanto entre a combinac¸a˜o dos aspectos da
matema´tica como com suas aplicac¸o˜es; isso faz parte de um dos objetivos que pre-
tendemos atingir nesta disciplina. Confiamos nos professores de matema´tica, temos a
obrigac¸a˜o de mostrar aos alunos estas duas alternativas que se complementam. Outro
aspecto a se ter em considerac¸a˜o para trabalhar com Modelegem Matema´tica em sala
de aula e´ que, devido a se caracterizar como um ambiente de ensino-aprendizagem, os
alunos sa˜o convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matema´tica, situac¸o˜es
provenientes de outras a´reas.
Assim, temos que ressaltar a importaˆncia da integrac¸a˜o de situac¸o˜es provenientes do
cotidiano e de outras a´reas do conhecimento na sala de aula, com o propo´sito de possi-
bilitar aos alunos intervirem na sua realidade. Por u´ltimo, os paraˆmetros que devemos
deixar claro aos alunos no aˆmbito da investigac¸a˜o e compreensa˜o em aula, envolvem
os seguintes aspectos: “identificar o problema; procurar, selecionar e interpretar in-
formac¸o˜es relativas ao problema; formular hipo´teses e prever resultados; selecionar
estrate´gias de resoluc¸a˜o de problemas; fazer e validar conjecturas, experimentando,
recorrendo a modelos, esboc¸os, fatos conhecidos, relac¸o˜es e propriedades.”
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unidade 1
1.1.4 Atividades
1. Uma praga de cigarrinhas ataca uma plantac¸a˜o de arroz; deseja-se controlar, bio-
logicamente a praga, atrave´s de uma estrate´gia o´tima dada no Exemplo 4. Tendo
em considerac¸a˜o uma margem de perda ao redor de 4% ao supor uma plantac¸a˜o
inicial para recolher as cigarrinha e supondo a a´rea de plantac¸a˜o um campo re-
tangular de dimenso˜es M = 80m e N = 35m, encontre a largura da faixa em
torno da plantac¸a˜o do campo retangular.
2. No exerc´ıcio anterior, identifique e explique as etapas que esta˜o presentes na Mo-
delagem Matema´tica.
3. Um fazendeiro deseja circundar uma regia˜o junto a um rio com uma cerca de 120
metros de comprimento para encerrar seus animais. Se a regia˜o e´ representada
por um retaˆngulo (hipo´teses de simplificac¸a˜o), fac¸a a Modelagem Matema´tica do
problema, para determinar as dimenso˜es do retaˆngulo para que a a´rea cercada
seja a maior poss´ıvel.
4. Como voceˆ faria uma Modelagem Matema´tica dos seguintes problemas:
a) A pressa˜o exercida por uma massa de um ga´s e´ diretamente proporcional a`
temperatura absoluta e inversamente proporcional ao volume ocupado pelo ga´s
(Gases perfeitos).
b) A resisteˆncia de um fio condutor e´ diretamente proporcional ao seu compri-
mento e inversamente proporcional a` a´rea de sua sec¸a˜o reta (Resisteˆncia ele´trica).
c) Dois corpos de massas m1 e m2 se atraem em raza˜o direta das massas e na
raza˜o inversa do quadrado das distaˆncias (Lei da gravitac¸a˜o universal).
5. No Exemplo 4 do controle biolo´gico de pragas, fac¸a um esquema do processo de
Modelagem Matema´tica igual que ao mostrado na Figura 1.2 para este problema.
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1.2 Formulac¸a˜o de Problemas
Objetivos
• Criar modelos matema´ticos de problemas concretos do mundo real.
• Reconhecer os tipos de formulac¸o˜es de problemas em termos matema´ticos.
Nesta sec¸a˜o estabeleceremos mecanismos para a formulac¸a˜o e obtenc¸a˜o de problemas
novos;
cabe ressaltar que na˜o existe a priori fo´rmula alguma que nos permita como
resolver habilidades de matema´tica nem tampoco como adquiri-las, mas isso na˜o im-
pede o nosso interesse em desenvolver estrate´gias que possamos considerar no in´ıcio da
modelagem sem ir ale´m do objetivo principal, que e´ o ensino-aprendizagem.
Entretanto, o que entendemos por habilidades neste contexto e´ a capacidade de poder
tomar um problema concreto com algum grau de dificuldade e transforma´-lo em um
modelo matema´tico para posteriormente soluciona´-lo e possa ser interpretado em ter-
mos do problema incial.
Figura 1.4: Processo Simplificado da Modelagem Matema´tica. Fonte: BASSANEZI,
R. C, 2011.
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19
unidade 1
1.2.1 Escolha de Temas
Neste cena´rio da modelagem, o tema de estudo escolhido resulta ser o in´ıcio do processo,
pois o conteu´do matema´tico a utilizar ainda e´ desconhecido; enta˜o, um dos mecanis-
mos a empregar nesta situac¸a˜o e´ comec¸ando a contar ou medir, com o intuito de se
obter uma tabela de dados de tal maneira que possamos representar em um sistema
de refereˆncia (por exemplo um sistema cartesiano) a visualizac¸a˜o do evento em estudo.
Esta representac¸a˜o dos dados com certeza vai dar origem a conjecturas, e tambe´m a`
formulac¸a˜o de modelos matema´ticos.
A escolha de temas tem que ser feita de forma completa e motivadora para que possa
ter um fator de interesse na a´rea da pesquisa dos alunos. Por exemplo, se o tema esco-
lhido for o desmatamento, enta˜o podemos pensar em modelar o problema de impacto
ambiental do deslizamento de terra ou pensar em modelar atrave´s de um problema
matema´tico de fronteira livre.
A importaˆncia da escolha de temas tambe´m reside em que estes sejam escolhidos pelos
pro´prios alunos com o pro´posito de que, junto com o professor, se sintam responsa´veis
pelo processo da modelagem; o desenvolvimento deve ser feito em grupos, cada um
deles com sua pro´pria responsabilidade, com o objetivo de obter resultados positivos
da modelagem do problema.
1.2.2 Coleta de dados
Depois de ter escolhido o tema, o procedimento seguinte sera´ a coleta de dados, que
consiste basicamente em buscar informac¸o˜es (medic¸o˜es, resultados estat´ısticos etc.)
relacionadas com o objeto de estudo. Os dados coletados devem ser organizados em
tabelas que, por sua vez, podem ser utilizadas na elaborac¸a˜o dos gra´ficos da curva de
tendeˆncias. A coleta de dados qualitativos ou nume´ricos pode ser efetuada aplicando-se
as seguintes te´cnicas:
1. por meio de entrevistas e pesquisas realizadas com os me´todos de amostragem
aleato´ria; neste caso, sa˜o fundamentais a qualidade das perguntas e noc¸o˜es de
Estat´ıstica;
2. atrave´s de pesquisa bibliogra´fica, uso da internet, procurando informac¸a˜o em
livros e revistas especializadas;
3. por meio de experieˆncias dos pro´prios alunos.
Nesse processo de obter dados sobre a realidade a ser modelada, estamos desenvolvendo,
em outras palavras, um processo de experimentar novas informac¸o˜es.
17
20
1.2.3 Formulac¸a˜o de Modelos
Uma vez feita a coleta de dados, o seguinte passo e´ a formulac¸a˜o matema´tica dos mo-
delos. A formulac¸a˜o matema´tica de modelos podem ser dada de dois tipos: formulac¸a˜o
esta´tica e formulac¸a˜o dinaˆmica.
1. Formulac¸a˜o Esta´tica
Estas formulac¸o˜es matema´ticas envolvem equac¸o˜es ou func¸o˜es dependendo de uma ou
mais varia´veis; geralmente, essas formulac¸o˜es utilizam conceitos relacionados com a
Geometria, onde a varia´vel tempo na˜o tem importaˆncia alguma.
Exemplo 5 (Predador - Presa) Em uma populac¸a˜o de veados se observa que a
taxa de mortalidade esta´ inflingida por uma populac¸a˜o de leo˜es; sabendo-se que a taxa
de mortalidade e´ proporcional ao nu´mero de veados e tambe´m ao nu´mero de leo˜es,
desejamos obter um modelo matema´tico que interprete o problema de encontrar a taxa
de mortalidade dos veados.
Primeiramente, da teoria de grandezas proporcionais lembramos o seguinte: se uma
grandeza z = f(x, y) e´ proporcional a x, enquanto y permanece constante, e quando z
e´ proporcional a y enquanto x permanece constante, enta˜o z e´ proporcional ao produto
xy, isto e´,
z = c.xy
onde c ∈ R.
Enta˜o, denotando por z a taxa de mortalidade do nu´mero de veados, x o nu´mero de
veados e y o nu´mero de leo˜es, vemos pelo anterior que a hipo´teses de manter constante
uma das varia´veis x e y implica que
f(x, y) = b.xy,
onde b e´ uma constante. Assim, a taxa de mortalidade dos veados e´ dado pela expressa˜o
z = b.xy
O fato de considerar b constante na˜o e´ sempre satisfeita; logo, aqui estamos fazendo
uso da hipo´teses de simplificac¸a˜o do processo de modelagem.
18
21
unidade 1
2. Formulac¸a˜o Dinaˆmica
Em geral, esta formulac¸a˜o de modelos dinaˆmicos (modelos que dependem do tempo)
conte´m dois tipos de varia´veis, chamadas varia´veis dependentes e varia´veis indepen-
dentes. Essa dependeˆncia e´ dada atrave´s de uma relac¸a˜o entre essas varia´veis.
Exemplo 6 Do exemplo anterior podemos considerar um problema mais realista ao
considerar a taxa de mortalidade junto com o nu´mero de veados e leo˜es dependendo
do tempo t.
Com efeito, representando por x(t) o nu´mero de veados e y(t) o nu´mero de leo˜es
no tempo t, claro esta´ que a taxa de mortalidade neste caso vai depender tambe´m do
tempo; assim, temos que a taxa de mortalidade dos veados e´ dada pelo modelo seguinte:
z(t) = b.x(t)y(t)
Por u´ltimo, no caso de na˜o existirem as hipo´teses de proporcionalidade apresentadas
nos exemplos vistos, ter´ıamos dificuldade em obter com exatida˜o a relac¸a˜o funcional
f(x, y); assim, devemos deixar indicado que uma coleta de dados facilitaria o estudo,
pois, utilizando-se te´cnicas estat´ısticas, e´ poss´ıvel ter uma aproximac¸a˜o do problema.
Exemplo 7 Em uma pesquisa feita por um grupo de bio´logos para obter medidas
biome´tricas de atuns em uma gaiola, foram obtidos os seguintes dados do peso (gra-
mas) e o comprimento (cent´ımetros) me´dio de uma famı´lia de atuns em relac¸a˜o a` sua
idade t dada em anos:
t idade comprimento (cm) peso (gr)
2 163.9 0.68
3 170 0.91
4 176.1 1.0
5 182.2 1.2
6 188.3 1.38
7 195.4 1.48
8 203.2 1.69
9 210 1.8
10 212.7 2.3
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22
Deseja-se encontrar uma relac¸a˜o funcional entre o peso e o comprimento dos atuns
atrave´s da tabela anterior.
Soluc¸a˜o
Definindo as seguintes varia´veis
x e y como sendo o comprimento e peso me´dio respectivamente.
Podemos relacionar essas varia´veis num sistema referencial por meio do gra´fico de dis-
persa˜o, Figura 1.5.
Figura 1.5: Gra´fico de dispersa˜o.
Esses dados estat´ısticos (tabela) podem ser aproximados por uma curva de regressa˜o
(a ser definida no pro´ximo cap´ıtulo), curva vermelha na Figura 1.6.
A curva de regressa˜o indica o comportamento ou tendeˆncia de tipo geral entre o peso
e o comprimento me´dio dos atuns. O gra´fico de dispersa˜o constitui um primeiro passo
para uma Modelagem Matema´tica. Observamos que os pontos (x, y) na˜o esta˜o sobre
a curva. Uma relac¸a˜o funcional, obtida atrave´s de um ajuste de dados, proporciona
informac¸o˜es iniciais para a elaborac¸a˜o de hipo´teses e tambe´m para a formulac¸a˜o de
modelos.
Pesquisas biolo´gicas estabelecem que o modelo matema´tico pode ser dado pela relac¸a˜o
funcional
y(x) = kxα, (1.1)
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23
unidade 1
Figura 1.6: Curva de regressa˜o
onde k e´ a taxa de metabolismo e α da´ informac¸a˜o em termos matema´ticos da forma
do atum. Devido a` caracter´ıstica das varia´veis consideradas, a relac¸a˜o funcional ainda
pode ser considerada como ummodelo esta´tico, pois na˜o existe uma relac¸a˜o de depeˆndencia
na varia´vel temporal t em (1.1).
Modelos dinaˆmicos tambe´m podem ser considerados no caso em que tenhamos as se-
guintes relac¸o˜es funcionais
y(t) = y0
(
1− e−(β/3)t
)3
ou x(t) = x0(1− e−βλt),
onde β e´ a constante
de metabolismo e representa a taxa de energia gasta para o atum
se movimentar, y0 e x0 sa˜o os respectivos valores ma´ximos de y e x. Esses modelos sa˜o
chamados modelos de Von Bertalanffy, ver BASSANEZI (2011).
21
24
1.2.4 Atividade
1. Suponhamos que em uma famı´lia de Heterodon nasicus (cobra), todas as cobras
desta espe´cie sejam jovens ou velhas e que tenham a mesma forma e o mesmo
peso espec´ıfico, se a taxa de metabolismo e´ k = 446 e α = 3 e o peso dado em
gramas e o comprimento dado em metros.
a). Encontre a relac¸a˜o funcional entre as varia´veis comprimento e peso que define
o modelo matema´tico; logo, determine se o modelo e´ de tipo esta´tico ou dinaˆmico.
b). Determine o peso para um grupo de cobras cujos comprimentos sa˜o dados
por
COMPRIMENTO 0,4 0,6 0,8 1
c). Se a taxa de metabolismo para o modelo de Von Bertalanffy e´ β = 3 e
x0 = 1, y0 = 446, λ = 1, encontre o peso e o comprimento para um conjunto de
cobras depois de um meˆs.
2. Em certa espe´cie de peixes, verificou-se que o consumo de oxige´nio O(l) dos peixes
por unidade de peso diminui com o aumento de seu comprimento l atrave´s da
relac¸a˜o funcional (modelo matema´tico):
O(l) = kql 0 ≤ l ≤ 80,
para certos paraˆmetros k e q. Estimar k e q utilizando os seguintes dados:
l (cm) 0 10 30 50 60 70 80
O (ml) 121 74 30 12 6,7 3,7 2
3. Uma plantac¸a˜o de cana de ac¸u´car tem a forma de um retaˆngulo de lados 2000 e
3000 m. Em cada per´ıodo de plantac¸a˜o se planta uma a´rea de forma retangular
que esta´ crescendo em raza˜o de seus lados menor e lado maior a uma velocidade
de 4m/ano e 5m/ano respectivamente. Desejamos achar o modelo matema´tico
do problema, que consiste em encontrar a velocidade em litros por ano com que
a produc¸a˜o de a´lcool procedente da cana de ac¸u´car esta´ crescendo, sabendo-se
que a produc¸a˜o de a´lcool e´ dada pela a´rea da plantac¸a˜o.
22
25
unidade 2
O MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS
27
unidade 2
O Me´todo dos Mı´nimos Quadrados
Objetivos
• Aproximar uma func¸a˜o qualquer (conhecida ou na˜o) ou um conjunto de pontos
por uma combinac¸a˜o de func¸o˜es conhecidas.
• Determinar a impoˆrtancia do me´todo na Modelagem Matema´tica.
• Reconhecer a curva de regressa˜o que melhor aproxime o problema ou fenoˆmeno
estudado.
O processo de coleta de dados constitui uma parte essencial na Modelagem Matema´tica
e tambe´m na metodologia cient´ıfica; tambe´m e´ fundamental para o desenvolvimento e
aplicac¸a˜o da pro´pria cieˆncia. No decorrer da Modelagem Matema´ica, a parte experi-
mental ressalta o processo de coleta de dados.
No processo de obtenc¸a˜o de dados ou medidas utilizam-se diversos conceitos como,
por exemplo, dados estat´ısticos, desvios, o valor mais prova´vel de uma grandeza etc.
fazendo convocac¸a˜o a noc¸o˜es intuitivas a cada novo conceito, isto e´, sem a preocupac¸a˜o
de apresentar uma teoria axioma´tica partindo de princ´ıpios gerais. Um primeiro passo
nessa direc¸a˜o esta´ no que se chama de Me´todo dos Mı´nimos Quadrados. Este processo
de sistematizac¸a˜o da obtenc¸a˜o de dados permite, como veremos, obter bons resultados
no ajuste de curvas. Embora possa ser utilizado no ajuste de outras curvas, vamos
apresentar este me´todo e seu uso para o ajuste de retas, por ser no momento nosso
principal objetivo.
Entre os motivos que avaliam a utilizac¸a˜o do me´todo, temos desde os mais variados,
desde o mais simples ate´ os mais complicados. Por exemplo, pode-se querer manipular
uma funca˜o complicada f(x) = cos(e(cot 2x)), ou enta˜o encontrar uma aproximac¸a˜o para
func¸o˜es que nem sa˜o conhecidas, como por exemplo.
24
28
2.1 Ajuste de Curvas
Definic¸a˜o 1 (Ajuste de Curvas) Um ajuste de curvas ou a`s vezes chamada curva
de regressa˜o e´ um conjunto de te´cnicas nume´ricas que tem por objetivo expressar al-
guma tendeˆncia da relac¸a˜o de duas grandezas. Em outras palavras, ajuste de curvas e´
um mecanismo ou artif´ıcio que fornece uma relac¸a˜o funcional de uma varia´vel depen-
dente y quando relacionada com a varia´vel independente x.
Exemplo 8 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e
peso dos atuns, podemos ver que existe, para cada n´ıvel de comprimento x, uma distri-
buic¸a˜o do peso y = kxα (curva de regressa˜o) em cada n´ıvel correspondente, conforme
Figura 1.6
Um ajuste de curvas e´ muito u´til para uma formulac¸a˜o simplificada dos dados ou
tambe´m para uma verificac¸a˜o de alguma tendeˆncia entre as grandezas.
No estudo de algum fenoˆmeno feito por medio de dados nume´ricos (dados experi-
mentais) estamos principalmente interessados, ale´m das tendeˆncias fornecidas por um
ajuste de curvas ou curva de regressa˜o, em saber se a correspondente relac¸a˜o funcio-
nal y = f(x) e´ compat´ıvel para futuras previso˜es de y no caso em que x esta´ fora do
domı´nio de definic¸a˜o de f.
Na pra´tica, acontece que nos modelos esta´ticos essas previso˜es se preservam na maioria
de casos; ja´ nos modelos dinaˆmicos, devemos tomar em conta outros tipos de consi-
derac¸o˜es para preservar o ajuste de curvas, como por exemplo o comportamento do
problema estudado ante perturbac¸o˜es das varia´veis que definem o fenoˆmeno.
Quando obtemos um conjunto de dados, atrave´s de um processo de experimentac¸a˜o, e
desejamos obter um ajuste de curvas ou uma curva de regressa˜o entre as varia´veis que
definem o problema, a priori, escolhemos a forma da curva que desejamos ajustar para
poder expressar estas varia´veis, isto implica que existem uma infinidade de curvas de
regressa˜o, claro esta´ que nem toda relac¸a˜o funcional obtida representa um bom modelo
matema´tico.
Exemplo 9 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e a
idade dos atums, observamos que a reta (Figura 2.7)
y = 6.1t+ 151.7 (2.2)
25
29
unidade 2
obtida do ajuste entre os dados idade t e comprimento y e´ uma boa aproximac¸a˜o para
valores de t menores ou iguais a 10, pois seis dados da tabela esta˜o sobre a reta; ja´
no caso em que t > 10 isso na˜o e´ garantido, pois o comprimento dos atuns tende a se
estabilizar quando t cresce; caso contra´rio, acontece com os valores sobre a reta cujos
valores tendem a crescer indefinidamente, e portanto, na˜o pode ser feita uma previsa˜o
no futuro sobre o comprimento dos atuns.
Logo, conclu´ımos que a equac¸a˜o (2.2) na˜o pode ser considerada de modo geral como um
bom modelo matema´tico, pois um dos objetivos principais da modelagem matema´tica e´
obter uma relac¸a˜o funcional que interprete em seus varia´veis ou paraˆmetros qualidades
pro´prias do fenoˆmeno estudado, nesta parte resulta ser muito importante a validac¸a˜o
da soluc¸a˜o.
Figura 2.7: Tendeˆncia do crescimento de uma famı´lia de atuns no per´ıodo de 10 anos.
A questa˜o central, como vimos, para se determinar a equac¸a˜o da curva e´ encontrar a
melhor curva regular de ajuste dos dados. Pode-se usar um crite´rio individual para
trac¸ar uma curva de ajustamento que se adapte ao conjunto de dados. Se for conhecido
o tipo de equac¸a˜o dessa curva, e´ poss´ıvel obter suas constantes, mediante a escolha de
26
30
tantos pontos da curva quantas sejam as constantes da equac¸a˜o.
Em diversas situac¸o˜es como, por exemplo, num laborato´rio, nos deparamos com gran-
dezas que se relacionam entre si. Por exemplo, a pressa˜o de uma determinada massa
de ga´s depende da sua temperatura e do seu volume; a distensa˜o de uma mola de-
pende da forc¸a aplicada. Deseja-se, frequentemente, expressar essa relac¸a˜o sob forma
matema´tica, por meio de uma equac¸a˜o que ligue as varia´veis. Para auxiliar a deter-
minac¸a˜o de uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis, um primeiro passo consiste em
colecionar dados que indiquem os valores correspondentes das varia´veis consideradas.
Por exemplo, x pode representar o deslocamento de uma mola causado por uma forc¸a
aplicada y para os quais temos um conjunto de n medidas.
2.2 O Me´todo dos Mı´nimos Quadrados
Um dos me´todos mais utilizados para estimac¸a˜o (aproximac¸a˜o) de paraˆmetros ou ajuste
de curvas e´ denominado me´todo dos mı´nimos quadrados que a seguir passamos a de-
talhar.
De modo geral, consideramos as varia´veis ou grandezas x e y que definem o fenoˆmeno
a analisar sujeitas a um conjunto de n medidas ou experimentos observados:
A = {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)} (2.3)
e uma func¸a˜o f : Rk+1 → R, tal que y(x) = f(x;α1, α2, ..., αk), onde α1, α2, ..., αk
sa˜o os paraˆmetros. O me´todo dos mı´nimos quadrados consiste em determinar esses
paraˆmetros de modo que minimize o valor de
S(α1, α2, ..., αk) =
n∑
i=1
[f(xi;α1, α2, ..., αk)− yi]2, (2.4)
isto e´, o me´todo consiste em minimizar a soma dos quadrados de
εi = f(x;α1, α2, ..., αk)− yi
entre os diversos valores de yi observados e os valores y(xi) = f(xi;α1, α2, ..., αk) ajus-
tados. Os valores εi sa˜o chamados de desvios .
Em seguida, locam-se esses pontos num plano cartesiano. O conjunto de pontos resul-
tante e´ denominado diagrama ou gra´fico de dispersa˜o ( Figura 2.8).
27
31
unidade 2
Figura 2.8: Diagrama de dispersa˜o, Curva de regressa˜o e Desvios εn
Neste diagrama e´ poss´ıvel, frequentemente, visualizar uma curva regular que se apro-
xime dos pontos dados (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), isso como foi definido em 2.1.1 e´
chamado ajustamento de curvas.
2.3 Ajuste Linear
Definic¸a˜o 2 (Ajuste Linear) Suponhamos que as grandezas x, y, cujas medidas sa˜o
dadas por (2.3) se relacionem linearmente. Um ajuste de curvas e´ denominado linear,
se a func¸a˜o f : R3 → R e´ definida por
f(x; a, b) = ax+ b.
Em outras palavras, um ajuste e´ linear se e´ definido pela equac¸a˜o da reta
y(x) = f(x; a, b) = ax+ b. (2.5)
Assim, a equac¸a˜o (2.5) sera´ a melhor reta que se ajusta aos pontos (2.3) a qual deseja-se
determinar, Figura 2.9. Devido a erros de medida, os valores (xi, yi) na˜o necessaria-
mente satisfazem exatamente a` equac¸a˜o (2.5), isto e´,
28
32
yi ∼= axi + b
Figura 2.9: Ajuste Linear
Para que essa expressa˜o se transforme numa igualdade, deveremos levar em conta os
erros ou desvios ε cometidos na medida. Assim,
yi = (axi + b) + εi
Portanto, εi tambe´m depende de a e b:
εi(a, b) = yi − (axi + b) (2.6)
A soma dos quadrados dos desvios e´ dado por
S(a, b) =
n∑
i=1
[yi − axi − b]2
Aplicando-se o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados, tem-se que os melhores valores para
a e b (e portanto a melhor reta) sa˜o aqueles que minimizam E(a, b). Como E e´ uma
29
33
unidade 2
func¸a˜o de duas quantidades a e b, escrevemos essas condic¸o˜es necessa´rias de mı´nimo
como
∂S
∂a
= 0 e
∂S
∂b
= 0,
ou seja,
∂S
∂a
= −2
n∑
i=1
(xiyi − ax2i − bxi) = 0,
e
∂S
∂b
= −2
n∑
i=1
(yi − axi − b) = 0.
De onde obtemos as chamadas equac¸o˜es normais
n∑
i=1
xiyi =
n∑
i=1
(bxi + ax
2
i ) (2.7)
n∑
i=1
yi =
n∑
i=1
(axi + b) (2.8)
Resolvendo (2.7) e (2.8) simultaneamente, para a e b encontramos
a =
[
n∑
i=1
xi
][
n∑
i=1
yi
]
− n
[
n∑
i=1
xiyi
]
[
n∑
i=1
xi
]2
− n
[
n∑
i=1
x2i
] (2.9)
b =
[
n∑
i=1
xiyi
][
n∑
i=1
xi
]
−
[
n∑
i=1
x2i
][
n∑
i=1
yi
]
[
n∑
i=1
xi
]2
− n
[
n∑
i=1
x2i
] (2.10)
30
34
Por outro lado, de (2.8) obtemos
b =
n∑
i=1
yi − a
n∑
i=1
xi
n
(2.11)
Observac¸a˜o 1 Um ajuste de curvas e´ na˜o linear se a func¸a˜o f(x;α1, α2, ..., αk) dada
pelos mı´nimos quadrados na˜o e´ uma reta. Ao fazer um ajuste linear para relacionar
duas varia´veis, na˜o sabemos a priori se a reta encontrada e´ o melhor modelo de ajuste.
A verificac¸a˜o da existeˆncia e do grau de relac¸a˜o entre varia´veis e´ o objeto de estudo da
correlac¸a˜o que a seguir definimos.
Definic¸a˜o 3 (Correlac¸a˜o Linear) A correlac¸a˜o linear mede a relac¸a˜o que existe en-
tre as varia´veis (xi, yi) de um conjunto de dados em torno de uma reta ajustada
y = ax+ b.
O coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson r e´ um mecanismo de medida da correlac¸a˜o
linear e e´ dado por
r =
n∑
i=1
xiyi −
[
n∑
i=1
xi
][
n∑
i=1
yi
]
n{[
n∑
i=1
x2i −
(
∑n
i=1 xi)
2
n
][
n∑
i=1
y2i −
(
∑n
i=1 yi)
2
n
]}1/2 (2.12)
Verifica-se que r ∈ [−1, 1]. Se r esta´ pro´ximo de 1 ou −1, dizemos que a correlac¸a˜o
e´ mais forte. Se r esta´ pro´ximo de zero, dizemos que a correlac¸a˜o e´ fraca. Se r = 1
ou r = −1, enta˜o a correlac¸a˜o entre as varia´veis e´ perfeita. Se r = 0, na˜o existe
nenhuma correlac¸a˜o. Por u´ltimo, o sinal de r indica o sinal do coeficiente angular da
reta ajustada.
Exemplo 10 Considerando-se os dados da tabela do Exemplo 7 sobre a idade t e o
peso y dos atuns:
31
35
unidade 2
ti idade yi peso (gr)
2 0.68
3 0.91
4 1.0
5 1.2
6 1.38
7 1.48
8 1.69
9 1.8
10 2.3
Encontrar um ajuste linear dos dados (ti, yi) mostrados na tabela anterior e calcular o
coeficiente de correlac¸a˜o linear entre a idade e o peso dos atuns.
Soluc¸a˜o
De acordo com as equac¸o˜es (2.9) e (2.10), n = 9; devemos agora calcular as somas de
ti, yi, tiyi, t
2
i .
ti yi tiyi t
2
i
2 0.68 1.36 4
3 0.91 2.73 9
4 1.0 4 16
5 1.2 6 25
6 1.38 8.28 36
7 1.48 10.36 49
8 1.69 13.52 64
9 1.8 16.2 81
10 2.3 23 100
9∑
i=1
ti = 54
9∑
i=1
yi = 12.44
9∑
i=1
tiyi = 85.45
9∑
i=1
t2i = 384
32
36
Logo, substituindo-se esses valores nas equac¸o˜es (2.9) e (2.10), temos
a =
(54)(12.44)− 9(85.45)
(54)2 − 9(384) =
−9729
−1309.05 = 0.074
b =
(85.45)(54)− (384)(12.44)
(54)2 − 9(384) = 0.301
Portanto, a equac¸a˜o da melhor reta no sentido dos mı´nimos quadrados e´ dada por
y(t) = 0.074t+ 0.301
Esta equac¸a˜o define uma reta que passa pelos seguintes pontos corrigidos:
ti y(ti) = 0.074ti + 361.4
2 0.449
3 0.523
4 0.597
5 0.671
6 0.745
7 0.819
8 0.893
9 0.967
10 1.041
Para calcular o coeficiente de correlac¸a˜o dado por (2.12) devemos encontrar as somas
de y2i .
9∑
i=1
y2i = 0.68
2 + 0.912 + 1 + 1.22 + 1.382 + 1.482 + 1.692 + 1.82 + 2.32 = 118.75
Substituindo em (2.12), temos
33
37
unidade 2
r =
85.45− (54)(12.44)
9{[
384− (54)
2
9
] [
118.75− (12.44)
2
9
]}1/2 = 0.138
Sendo r = 0.138 pro´ximo de zero, existe uma fraca correlac¸a˜o entre a idade e o peso
dos atuns.
Observac¸a˜o 2 O me´todo do ajuste linear tambe´m pode ser aplicado a outros modelos
matema´ticos definidos por func¸o˜es na˜o lineares, isso desde que seja poss´ıvel transformar
aquelas func¸o˜es em func¸o˜es lineares atrave´s de uma mudanc¸a de varia´vel adequada, por
exemplo, modelos definidos por func¸o˜es de tipo exponencial, func¸a˜o poteˆncia, func¸o˜es
perio´dicas. Na seguinte sec¸a˜o veremos alguns desses modelos.
2.3.1 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial
Suponhamos que a formulac¸a˜o de um modelo matema´tico e´ definido por meio de uma
func¸a˜o de tipo exponencial (Figura 2.10)
y(x) = β eαx, β > 0 (2.13)
Figura 2.10: Func¸a˜o de Tipo Exponencial
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel z = ln y com o objetivo de transformar a equac¸a˜o
que define o modelo (2.13) na forma de uma equac¸a˜o de uma reta, obtemos ao tomar
logaritmos de ambos os lados de (2.13)
34
38
z(x) = ln y = αx+ ln β (2.14)
Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pois e´ mais
fa´cil lidar com (2.14) do que com (2.13). Ale´m disso, o estabelecimento da curva com
dados emp´ıricos e a ana´lise dos desvios sa˜o extremamente facilitados.
Portanto, tomando-se a = α e b = ln β, a equac¸a˜o da reta ajustada ou equac¸a˜o auxiliar
e´
z = ax+ b
Exemplo 11 O aumento de ce´lulas cancerosas num tumor por unidade do tempo t,
supondo o
tempo de duplicac¸a˜o das ce´lulas constante, e´ dado atrave´s dos seguintes
dados experimentais:
Tempo (dias) Nu´mero de ce´lulas (miles)
1.5 1,778
2.5 2,611
4.0 4,642
5.0 6,813
6.5 12,11
Com estes dados, determine a dependeˆncia funcional do nu´mero de ce´lulas N(t) do
tumor em relac¸a˜o ao tempo t mediante um ajuste linear.
Soluc¸a˜o
Atrave´s do gra´fico de dispersa˜o dos dados (ti, Ni) i = 1, 2, 3, 4, 5 mostrados na Figura
2.11, podemos ver que a forma da relac¸a˜o funcional procurada N(t) pode ser expressa
por uma func¸a˜o do tipo exponencial.
N(t) = βeαt, β > 0, α > 0. (2.15)
Assim, a dependeˆncia do nu´mero de ce´lulas com o tempo na˜o e´ linear; ou seja, a
curva que modela o decaimento na˜o e´ uma reta. Enta˜o, com os dados mostrados na
tabela podemos fazer um ajuste linear para o modelo, definido por uma func¸a˜o de tipo
exponencial.
35
39
unidade 2
Figura 2.11: Gra´fico de Dispersa˜o
Utilizando a mudanc¸a de varia´vel y(t) = lnN(t), obtemos em (2.15) a espressa˜o linear
nas novas varia´veis
y = αt+ ln β
Utilizando os dados da tabela, obtemos os dados auxiliares.
ti Ni yi = lnNi t
2
i tiyi
1.5 1,778 0.575 2.25 0.8625
2.5 2,611 0.959 6.25 2.3975
4.0 4,642 1.535 16 6.14
5.0 6,813 1.918 25 9.59
6.5 12,110 2.494 42.25 16.211
5∑
i=1
ti = 19.5
5∑
i=1
yi = 7.481
5∑
i=1
t2i = 91.75
5∑
i=1
tiyi = 35.201
Para calcular os paraˆmetros a e b, empregamos as equac¸o˜es (2.9) e (2.10)
36
40
a =
[
5∑
i=1
ti
][
5∑
i=1
yi
]
− 5
[
5∑
i=1
tiyi
]
[
5∑
i=1
ti
]2
− 5
[
5∑
i=1
t2i
] = (19.5)(7.481)− 5(35.201)
(19.5)2 − 5(91.75) = 0.383
b =
[
5∑
i=1
tiyi
][
5∑
i=1
ti
]
−
[
5∑
i=1
t2i
][
5∑
i=1
yi
]
[
5∑
i=1
ti
]2
− 5
[
5∑
i=1
t2i
] = (35.201)(19.5)− (91.75)(7.481)
(19.5)2 − 5(91.75) = −0.00048
Portanto, obtemos a equac¸a˜o da reta ajustada (reta auxiliar y = lnN)
y = 0.383t− 0.00048
Como a = α e b = ln β obtemos β = eb = e−0.00048 ≃ 0.9995. A func¸a˜o exponencial e´
N(t) = 0.383e0.9995t ∀ t ≥ 0.
Figura 2.12: Ajuste da reta y = 0.383t− 0.00048 aos pontos (t, ln t)
37
41
unidade 2
Figura 2.13: Modelo Matema´tico do Nu´mero de ce´lulas na forma exponencial
2.3.2 Ajuste Linear de Modelos Geome´tricos
Suponhamos que a formulac¸a˜o do modelo matema´tico e´ definido atrave´s de um modelo
de tipo geome´trico, isto e´, um modelo onde a func¸a˜o que define o problema e´ dado por
uma func¸a˜o poteˆncia (Figura 2.14)
y(x) = α xβ, α > 0 e β > 0 (2.16)
Neste caso, a func¸a˜o e´ do tipo dado pela Observac¸a˜o 2; logo, o ajuste de paraˆmetros
pode ser feito atrave´s de um ajuste linear. Fazendo a mudanc¸a de varia´vel
Y = ln y e X = ln x, (2.17)
com o objetivo de transformar a equac¸a˜o que define o modelo (2.16) na forma de uma
equac¸a˜o de uma reta, obtemos ao tomar logaritmos de ambos os lados de (2.16)
ln y = lnα + β ln x,
nas novas varia´veis, isto e´,
Y = a+ βX, onde a = lnα (2.18)
38
42
Figura 2.14: Func¸a˜o Poteˆncia
Portanto, tomando b = β a equac¸a˜o da reta ajustada ou equac¸a˜o auxiliar e´
Y = a+ bX (2.19)
Exemplo 12 Com os dados do Exemplo 7 da relac¸a˜o do peso (gr) e comprimento (cm)
dos atuns, determinar a dependeˆncia funcional do peso dos atuns y(x) em relac¸a˜o ao
comprimento x mediante um ajuste linear.
Soluc¸a˜o Vimos que a relac¸a˜o funcional que modela o problema e´ formulado pela
func¸a˜o poteˆncia dado em (1.1), isto e´,
y(x) = αxβ,
onde α e´ a taxa de metabolismo e β da´ informac¸a˜o em termos matema´ticos da forma do
atum. Enta˜o e´ poss´ıvel fazer um ajuste linear, o que a seguir faremos. A reta ajustada
dada por (2.19) e´
Y = a+ bX,
onde devemos encontrar os paraˆmetros a e b por meio de un ajuste linear. Formamos
a seguinte tabela:
39
43
unidade 2
xi yi Xi = ln xi Yi = ln yi XiYi X
2
i
163.9 0.68 5.099 -0.385 -1.963 25.999
170 0.91 5.135 -0.094 -0.482 26.368
176.1 1.0 5.171 0 0 26.739
182.2 1.2 5.205 0.182 0.947 27.092
188.3 1.38 5.238 0.322 1.686 27.436
195.4 1.48 5.275 0.392 2.067 27.825
203.2 1.69 5.314 0.524 2.784 28.238
210 1.8 5.347 0.587 3.138 28.590
212.7 2.3 5.359 0.832 4,438 28.718
9∑
i=1
Xi = 47.143
9∑
i=1
Yi = 2.36
9∑
i=1
XiYi = 12.615
9∑
i=1
X2i = 247.005
Aplicando o me´todo dos mı´nimos quadrados para estimar os paraˆmetros, temos
a =
[
9∑
i=1
Xi
][
9∑
i=1
Yi
]
− 9
[
9∑
i=1
XiYi
]
[
9∑
i=1
Xi
]2
− 9
[
9∑
i=1
X2i
] = (47.143)(2.36)− 9(12.615)
(47.143)2 − 9(247.005) = 3.907
b =
[
9∑
i=1
XiYi
][
9∑
i=1
Xi
]
−
[
9∑
i=1
X2i
][
9∑
i=1
Yi
]
[
9∑
i=1
Xi
]2
− 9
[
9∑
i=1
X2i
] = (12.615)(47.143)− (247.005)(2.36)
(47.143)2 − 9(247.005)
b = 20.2
Portanto,
Y = 3.907X + 20.2
sendo a = lnα, temos que α = ea = e3.907 ≃ 49.749. Assim, obtemos y = 49.749x20.2
40
44
Figura 2.15: Ajuste geome´trico para a relac¸a˜o peso-comprimento dos atuns
2.4 Ajuste Quadra´tico
Definic¸a˜o 4 (Ajuste Quadra´tico) Sejam x, y duas grandezas cujas medidas sa˜o da-
das por (2.3). Um ajuste de curvas e´ denominado ajuste quadra´tico, se a func¸a˜o que
relaciona as grandezas e´ definido por f : R4 → R
f(x; a, b, c) = a+ bx+ cx2,
isto e´, um ajuste quadra´tico e´ definido pela equac¸a˜o de uma para´bola
y(x) = f(x; a, b, c) = a+ bx+ cx2. (2.20)
Aplicando o me´todo dos mı´nimos quadrados, determinamos os paraˆmetros a, b e c mi-
nimizando a func¸a˜o
S(a, b, c) =
n∑
i=1
[f(x; a, b, c)− yi]2 =
n∑
i=1
[a+ bx+ cx2 − yi]2
As condic¸o˜es necessa´rias de mı´nimo sa˜o dadas pelas equac¸o˜es
∂S
∂a
= 0,
∂S
∂b
= 0,
∂S
∂c
= 0,
41
45
unidade 2
isto e´ 
n∑
i=1
yi = na+ b
n∑
i=1
xi + c
n∑
i=1
x2i
n∑
i=1
xiyi = a
n∑
i=1
xi + b
n∑
i=1
x2i + c
n∑
i=1
x3i
n∑
i=1
x2i yi = a
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
x3i + c
n∑
i=1
x4i
(2.21)
Exemplo 13 Ajustar uma para´bola de mı´nimos quadrados da forma y(x) = a+ bx+
cx2 para os dados da tabela seguinte.
x 1.2 1.8 3.1 4.9 5.7 7.1 8.6 9.8
y 4.5 5.9 7 7.8 7.2 6.8 4.5 2.7
Soluc¸a˜o Devemos utilizar as equac¸o˜es (13), a seguinte tabela permite fazer isso.
xi yi x
2
i x
3
i x
4
i xiyi x
2
i yi
1.2 4.5 1.44 1.73 2.08 5.40 6.48
1.8 5.9 3.24 5.83 10.49 10.62 19.12
3.1 7.0 9.61 29.79 92.35 21.70 67.27
4.9 7.8 24.01 117.65 576.48 38.22 187.28
5.7 7.2 32.49 185.19 1055.58 41.04 233.93
7.1 6.8 50.41 357.91 2541.16 48.28 342.79
8.6 4.5 73.96 636.06 5470.12 38.70 332.82
9.8 2.7 96.04 941.19 9223.66 26.46 259.31
8∑
i=1
xi =
42.2
8∑
i=1
yi =
46.4
8∑
i=1
x2i =
291.20
8∑
i=1
x3i =
2275.35
8∑
i=1
x4i =
18, 971.92
8∑
i=1
xiyi =
230.42
8∑
i=1
x2i yi =
1449.00
Para n = 8, as equac¸o˜es normais (13) sa˜o
8a+ 42.2b+ 291.20c = 46.4
42.2a+ 291.20b+ 2275.35c = 230.42
291.20a+ 2275.35b+ 18971.92c = 1449.00
42
46
Resolvendo o sistema alge´brico anterior, obtemos a = 2.588, b = 2.065, c = −0.2110,
da´ı, a para´bola requerida pelo me´todo dos mı´nimos quadrados tem a equac¸a˜o
y = 2.588 + 2.065x− 0.2110x2
43
47
unidade 2
2.5 Atividades
1. Demonstre que as equac¸o˜es (2.9) e (2.10) tambe´m sa˜o dadas da seguinte forma:
a =
∑n
i=1 xiyi − nx¯y∑n
i=1 x
2
i − nx¯2
, b = y¯ − ax¯
onde x¯ =
∑n
i=1 xi
n
e
y¯ =
∑n
i=1 yi
n
.
2. Aplicando o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados,ajuste uma reta ao seguinte con-
junto de dados:
A = {(1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8), (14, 9)}
3. Em cinco pa´ıses da Europa, foi encontrada uma relac¸a˜o entre o conteu´do de po-
eira de um elemento qu´ımico no ar (em g/m3)
e o nu´mero de auseˆncias femininas
em certas indu´strias. Foram contadas somente auseˆncias de pelo menos sete dias
e encontrados os seguintes dados.
Pa´ıs g/m3 Nu´mero de auseˆncias por 1000 empregados
Franc¸a 7 19
Espanha 13 44
Ita´lia 14 53
Alemania 17 61
Portugal 20 88
a) Desenhe o gra´fico de dispersa˜o dos dados da tabela.
b) Representar o nu´mero de auseˆncias versus o conteu´do de poeira do elemento
qu´ımico.
c) Estabelecer uma reta de regressa˜o linear pelo me´todo dos mı´nimos quadrados.
4. Mostre que o ajuste de n pontos (xi, yi) a uma reta passando pela origem, y = kx
implica que k =
n∑
i
xiyi
n∑
i
x2i
.
44
48
5. Um grupo de pesquisadores obte´m os seguintes dados experimentais depois de
fazer algumas medic¸o˜es entre o peso (gramas) e a velocidade (m/s) de um objeto
A = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 5), (9, 7), (12, 8)}
Fac¸a um ajuste linear dos dados obtidos, obtenha e interprete o coeficiente de
correlac¸a˜o.
6. A Tabela seguinte fornece os valores experimentais da pressa˜o P de uma dada
massa de ga´s correspondente a va´rios valores do volume V . De acordo com
princ´ıpios termodinaˆmicos, existe entre as varia´veis uma relac¸a˜o PV β = α, onde
α e β sa˜o constantes.
a) Encontre os valores de α e β (aplique o me´todo dos mı´nimos quadrados para
ajustar os dados atrave´s de um modelo de ajuste linear geome´trico).
b) Escreva a equac¸a˜o relacionando P e V .
c) Estimar P quando v = 100.0 in3.
Volume V (in3) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0
Pressa˜o P (lb/in) 61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1
7. A tabela seguinte da´ informac¸a˜o do censo de uma populac¸a˜o (em milho˜es) de um
certo pa´ıs em relac¸a˜o ao tempo (anos).
Anos 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950
Populac¸a˜o 23.2 31.4 39.8 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 151.1
a) Fac¸a um ajuste quadra´tico dos dados da tabela pelo me´todo dos mı´nimos
quadrados.
b) Calcule os valores da regressa˜o (comumente chamados de valores de tendeˆncia)
para os anos dados e comparar com os valores reais.
c) Estime a populac¸a˜o de 1945.
d) Estime a populac¸a˜o de 1960 e compare com o valor real 178, 9.
45
unidade
49
unidade 3
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
51
unidade 3
Equac¸o˜es de Diferenc¸as
Objetivo
• Analisar as caracter´ıstica variacionais de uma relac¸a˜o funcional presentes na mo-
delagem e saber quando sequeˆncias interpretam varia´veis cont´ınuas.
• Solucionar uma equac¸a˜o em diferenc¸as e obter a soluc¸a˜o em forma expl´ıcita.
• Interpretar problemas concretos atrave´s de equac¸o˜es de diferenc¸as.
3.1 Variac¸o˜es
Como vimos anteriormente no processo da modelagem matema´tica, a obtenc¸a˜o de
um modelo matema´tico que interpreta o problema a estudar constitui a parte mais
complicada de dito processo. As relac¸o˜es de medida que existem entre as varia´veis ou
grandezas observadas que define o problema (que na˜o necessariamente sa˜o de cara´ter
matema´tico) sa˜o a base para a obtenc¸a˜o da formulac¸a˜o do modelo matema´tico. Uma
maneira de interpretar essas relac¸o˜es de medidas e em consequeˆncia obter um modelo
matema´tico e´ dada pela variac¸a˜o ou taxa de variac¸a˜o dessas varia´veis. Iniciamos esta
sec¸a˜o atrave´s da definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 5 Entendemos por varia´veis quaisquer grandezas que se modificam du-
rante um processo dinaˆmico. O termo paraˆmetro se refere a quantidades que podem
ou na˜o mudar durante o processo dinaˆmico. As constantes sa˜o quantidades que na˜o
variam durante o processo e assumem valores fixados a priori.
Lembramos da ana´lise real o seguinte.
Definic¸a˜o 6 (Sequeˆncia de nu´meros reais) Uma sequeˆncia de nu´meros reais e´ um
conjunto de pontos denotado por {xn}, definidos por uma func¸a˜o f : X ⊂ N→ R, cujo
domı´nio e´ um subconjunto X dos nu´meros naturais N, tal que xn = f(xn). Quando
este conjunto e´ finito, dizemos que a sequeˆncia e´ finita.
Uma das caracter´ısticas importantes de uma sequeˆncia e´ sua convergeˆncia, que defini-
mos a seguir.
Definic¸a˜o 7 (Convergeˆncia de uma sequeˆncia ) Dizemos que uma sequeˆncia de
nu´meros reais xn converge para um nu´mero real x se xn pode se aproximar tanto quanto
se queira de x quando n cresce, isto e´, dado ε > 0, arbitrariamente pequeno, existe
n0 ∈ N tal que 0 <| xn − x |< ε, quando n > n0.
47
52
Notac¸a˜o: Denotamos a convergeˆncia de uma sequeˆncia xn ao valor x por
xn → x ou x = lim
n→∞
xn,
onde a expressa˜o x = lim
n→∞
xn indica que x e´ o limite da sequeˆncia xn quando n se
aproxima do infinito.
Definic¸a˜o 8 (Conjunto Discreto e Varia´vel discreta) Uma varia´vel discreta e´
uma varia´vel que toma valores isolados, ou seja, na˜o admite valores intermedia´rios
entre dois valores espec´ıficos. O conjunto formado por valores de uma varia´vel discreta
e´ chamado de conjunto discreto.
Matematicamente podemos aprofundar essa definic¸a˜o. Dada uma sequeˆncia finita de
nu´meros reais {x1, x2, x3, ..., xn}, cada elemento da sequeˆncia e´ chamado de valor dis-
creto, e a varia´vel x recebe o nome de varia´vel discreta.
O conjunto finito {x1, x2, x3, ..., xn} formado por valores de uma varia´vel discreta x e´
denominado conjunto discreto. Em outras palavras, um conjunto e´ discreto se existe
uma correspondeˆncia bijetiva entre os elementos do conjunto e um subconjunto dos
nu´meros naturais {1, 2, 3..., n}.
Exemplo 14 Se desejamos encontrar o nu´mero de peixes capturados em uma empresa
pesqueira em cada meˆs n, durante un ano, devemos usar uma sequeˆncia finita xn para
representar o nu´mero de peixes capturados no meˆs n, isto e´, {x1, x2, x3, ..., x12} e´ o
conjunto discreto e o nu´mero de peixes x e´ a varia´vel discreta
Definic¸a˜o 9 (Varia´vel Cont´ınua) Uma varia´vel cont´ınua e´ aquela que pode assumir
valores entre dois nu´meros.
Em termos matema´ticos podemos dar a seguinte interpretac¸a˜o: dada uma sequeˆncia
finita de nu´meros reais {x1, x2, x3, ..., xn}, uma varia´vel x e´ dita cont´ınua se pode assu-
mir todos os valores reais intermedia´rios entre os valores discretos da sequeˆncia. Em
outras palavras, uma varia´vel que na˜o e´ cont´ınua sera´ discreta.
Exemplo 15 Se {y1 = 0.68, y2 = 0.91, y3 = 1.0, ..., y9 = 2.3} sa˜o os valores dados
do peso dos atuns do Exemplo 7, qualquer valor da varia´vel peso y pode ser assumido
no intervalo [0.68, 2.3]; logo, a varia´vel peso dos atuns e´ cont´ınua neste intervalo.
48
53
unidade 3
Na pra´tica, sequeˆncias finitas de nu´meros reais representam grandezas que esta˜o en-
volvidas na modelagem matema´tica do problema e, portanto, constituem conjuntos
discretos, isto e´, o caso do nu´mero de peixes do Exemplo 14; enta˜o, resulta importante
saber quando tais sequeˆncias interpretam varia´veis cont´ınuas.
Observac¸a˜o 3 Uma sequeˆncia finita {xn}kn=1 e´ um conjunto discreto de nu´meros
reais, logo x e´ uma varia´vel discreta; pore´m, se conseguimos representar a varia´vel
x = f(t) por uma func¸a˜o definida para todo t ∈ R, enta˜o, na verdade, x e t sera˜o
varia´veis cont´ınuas.
Definic¸a˜o 10 (Variac¸a˜o) Seja f : A ⊂ R → R y = f(x) uma func¸a˜o que associa a
cada varia´vel independente x a varia´vel dependente y. A variac¸a˜o de uma func¸a˜o f
e´ definida como a medida do comportamento da func¸a˜o em relac¸a˜o a um esta´gio da
varia´vel independente x.
As variac¸o˜es sa˜o de dois tipos: variac¸o˜es discretas e variac¸o˜es cont´ınuas. A seguir es-
tudaremos cada tipo de variac¸a˜o.
3.1.1 Variac¸o˜es Discretas
Seja D = {y1, y2, y3, ..., yn} um conjunto discreto tal que a varia´vel discreta y esta´ em
relac¸a˜o a` grandeza x atrave´s da func¸a˜o f : A ⊂ R → R, isto e´, y = f(x), ∀ x ∈ A
subconjunto pro´prio de R.
Definic¸a˜o 11 (Variac¸a˜o Discreta) Uma variac¸a˜o e´ discreta se os valores da ima-
gem da func¸a˜o f , isto e´, y = f(x) pertence ao conjunto discreto D.
Definic¸a˜o 12 (Variac¸a˜o Total) A variac¸a˜o
total ou a`s vezes chamada variac¸a˜o de
y = f(x) ∈ D em relac¸a˜o ao intervalo [x1, x2] e´ definida por
∆y = y2 − y1 = f(x2)− f(x1) (3.22)
∆y tambe´m e´ chamado de incremento de y. Se ∆y > 0, enta˜o a func¸a˜o f aumenta em
tamanho; se ∆y < 0, a func¸a˜o f experimenta um decre´scimo do tamanho; se ∆y = 0,
a func¸a˜o permanece inalterada.
49
54
Exemplo 16 Em um zoolo´gico, uma famı´lia de pinguins se constitu´ıa de 43 pinguins
no primeiro dia de setembro de 1980, e um total de 95 pa´ssaros no primeiro dia de
setembro de 1981. Calcular a variac¸a˜o total do nu´mero de indiv´ıduos de pinguins e
pa´ssaros.
Soluc¸a˜o Denotando por N o nu´mero de ind´ıviduos de pinguins e pa´ssaros, podemos
considerar N como una func¸a˜o do tempo t dado em meses:
N = f(t)
Tomando t1 o primeiro dia de setembro de 1980 e t2 o primeiro dia de setembro de
1981, temos f(t1) = 43 e f(t2) = 95; logo, a variac¸a˜o total sera´ ∆N = f(t2)− f(t1) =
95−43 = 52, o que implica que o nu´mero de ind´ıviduos aumentou. Observe que, sendo
os valores f(t1) = 43 e f(t2) = 95 inteiros, a varia´vel N e´ discreta.
Definic¸a˜o 13 (Taxa Me´dia de Variac¸a˜o) A taxa me´dia de variac¸a˜o ou variac¸a˜o
me´dia de y = f(x) ∈ D em relac¸a˜o x e´ definida por
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 x1 ̸= x2. (3.23)
∆x = x2 − x1 e´ a extensa˜o do intervalo [x1, x2], tambe´m chamado de incremento da
varia´vel x. A taxa de variac¸a˜o me´dia representa o incremento da func¸a˜o f em relac¸a˜o
ao incremento da varia´vel x.
Exemplo 17 No Exemplo 16, a taxa me´dia de variac¸a˜o do nu´mero de indiv´ıduos de
pinguins e pa´ssaros e´
∆N
∆t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 =
52
12
= 4.33.
A populac¸a˜o de pinguins e pa´ssaros entre setembro de 1980 a 1981 aumentou em me´dia
de 4.33 por meˆs. Naturalmente isso indica que o nu´mero de nascimentos foi maior em
relac¸a˜o ao nu´mero de mortes.
Outro tipo de medida variacional discreta aparece em particular na dinaˆmica popula-
cional que a seguir definimos.
Definic¸a˜o 14 (Taxa de Variac¸a˜o Relativa) A taxa de variac¸a˜o relativa e´ a taxa
de variac¸a˜o de uma populac¸a˜o N = f(t) ∈ D em que a variac¸a˜o depende somente do
50
55
unidade 3
nu´mero de ind´ıviduos presentes inicialmente e na˜o de fatores que dependem do tempo.
Temos os seguintes casos:
i) Taxa de Variac¸a˜o Relativa Me´dia, que e´ definida por
α =
∆N
N1∆t
=
N2 −N1
N1∆t
N1 = f(t1), N2 = f(t2)
ii) Taxa de Variac¸a˜o Malthusiana, proveniente de um crescimento exponencial em
cada unidade de tempo.
α = ∆t
√
Nt+∆t
Nt
− 1.
Exemplo 18 A Tabela 3.1 fornece os censos demogra´ficos do Brasil de 1950 a 2010
Neste caso, a varia´vel temporal t e o nu´mero de indiv´ıduos assumem valores inteiros;
logo, ambas as grandezas (tempo-indiv´ıduos) sa˜o discretas.
ANOS POPULAC¸A˜O
TAXAS DE
CRESCIMENTO %
VARIAC¸A˜O TOTAL
1950 51.944.397
3.2 19.047.946
1960 70.992.343
2.8 22.146.694
1970 93.139.037
2.5 25.863.669
1980 119.002.706
1.9 27.822.769
1991 146.825.475
1.6 22.973.695
2000 169.799.170
1.1 20.933.524
2010 190.732.694
Tabela 3.1: Censos Demogra´ficos do Brasil de 1950 a 2010.
As taxas de crescimento dadas em percentagem entre dois censos consecutivos mos-
trados na tabela sa˜o obtidas utilizando-se a taxa de variac¸a˜o malthusiana. Com
efeito, tomando-se como populac¸a˜o inicial N0 = 51.944.397, e depois de dez anos,
51
56
N10 = 70.992.343, enta˜o a taxa de variac¸a˜o relativa dada pela variac¸a˜o malthusiana
entre 1950 e 1960 e´ dada por
α =
10
√
70992343
51944397
− 1 ≃ 0.032
isto e´, aproximadamente 3.2%.
Se agora consideramos os censos de 1950 e 2010, α e´ dado por
α =
60
√
190732694
51944397
− 1 ≃ 0.022
isto e´, aproximadamente 2.2%. E isso quer dizer que a populac¸a˜o brasileira cresceu a
uma taxa me´dia de aproximadamente 2.2% ao ano, nos 61 anos.
Exemplo 19 No Exemplo 16, a taxa de variac¸a˜o me´dia relativa ao nu´mero de pinguins
e pa´ssaros e´
α =
∆N
N1∆t
=
52
43(12)
≃ 0.1.
Neste caso, a taxa de variac¸a˜o populacional entre setembro de 1980 e 1981 aumentou
em me´dia 10% por meˆs.
Se tomamos ∆t = t2 − t1 = 12, temos N2 = Nt1+∆t = 95 e N1 = Nt1 = 43; logo,
α = 12
√
N2
N1
− 1 = 12
√
95
43
− 1 = 0.068
enta˜o isso quer dizer que a populac¸a˜o cresceu em me´dia 6.8% ao meˆs, relativamente a`
proporc¸a˜o existente em cada meˆs, durante os 12 meses.
3.1.2 Variac¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o 15 (Variac¸a˜o Cont´ınua) Uma variac¸a˜o e´ cont´ınua se os valores da ima-
gem da func¸a˜o f : A ⊂ R→ R, isto e´ y = f(x) e´ va´lido para todo nu´mero real x ∈ A.
Observamos que uma varia´vel cont´ınua pode assumir valores em um conjunto dis-
creto, isso significa que podemos generalizar as definic¸o˜es de variac¸o˜es do caso dis-
creto para o caso de variac¸o˜es cont´ınuas, o que faremos a seguir. Consideremos uma
varia´vel y (cont´ınua ou discreta) que esta´ em relac¸a˜o com a varia´vel x atrave´s da func¸a˜o
52
57
unidade 3
f : A ⊂ R→ R, isto e´, y = f(x), ∀ x ∈ A subconjunto R.
Definic¸a˜o 16 (Variac¸a˜o Total) A variac¸a˜o total ou a`s vezes chamada variac¸a˜o ab-
soluta de y = f(x) em relac¸a˜o ao intervalo [x1, x2] e´ definida por
∆y = y2 − y1 = f(x2)− f(x1) (3.24)
A variac¸a˜o total e´ a diferenc¸a da varia´vel dependente y em duas etapas da varia´vel
independente x.
Definic¸a˜o 17 (Taxa Me´dia de Variac¸a˜o) A taxa me´dia de variac¸a˜o ou variac¸a˜o
me´dia de y = f(x) em relac¸a˜o x e´ definida por
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 t1 ̸= t2. (3.25)
∆x = x2 − x1 e´ chamado o incremento da varia´vel x em relac¸a˜o a dois esta´gios x1, x2.
A taxa de variac¸a˜o me´dia representa o incremento da func¸a˜o f em relac¸a˜o ao incre-
mento da varia´vel x, a variac¸a˜o me´dia mostra quando variou y por unidade de x.
Considerando-se de forma geral as varia´veis x, x+h, onde h = ∆x, a definic¸a˜o de taxa
me´dia de variac¸a˜o tambe´m pode ser dada por
∆y
∆x
=
f(x+ h)− f(x)
h
. (3.26)
Geometricamente (escalas graduadas), a taxa me´dia de variac¸a˜o tem a seguinte inter-
pretac¸a˜o. Se consideramos o gra´fico da func¸a˜o f , isto e´, Gra(f) = {(x, y) ∈ R2; y =
f(x)}, a taxa me´dia de variac¸a˜o tem um significado intuitivo. Na Figura 3.16, a reta
l e´ trac¸ada ligando os dois pontos (x, f(x)), (x + h, f(x + h)) do gra´fico da func¸a˜o f .
A taxa me´dia de variac¸a˜o e´ interpretada como a inclinac¸a˜o da reta secante l, isto e´, o
coeficiente angular da reta coincide com a taxa me´dia de variac¸a˜o
tan(α) =
∆y
∆x
=
f(x+ h)− f(x)
h
. (3.27)
E´ importante deixar claro que o coeficiente angular de uma reta so´ pode ser dito, no
caso de que as escalas dos eixos de coordenadas sa˜o igualmente espac¸ados, isto e´, em
escala graduada. Ja´ no caso geral, quer dizer que quando lidamos com func¸o˜es, so´
podemos dizer de taxa me´dia de variac¸a˜o ou simplesmente variac¸a˜o, conforme o caso.
53
58
Figura 3.16: Taxa Me´dia de Variac¸a˜o
∆y
∆x
=
f(x+ h)− f(x)
h
Exemplo 20 Entendemos por metabolismo o conjunto de transformac¸o˜es que as subs-
taˆncias qu´ımicas sofrem no interior dos organismos vivos. Seja M(t) a massa de um
nutriente de um ser vivo como func¸a˜o do tempo t. Estamos interessados na velocidade
de uma reac¸a˜o qu´ımica.
A taxa me´dia de variac¸a˜o da func¸a˜o massa ira´ responder a esta preocupac¸a˜o. Admi-
tamos a hipo´tese de que o nutriente se desintegra quimicamente; consequentemente,
a massa M decresce no tempo. Se consideramos dois instantes consecutivos t1, t2:
∆t = t2 − t1 representa o comprimento do intervalo [t1, t2] e ∆M = f(t2) − f(t1) o
decre´scimo da massa. Logo, a taxa me´dia de variac¸a˜o da massa por unidade de tempo e´
∆M
∆t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 .
Este quociente e´ chamado a taxa me´dia de reac¸a˜o no intervalo de tempo de t1 a t2.
Pelas hipo´teses, temos que ∆M/∆t e´ negativo e podemos
concluir que a reac¸a˜o qu´ımica
na˜o tem que ter necessariamente uma taxa constante.
Definic¸a˜o 18 (Taxa de Variac¸a˜o Relativa) A taxa de variac¸a˜o relativa e´ a taxa
de variac¸a˜o de uma func¸a˜o y = f(x) por unidade de x relativa a` etapa inicial y = yi:
1
yi
∆yi
∆xi
=
[
f(xi+1)− f(xi)
xi+1 − xi
]
1
yi
(3.28)
54
59
unidade 3
Muitas vezes na˜o e´ sempre satisfato´rio considerarmos as variac¸o˜es simples, me´dia e
relativa quando os dados envolvidos sa˜o varia´veis cont´ınuas; nesse sentido, precisamos
de uma medida de variac¸a˜o que permita nos informar em tempo real o comportamento
da func¸a˜o; isso pode ser dado por uma variac¸a˜o em tempo real, a qual sera´ oposta
a uma variac¸a˜o me´dia, a variac¸a˜o instantaˆnea que a seguir definimos dara´ resposta a`
nossa inquietude.
Definic¸a˜o 19 (Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea) A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea e´
a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o y = f(x) no ponto x dado por
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
h→0
[
f(x+ h)− f(x)
h
]
= f ′(x) (3.29)
desde que o limite existir.
A taxa de variac¸a˜o instaˆntanea f ′(x) e´ chamada de derivada da func¸a˜o f no ponto x,
ela e´ o nu´mero real, cujos valores aproximados sa˜o os quocientes [f(x+ h)− f(x)] /h
para valores muito pequenos de h. A taxa de variac¸a˜o instaˆntanea e´ o limite das taxas
me´dias de variac¸a˜o.
Geometricamente, a derivada f ′(x) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente l ao gra´fico da
func¸a˜o f no ponto x.
Figura 3.17: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada
55
60
O sinal e o valor da derivada f ′(x) indicam a tendeˆncia da variac¸a˜o de f a partir do
ponto x. Se f ′(x) > 0, enta˜o f(x+ h) > f(x) para pequenos valores positivos de h. Se
f(x) < 0, tem-se, ao contra´rio, f(x + h) < f(x) para h pequeno e positivo. Se f ′(x)
e´ um nu´mero positivo grande, enta˜o f cresce rapidamente a partir de x. E assim por
diante. A derivada e´ a noc¸a˜o fundamental do Ca´lculo Infinitesimal. Sua descoberta,
ha´ treˆs se´culos e meio, teve uma grande repercussa˜o e provocou um progresso extraor-
dina´rio na Cieˆncia e em toda a civilizac¸a˜o a partir daquela e´poca.
Exemplo 21 Seja s(t) a posic¸a˜o de uma part´ıcula no instante t que se move ao longo
de uma linha reta; a velocidade me´dia do corpo no intervalo de tempo de t1 a t2 e´
definida por
vm =
∆s
∆t
=
s(t2)− s(t1)
t2 − t1 , (3.30)
isto e´, a velocidade v = v(t) como func¸a˜o do tempo e´ na verdade uma taxa de variac¸a˜o.
Suponhamos que estamos interessados em medir a rapidez com que a velocidade au-
menta ou diminui; para isso tomamos como refereˆncia dois instantes consecutivos t1 e
t2 o quociente
∆v
∆t
=
v(t2)− v(t1)
t2 − t1 , (3.31)
e´ a variac¸a˜o me´dia da velocidade, por unidade de tempo. Esta quantidade e´ usual-
mente chamada a acelerac¸a˜o me´dia e e´ responsa´vel por medir a rapidez da velocidade.
Para ∆ > 0 a acelerac¸a˜o e´ positiva, caso contra´rio para ∆ < 0 a velocidade decresce e
a acelerac¸a˜o e´ negativa.
Em concordaˆncia com as leis da cinema´tica, o movimento de um corpo e´ um processo
cont´ınuo. Um corpo na˜o pode nem acelerar nem desacelerar no tempo zero. Conse-
quentemente, na˜o ha´ dificuldade em chegarmos a` noc¸a˜o de uma velocidade instantaˆnea
no tempo t1 partindo de uma velocidade me´dia; com efeito, tomando o limite em (3.30)
s′(t1) = lim
t2→t1
∆s
∆t
= lim
t2→t1
s(t2)− s(t1)
t2 − t1 , (3.32)
representa a velocidade instantaˆnea no tempo t1, ela e´ definida como o limite da func¸a˜o
posic¸a˜o da part´ıcula.
56
61
unidade 3
Da mesma forma, a acelerac¸a˜o instantaˆnea no tempo t1 e´ definida como segue:
v′(t1) = lim
t2→t1
∆v
∆t
= lim
t2→t1
v(t2)− v(t1)
t2 − t1 , (3.33)
quer dizer, o limite da acelerac¸a˜o me´dia dado por (3.31) representa a acelerac¸a˜o ins-
tantaˆnea.
Modelos matema´ticos que relacionam as varia´veis por meio de suas variac¸o˜es cont´ınuas
sa˜o formulados por equac¸o˜es diferenciais (veja Unidade IV ). Ja´ os modelos discretos
utilizam as equac¸o˜es de diferenc¸as, como veremos a seguir.
3.2 Equac¸o˜es de Diferenc¸as
A teoria de equac¸o˜s de diferenc¸as e´ rica em muitos ramos das cieˆncias naturais pelas
diversas aplicac¸o˜es que ela possui. Essas equac¸o˜es, em geral, descrevem fenoˆmenos ao
longo do tempo. Essa evoluc¸a˜o do tempo e´ medida em intervalos iguais de modo a
ser interpretado como uma varia´vel discreta. Por exemplo, se deseja´ssemos calcular o
nu´mero de indiv´ıduos numa populac¸a˜o de seres vivos em um determinado tempo, cada
unidade de tempo podera´ ser considerado como dias, ou, se se estiver a medir o caudal
de um rio, o tempo pode ser considerado em semanas, ou se pretendemos determinar
o produto nacional bruto de uma regia˜o, o tempo pode ser medido em anos etc.
Definic¸a˜o 20 (Equac¸a˜o de Diferenc¸as) Uma equac¸a˜o que relaciona os termos de
uma sequeˆncia {y0, y1, y2, ..., yn, ...} e´ chamada equac¸a˜o de diferenc¸as ou fo´rmula de re-
correˆncia. Se a sequeˆncia e´ finita dizemos que a equac¸a˜o e´ uma equac¸a˜o de diferenc¸as
finitas. De modo geral, temos a seguinte definic¸a˜o para o caso finito. Seja n ∈ Z (ou
n ∈ N). Uma equac¸a˜o da forma
F (n, yn, yn−1, ..., yn−m) = 0 (3.34)
e´ designada por equac¸a˜o de diferenc¸as finitas (EDF) de ordem m < n. Por ordem
entendemos a diferenc¸a entre o maior e o menor dos ı´ndices de y.
A equac¸a˜o estabelece uma relac¸a˜o entre yn e n, yn−1, ..., yn−m. Para simplificar, admite-
se que a equac¸a˜o anterior se pode escrever na forma normal :
yn = f(n, yn−1, ..., yn−m) (3.35)
57
62
Exemplo 22 Um exemplo de equac¸a˜o de diferenc¸as e´ a seguinte:
(n+ 2)yn+1 − 3yn = n2 + 2
A equac¸a˜o anterior implica que, para cada valor de n entre zero e infinito, o termo de
ordem n + 1 na sequ¨eˆncia, multiplicado por n + 2 e menos 3 vezes o termo de ordem
n, e´ igual a n2 + 2.
Definic¸a˜o 21 (Soluc¸a˜o de uma Equac¸a˜o de Diferenc¸as) Uma func¸a˜o ϕn e´ de-
signada uma soluc¸a˜o da EDF yn = f(n, yn−1, ..., yn−m) se ϕn satisfaz
ϕn = f(n, ϕn−1, ..., ϕn−m).
Uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o de diferenc¸as finitas e´ uma expressa˜o que fornece o valor
de uma varia´vel num esta´gio n em func¸a˜o de n e dos m valores dos esta´gios iniciais,
chamados condic¸o˜es iniciais.
Observac¸a˜o 4 Se uma equac¸a˜o esta´ em forma normal, enta˜o em princ´ıpio e´ fa´cil
achar as soluc¸o˜es. Considere (3.35) para os valores sucessivos n = m,m+ 1,m+ 2, ...
ym = f(m, ym−1, ..., y0)
ym+1 = f(m+ 1, ym, ..., y1)
ym+2 = f(m+ 2, ym−1, ..., y2)
......
Note-se que, se y0, y1, ..., ym−1 sa˜o dados arbitrariamente, enta˜o f(m, ym−1, ..., y0) nos
fornece o valor de ym. Sabendo este valor, f(m + 1, ym, ..., y1) nos fornece o valor de
ym+1 e, sabendo este, f(m + 2, ym−1, ..., y2) nos fornece o valor de ym+2, e assim por
diante. Este processo, chamado de iterac¸a˜o, constro´i uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o a partir
dos m condic¸o˜es iniciais y0, y1, ..., ym−1 que a seguir definimos e aos quais podem ser
atribu´ıdos valores arbitra´rios.
Definic¸a˜o 22 (Problema de Valor Inicial) Um problema de valor inicial (PVI) e´
definido pela seguinte expressa˜o:
(PV I)
{
yn = f(n, yn−1, ..., yn−m)
y0, y1, ... ym−1 sa˜o conhecidos.
58
63
unidade 3
Exemplo 23 Tomando a condic¸a˜o inicial y0 = 0, uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de primeira
ordem do Exemplo 22 e´ dada pela func¸a˜o ϕn = yn = n.
Com efeito, completamos a sequeˆncia a partir da equac¸a˜o de diferenc¸as
2y1 − 3y0 = 2⇒ y1 = 1
3y2 − 3y1 = 3⇒ y2 = 2
4y3 − 3y2 = 6⇒ y3 = 3
Deduzimos que a soluc¸a˜o obtida a partir da condic¸a˜o inicial y0 = 0 e´ yn = n, e a
obtenc¸a˜o da soluc¸a˜o atrave´s deste processo e´ chamado de me´todo iterativo.
Exemplo 24 A func¸a˜o yn =
n(n− 1)
2
e´ soluc¸a˜o do PVI:
{
yn = yn−1 + n− 1
y1 = 0
Com efeito, e´ simples verificar que
n(n− 1)
2
=
(n− 1)(n− 2)
2
+ n− 1;
portanto, yn