Exercicio de fixação Aula 2.1

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Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é 
opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de 
questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se 
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
O cálculo de A x B , sendo A = [1 2 3] e B = [-3 0 -2]t , é obtido por: 
 
 
 
 
(1-2)(2+0)(3-3) = 0 
 [(1-3) (2-0) (3-2)] = [-2 2 1]
t 
 (1-3)(2+0)(3-2) = -4 
 [1x (-3) 2x0 3x(-2)] = [-3 0 -6] 
 
 
[1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)] = [ -9] = -9 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine A-1. 
A=[21-102152-3] 
 
 
 
 
 
[-8-1351210-1-4] 
 [8-2-0-512102-4] 
 [10-1-3-51310-1-4] 
 [0-1-3-51210-1-4] 
 
 
[8-1-3-51210-1-4] 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
3.
 
 
 
Dada a matriz X abaixo, determine a matriz Z = X.Xt. 
X = [123] 
 
 
 
 
 
[3 2 1] 
 [1] 
 [0] 
 
 
[14] 
 [1 0 4] 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Se A é uma matriz nxn, então, por definição, o traço de A, denotado 
por Tr (A) é a soma de todos os elementos da diagonal principal, isto é, 
 Tr (A) = a11 + a22 + ... + ann 
Assim sendo, marque a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
Tr (A t ) ≠ Tr (A t ) 
 
 
Tr (A) ≠ Tr (A -1) 
 Tr (A + B) ≠ Tr (A) + Tr (B) ; B é uma matriz nxn 
 Tr (cA) ≠ c Tr (A) ; c ∈ℝ 
 Tr (A) ≠ Tr (A.I) ; I é a matriz Identidade nxn 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja A a matriz A=[2-12yx0z-1432]. 
Considere que A é uma matriz simétrica. 
 
 Determine uma matriz X sabendo que X+2At = 3I, onde At é a transposta da 
matriz A e I é a matriz identidade de ordem 3. 
 
 
 
 [-3-2-82-1-6-8-6-3] 
 
 
[12-823-6-8-6-3] 
 [34-123-6-2-33] 
 [-1-2-823-6-8-6-4] 
 
 
[-12-823-6-8-6-4] 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a matriz inversa da matriz A se existir. 3 6 A= 1 2 
 
 
 2 1 6 3 
 2 6 3 2 
 3 2 1 6 
 
 
não existe a matriz inversa. 
 1 2 3 6 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
 
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t 
= -A. Indique qual matriz abaixo é anti-simétrica: 
 
 
 
 [0ab-a0c-bc0] 
 [0aba0c-b-c0] 
 
 
[0ab-a0c-b-c0] 
 
[0ab-a0-c-b-c0] 
 [0ab-a0cb-c0] 
 
Gabarito Comentado
 
 
 
 
8. 
 
 
Chamamos matriz simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que At=A. 
Assim sendo , indique qual matriz é simetrica: 
 
 
 
 [[a,b,-c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 [[a,b,c,d],[b,-e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 
 
[[a,b,c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 [[a,b,c,d],[b,e,-f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] 
 [[a,b,c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[-d,g,i,j]] 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
1. 
 
 
As matrizes A=[1m13] e B=[p-2-11] são inversas. Calcule os valores de m e 
p. 
 
 
 
 
 
m=1 e p=2 
 m=3 e p=2 
 m=3 e p=1 
 m=2 e p=1 
 
 
m=2 e p=3 
 
2. 
 
 
Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, 
sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que: 
 
 
 
 B + A = 0, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem 
 
A = B/2 
 B é a transposta de A 
 
 
B é a inversa de A 
 
 
A = B 
 
3. 
 
 
Resolva a equação abaixo, sabendo que o elemento A é a matriz dada. 
X = A2 + 2(A.A) + A.A-1 
 1 0 -1 
A = -1 1 0 
 0 -2 1 
 
 
 
 
 
 1 2 -3 
X = -1 4 3 
 0 -12 14 
 
 
 
 4 7 2 
X = -6 1 9 
 0 -1 2 
 
 
 
 4 6 -6 
X = -6 4 3 
 2 -12 4 
 
 
 5 7 -2 
X = -1 4 3 
 0 -12 14 
 
 
 5 6 -8 
X = -3 3 3 
 -1 -12 10 
 
 
4. 
 
 
Se a matriz A abaixo possui inversa, então: 
 
 
 
 
 x = 4 
 
x = 2 
 
 
x = -2 ou x = 2 
 x = -1 ou x = -2 
 x = 0 
 
5. 
 
 
Considere a matriz A = [2111]. Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que 
AX = I2. 
 
 
 
 [3-1-12] 
 
 
[1-1-12] 
 [-1-1-1-2] 
 [1-1-52] 
 [1-1-14] 
 
6. 
 
 
Complete a afirmativa, abaixo, com a alternativa correta: 
 Uma matriz A , n x n, é invertível se, e somente se, ... 
 
 
 
 A é singular 
 
 
det(A) ≠ 0 
 det(A) = 1 
 A possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da outra 
 A é uma matriz diagonal 
 
7. 
 
 
Encontre o determinante e o traço da matriz A onde: 
A = [27-380-3 7500 670009] 
 
 
 
 
 
-324 e 14 
 
 
324 e -14 
 
- 324 e 20 
 324 e 20 
 -324 e -14 
 
8. 
 
 
Considerando que B é a matriz inversa de A, analise as afirmativas abaixo. 
I. O determinantes da matriz AxB será nulo; 
II. Os determinantes de A e B são diferentes de zero; 
III. A + B será uma matriz identidade; 
Encontramos afirmativas verdadeiras somente em: 
 
 
 
 II e III 
 I 
 
 
II 
 I e II 
 III 
 
1. 
 
 
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que 
Ap = 0 diz-se que A é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo 
tal que Ap = 0, diz-se que A é uma matriz nihilpotente de ¿índice¿ p. 
Determine o índice da matriz 3 x3 nihilpotente A=[113526-2-1-3] 
 
 
 
 3 
 
 
4 
 5 
 1 
 2 
 
2. 
 
 
Considere as afirmações 
I - Se AB = I, então A é inversível 
 
II - Se A é inversível e k é um número real diferente de zero, então 
(kA)-1= kA-1 
III - Se A é uma matriz 3x3 e a equação AX = [100] tem solução única, 
então A é inversìvel 
 
 
 I, II e III são verdadeiras 
 I e III são verdadeiras, II é falsa 
 
 
 I é verdadeira, II e III são falsas 
 I e II são falsas, III é verdadeira 
 I, II e III são falsas 
 
3. 
 
 
Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica 
M=[53x+yx-y4z-3-12x] 
 
 
 
 1,2,-5 
 
 
-1,2,5 
 1,2,5 
 1,-2,5 
 -1,2,-5 
 
4. 
 
 
Sejam as matrizes A e B dadas abaixo obtenha a matriz D = A-1B 
A=[1382411125] B=[-351534] 
 
 
 
 d) D = [109-5-110-3] 
 c) D = [10191053] 
 
 
b) D = [10-1-5 910-3] 
 a) D = [101910-5-3] 
 e) D = [10-1910-5-3] 
 
 
5.
 
 
 
Dada a matriz A =[2111] 
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2 
 
 
 
 [11-1-2] 
 [1112] 
 
 
[-1-1-1-2] 
 [1-1-12] 
 [-11-1-2] 
 
6. 
 
 
Sabe-se que A e B são matrizes quadradas (mxm), tais que AxB=I, sendo I a 
matriz identidade de mesma ordem. Com base nessa informação, analise as 
afirmativas abaixo: 
I. B é a matriz transposta de A; 
II. A é uma matriz simétrica; 
III. Se o determinantes de A é diferente de zero, B é a inversa de A; 
Encontramos afirmativas CORRETAS somente em: 
 
 
 
 II 
 I, II e III 
 II e III 
 I 
 III 
 
 
7. 
 
 
Uma matriz A, de ordem (3x3), é tal que a sua terceira linha é gerada pela soma 
das duas primeiras linhas. Assim, é CORRETO afirmar que: 
 
 
 
 A é uma matriz simétrica. 
 A não possui transposta. 
 A é uma matriz anti-simétrica. 
 O det(A) = 1. 
 A não possui inversa. 
 
8.
 
 
 
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que 
 
 
 gera uma matriz triangular superiorgera uma matriz nula 
 gera a transposta de A 
 gera uma matriz identidade de mesma ordem de A 
 gera a própria matriz A 
 
1. 
 
 
Considere a matriz 3x3 A=[1a3526-2-1-3]. Determine o valor de a para que 
a matriz A não admita inversa. 
 
 
 
 2 
 
 
1 
 5 
 3 
 4 
 
2. 
 
 
Seja A= [11232-1-104] uma matriz 3x3 não singular. Sabendo que 
A-1 =[8-4-5-a672-1b] é a inversa da matriz A, 
determine os valores de a e b 
 
 
 
 a=-11 e b=2 
 a =11 e b=2 
 a= -11 e b = -2 
 a = -11 e b = -1 
 
 
a = 11 e b =-1 
 
 
3. 
 
 
Seja A =[11232-1-104] uma matriz não singular. 
Sabendo que A-1 = [8-4-5-a672-1b] 
 determine os valores de a e b 
 
 
 a=10 e b=2 
 
 
a=11 e b=-1 
 a=13 e b=1 
 a=9 e b=3 
 a=-11 e b=1 
 
4. 
 
 
Determine a inversa da matriz A =[121112101] 
 
 
 
 A =[121321201212-112] 
 A =[1-12213121] 
 A =[-1-2-1-1-1-2-10-1] 
 
 
 A =[12-132120-12-121-12] 
 A =[1-211012-11] 
 
5. 
 
 
Determine a matriz inversa da matriz C abaixo. 
 
 -1 -1 0 
C = 0 -1 -1 
 1 -1 -3 
 
 
 
 
 
 2 3 -1 
C = -1 3 1 
 -2 2 -1 
 
 
 
 -2 3 -1 
C = 1 -3 1 
 -1 2 -1 
 
 
 
 1 2 -3 
C = -1 4 0 
 0 -2 1 
 
 
 -2 -3 -1 
C = -1 1 -1 
 0 -1 2 
 
 
 0 2 -1 
C = -1 4 3 
 0 -2 1 
 
 
6.
 
 
 
Indique qual opção determina a inversa da matriz A=[101121020]: 
 
 
 A-1=[-100-12-120-1-11] 
 
 
não existe inversa para matriz A. 
 A-1=[100-121201-11] 
 A-1=[100-12-12011-1] 
 A-1=[100-12-1201-11]