Aplicações de cônicas e quádricas

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FACULDADE PARAÍSO DO CEARÁ - FAP
ENGENHARIA CIVIL, 3ª SEMESTRE - MANHÃ
PEDRO VICTOR BATISTA DE ALMEIDA
APLICAÇÕES DE CÔNICAS E QUÁDRICAS
Setembro 2017
PEDRO VICTOR BATISTA DE ALMEIDA
APLICAÇÕES DE CÔNICAS E QUÁDRICAS
Atividade domiciliar da disciplina de Geometria analítica e álgebra linear do curso de Engenharia Civil – Manhã, da Faculdade Paraíso do Ceará - FAP, sob a supervisão do Prof.: Mauro Macedo de Oliveira
Setembro 2017
INTRODUÇÃO
É possível encontrar diversos objetos a nossa volta que possuem formas de cônicas como a parábola, elipse, hipérbole e circunferência. O mesmo vale para as superfícies quádricas: esferas, cilindros, parabolóides, elipsóides e hiperbolóides, que podemos encontrar em nosso meio.
As cônicas na Engenharia e Arquitetura são utilizadas devido às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas, no caso das pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos. Pode-se tomar como exemplo um cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso total é uniformemente distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma de uma parábola. 
O objetivo desse trabalho é apresentar as definições e estudar a relação entre as cônicas e quádricas com os objetos e situações do nosso cotidiano.
SUPERFÍCIES CÔNICAS
Uma seção cônica é uma curva cuja equação cartesiana é do segundo grau, e inversamente, toda curva cuja equação é do segundo grau pode ser obtida a partir da intersecção de um cone circular reto com um plano (PALIGA, 2012). Dependendo do “corte”, podemos ter:
Figura 1. Superfícies cônicas.
Fonte: <http://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/C%C3%B4nicas-e-
Qu%C3%A1dricas.pdf>
Parábola
A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola. A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo as retas paralelas ao eixo da parábola (VENTURI, 1949).
Consideramos um ponto F e uma reta d que não contém F. Denominamos parábola de foco F e diretriz d ao lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de d e F (PALIGA, 2012).
Figura 2. Representação de uma parábola
Fonte: <http://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/C%C3%B4nicas-e-Qu%C3%A1dricas.pdf> 
Circunferência
Matematicamente definimos a circunferência como o conjunto de todos os pontos P (x,y) do plano que estão a uma certa distância (chamada raio) de um ponto fixo (chamado centro) (SOMMERFELD, 2013).
Figura 3. Circunferência
Fonte: <www.somatematica.com.br>
Fixados o raio r ˃ 0 e o centro (a,b), podemos obter através da fórmula da distância entre dois pontos do plano, a equação que caracteriza qualquer ponto P(x,y) da curva chamada circunferência: ou , (1)
Desenvolvendo os quadrados dos termos à esquerda e lembrando que r, a e b são constantes, podemos escrever a equação da circunferência na forma: 
, (2)
sendo A, B e C constantes.
Em termos de aplicação no cotidiano, poderíamos pensar na circunferência quando observamos um anel ou uma pulseira.
Elipse
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano é uma constante (2a), onde 2a > d(F1,F2) (PALIGA, 2012).
Figura 4. Representação de uma parábola
Fonte: <http://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/C%C3%B4nicas-e-Qu%C3%A1dricas.pdf>
A aplicação da Elipse é frequente em diversas áreas, tomamos como exemplo obras da Engenharia como esse anfiteatro na cidade de Pompeia, Roma (figura 5)
Figura 5. Anfiteatro em Pompeia
Fonte: <http://1.bp.blogspot.com/_nNQqZP8yUjU/TQe57iafjzI/AAAAAAAAADc/VIlAfek54DQ/s1600/anfiteatros+pompeya.jpg>
Hipérbole
É o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que o valor de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos), do mesmo plano, é uma constante (2a), onde 2a<d (F1 ,F2). A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a diferença entre a maior e a menor distância (PALIGA, 2012).
Figura 6. Representação de uma hipérbole
Fonte: <http://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/C%C3%B4nicas-e-Qu%C3%A1dricas.pdf>
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas três variáveis x, y e z, sendo que a equação mais geral é: 
, (3)
onde A, B, C,..., J são constantes e pelo menos um dos coeficientes dos termos de segunda ordem A, B, C, D, E ou F é diferente de zero. Quando seccionamos uma superfície quádrica por planos paralelos aos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica. Existem superfícies quádricas não-degeneradas de diferentes tipos: parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, elipsoide, cone, e ainda o cilindro, mas, além dessas superfícies quádricas, a equação (1) acima também pode representar: o conjunto vazio, um ponto, uma reta, um plano, um par de planos paralelos ou um par de planos concorrentes (SOMMERFELD, 2013). 
Esferas
A esfera (ou superfície esférica) é o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço que estão a uma certa distância (chamada raio) de um ponto fixo (chamado centro) (SOMMERFELD, 2013). 
Figura 7. Representação de uma superfície esférica
Fonte: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br> 
Elipsóide
As superfícies quádricas elipsóides têm propriedades refletoras usadas por exemplo para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros e igrejas (SOMMERFELD, 2013). Temos como equação do elipsoide:
, a, b, c > 0 (4)
Figura 8. Representação de um esferoide
Fonte: <http://www.mat.ufmg.br/~syok/cursos/mat039/quadricas/quadricas.htm> 
Hiperbolóide
Matematicamente, um hiperbolóide é uma superfície quádrica de três dimensões, de uma folha, com o eixo de simetria sobre o eixo z (SOMMERFELD, 2013).
, (5)
Figura 9. Representação de um hiperboloide
Fonte: <http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/12/superficies-quadricas-o-hiperboloidede.html>
Como aplicação de hiperbolóide, temos a Catedral de Brasília, arquitetada por Oscar Niemeyer, construída em uma área circular de 70 metros de diâmetro, de onde se elevaram 16 colunas de concreto (que pesam 90 toneladas), cada uma com secção parabólica, formando a catedral em formato hiperbolóide.
Figura 10. Catedral de Brasília
Fonte: <http://doc.brazilia.jor.br/Centro/Catedral/2003-06-04-Catedral-Brasilia-entradas-vista-alto.jpg>
Parabolóide
No parabolóide, as parábolas aparecem de forma natural e são as cônicas que mais aparecem como seções planas (paralelas aos planos coordenados). Um parabolóide é denominado elíptico quando suas seções são parábolas ou elipses e é denominado hiperbólico quando suas seções são parábolas e hipérboles (SOMMERFELD, 2013).
Figura 11. Prabolóide Elíptico
Fonte: <www.professores.uff.br/kowada/ga/ead/ga2V1aula17pdf>
Figura 12. Parabolóide Hiperbólico
Fonte: <http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/qs/quadric-surfaces_br.html>
APLICAÇÃO SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
Esferas: Como exemplos de aplicações da esfera podemos citar ainda as lentes esféricas, que são objetos importantes na construção de óculos e as bolas de jogos de sinuca;
Elipsóide: em Resistência dos Materiais é muito emprega a elipse da inércia; Conjuntos de elipses homofocais são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias; na Engenharia mecânicas são utilizadas engrenagens elípticas (VENTURI, 1949); 
Hiperbolóide e Parabolóide: Podemos observar aplicações da hipérbole e parábola em diversas áreas profissionais como na óptica, na mecânica celeste, na mecânica dos fluidos, na engenharia e na arquitetura. Na óptica observamos o chamado telescópio de reflexão que é constituído por dois espelhos, um maior (chamado primário), que é parabólico, e outro menor, queé hiperbólico (SOMMERFELD, 2013).
CONCLUSÃO
O objetivo desse trabalho foi abordar os conceitos de cônicas e quádricas e entender suas aplicações práticas, ou seja, entender um pouco mais sobre a construção desses elementos matemáticos e, ao mesmo tempo, observar de quais formas eles aparecem em nossa vida cotidiana.
REFERÊNCIAS
PALIGA, A. Cônicas e quádricas. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 2012. Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/C%C3%B4nicas-e-Qu%C3%A1dricas.pdf>. Acesso em: 16 set 2017.
SOMMERFELD, G. F. F. Cônicas, quádricas e suas aplicações. Monografia (Pós-graduação em Matemática para Professores com ênfase em cálculo) – Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte, MG, 2013. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/handle/1843/EABA-98VH9U/monografia_guilhermefreire.pdf?sequence=1>. Acesso em: 17 set 2017.
VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. Jacir J. Venturi, 1949 – 5ª ed. – Curitiba. 243 p. Disponível em: <http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/cq.pdf>. Acesso em: 17 set 2017.