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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 27/10/2016
1a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Considere a integral dupla
∫
4
0
∫
2
√
x
cos(y3) dy dx.
(a) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o D no plano xy. (0,5 pt)
(b) Essa integral na˜o pode ser calculada exatamente, em termos de func¸o˜es elementares,
com a ordem de integrac¸a˜o que foi dada. Inverta a ordem de integrac¸a˜o de forma
apropriada e calcule essa integral. (1,5 pt)
2a Questa˜o: Use mudanc¸a para coordenadas polares para calcular a integral dupla
∫ ∫
D
(x2 + y2) dx dy,
onde D e´ a regia˜o, localizada no 1o quadrante do plano xy, limitada simultaneamente
pela circunfereˆncia x2 + y2 = 1, pela circunfereˆncia x2 + y2 = 4, pela reta y =
√
3
3
x e
pela reta y = x. Esboce a regia˜o D no plano xy. (2,5 pt)
3a Questa˜o: Calcule a integral tripla
∫ ∫
E
∫ √
x2 + y2 + z2 dx dy dz,
onde E ⊂ R3 e´ o so´lido delimitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 9 no 1o octante. Esboce
o so´lido E. (2,5 pt)
4a Questa˜o: Use integral tripla para calcular o volume do tetraedro E ⊂ R3, locali-
zado no 1o octante, limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 6x+3y +2z = 6. Esboce
o so´lido E. (3,0 pt)
Boa Prova!