Calc3 Aula12

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Cálculo	
  3	
  	
  
Aula	
  12	
  
Grá+icos	
  em	
  coordenadas	
  polares	
  
Exemplo 1: r = c, onde c é uma constante positiva. 
 Esta equação representa os pontos do plano cuja distância 
até o polo é c, ou seja, seu gráfico é uma circunferência de 
raio c. OBS: Para c negativo, teríamos o mesmo gráfico. 
Por quê? 
Circunferências	
  especiais	
  
Se deslocarmos uma circunferência de raio a, (a>0) e centro 
(0, 0), a unidades no sentido positivo no eixo x, ou seja, 
deslocarmos seu centro para (a, 0), sua equação cartesiana 
passa de 
	
  x2 + y2 = a2
para
(x − a)2 + y2 = a2 ,
que equivale, em coordenadas polares a:
x2 − 2xa+ a2 + y2 = a2
r2 − 2arcos(θ ) = 0
r = 2acos(θ )
r = 2acos(θ )
Circunferências	
  especiais	
  
Mostramos analogamente que a circunferência de raio b, 
 b > 0, e centro em (0, b) tem equação . 
 
 
 
 
 
 
 
Como você acha que são os gráficos de equações 
r = 2bsen(θ )
r = −2bsen(θ ) e r = −2acos(θ )?
r = 2bsen(θ )
Mais	
  exemplos	
  
Exemplo 2: c é uma constante positiva. 
Considerando r qualquer número real, temos como gráfico 
uma reta, passando pelo polo, formando um ângulo c com o 
eixo horizontal. 	
  
θ = c
Rosáceas	
  
Equações da forma r = asen(nθ) ou r = acos(nθ) para n inteiro 
positivo maior que 1 representam rosáceas, com: 
 2n	
  pétalas	
  ,	
  se	
  n	
  é	
  par	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  n	
  pétalas	
  se	
  n	
  é	
  ímpar 
 
Ex: r	
  =	
  cos	
  2θ	
  
 
 
 
 
	
  
Rosáceas	
  de	
  4	
  pétalas	
  
Áreas	
  de	
  rosáceas	
  (n	
  par)	
  
Ex1: Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea 
Resolução: Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. 
Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de uma delas 
(D) e multiplicar por 4. 
 
	
   	
  	
  
	
  
r = 3sen 2θ( ).
A = 4 1dA
D
∫∫ = 4 1r dr dθ
0
3sen(2θ )
∫
0
π
2
∫
A = 4. r
2
2
0
3sen(2θ )
0
π
2
∫ dθ = 2 9sen2(2θ )
0
π
2
∫ dθ =18 =18
1− cos 4θ( )
20
π
2
∫ dθ =
9 θ −
sen 4θ( )
4
!
"
#
#
$
%
&
&
0
π
2
= 9 π
2
−
sen(2π )
4
!
"
#
$
%
&− 0−
sen(0)
4
!
"
#
$
%
&
(
)
*
+
,
-=
9π
2
u.a.
Rosáceas	
  de	
  3	
  pétalas	
  
r = acos 3θ( ) r = asen 3θ( )
a -­‐a 
-­‐a 
Áreas	
  de	
  rosáceas	
  (n	
  ímpar)	
  
Ex2: Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea 
Resolução: Trata-se de uma rosácea de 3 pétalas. Apesar disto, o 
plano fica divido em 6 partes e desta forma, cada pétala fica 
contida num intervalo de radianos. Como a equação 
envolve coseno, uma pétala está no intervalo 
Sendo assim, a área é dada por: 
 
 
r = acos 3θ( ).
2π
6
=
π
3
−
π
3
2
,
π
3
2
"
#
$
%
&
'= −
π
6
,π
6
"
#
$
%
&
'.
A = 3 1dA
D
∫∫ = 3 1r dr dθ
0
acos(3θ )
∫
−
π
6
π
6
∫ =
a2π
8
u.a.
Detalhes	
  do	
  cálculo	
  anterior:	
  	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Outro caminho seria calcular a área da rosácea 
	
  
A = 3 1dA
D
∫∫ = 3 1r dr dθ
0
acos(3θ )
∫
−
π
6
π
6
∫ =
A = 3. r
2
2
0
acos(3θ )
−
π
6
π
6
∫ dθ = 3
2
a2 cos2(3θ )
−
π
6
π
6
∫ dθ = 3a
2
2
1+ cos 6θ( )
2
−
π
6
π
6
∫ dθ =
3a2
4
θ +
sen 6θ( )
6
#
$
%
%
&
'
(
(
−
π
6
π
6
=
3a2
4
π
6
+
sen(π )
6
#
$
%
&
'
(− −
π
6
+
sen(−π )
6
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.=
a2π
4
u.a.
r = asen 3θ( ),
A = 3 1dA
D
∫∫ = 3 1r dr dθ
0
asen(3θ )
∫
0
π
3
∫ =
a2π
4
u.a.
Cardióides	
  
Equações da forma são 
chamadas cardiódes por terem formato de coração. 
 
Ex 1. 
r = a(1± sen(θ )) ou r = a(1± cos(θ )), 
r =1+ cos(θ ). 
θ por −θ
(Observe que ao 
trocarmos , 
r não se altera, 
caracterizando 
simetria com relação 
ao eixo x). 
	
  	
  
2π
3
5π
6
Cardióides	
  
Ex 2. Calcule a área da cardióide r =1+ cos(θ ). 
A = 1dA
D
∫∫ = 1r dr dθ
0
1+cos(θ )
∫
0
2π
∫ =
r2
2
0
1+cos(θ )
0
2π
∫ dθ =
=
1
2
1+ 2cos(θ )+ cos2(θ )"#
$
%
0
2π
∫ dθ = 1
2
1+ 2cos(θ )+
1+ cos 2θ( )
2
"
#
&
&
$
%
'
'0
2π
∫ dθ =
=
1
2
θ + 2sen θ( )+ 12 θ +
sen 2θ( )
2
(
)
*
*
+
,
-
-
(
)
*
*
+
,
-
-
0
2π
=
1
2
2π +0+ 1
2
2π +0( )
(
)
*
+
,
-−0
"
#
&
$
%
'=
=
3π
2
u.a. Obs: Poderíamos ter calculado 2 r dr dθ
0
1+cos(θ )
∫
0
π
∫ .
Área	
  entre	
  curvas	
  -­‐	
  exemplo	
  
Calcule a área da região parecida com o desenho de uma lua, 
limitada pela circunferência r = 3cos(θ ) e pela cardióide 
r =1+ cos(θ ).
Para encontrarmos os limites de integração igualamos
r = 3cos(θ ) e r =1+ cos(θ ), encontrando θ = ±π
3
.
Assim,
A = 2 r dr dθ =
1+cos(θ )
3cos(θ )
∫
0
π
3
∫ 9cos2 (θ )−1− 2cos(θ )− cos2 (θ )( )
0
π
3
∫ dθ =
8cos2 (θ )−1− 2cos(θ )( )
0
π
3
∫ dθ = 81+ cos(2θ )
2
−1− 2cos(θ )
#
$
%
&
'
(
0
π
3
∫ dθ =
4 θ + sen(2θ )
2
#
$
%
&
'
(−θ − 2sen(θ )
)
*
+
,
-
.
0
π
3
= 4 π
3
+
sen 2π
3
#
$
%
&
'
(
2
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
−
π
3
− 2sen π
3
#
$
%
&
'
(
)
*
+
+
+
+
,
-
.
.
.
.
−0 = π
Exercícios	
  
1. Calcule a área da rosácea r = 5sen(4θ ).
Resp: 25
2
π
!
"
#
$
%
& u.a.
2. Calcule a área da rosácea r = 3cos(5θ ).
Resp: 9
4
π
!
"
#
$
%
& u.a.
EXERCÍCIO EXTRA
Calcule as áreas das regiões rosa e vermelha na figura abaixo, 
limitadas pela circunferência r = 3cos(θ ) e pela cardióide 
r =1+ cos(θ ).
3. Ache a área A da região interior 
à cardióide r = 2+ 2cos(θ ) 
e exterior à circunferência r = 3.
Resp: 9
2
3 −π
"
#
$
%
&
' u.a.
Resp: área rosa = 5π
4
 u.a.
 área vermelha = π
4
u.a.