Terceira prova segunda chamada

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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A07 - A´lgebra Linear A Professora: Simone Moraes
Nome: Turma: 08
3a PROVA (Segunda Chamada) - 10/04/2017
ATENC¸A˜O:
- Desligue o seu celular!
- Durac¸a˜o da prova: 2h
- Leia atentamente os enunciados. Capriche na redac¸a˜o.
- Justifique suas afirmac¸o˜es!
- BOA PROVA!
Questa˜o Nota
1a
2a
3a
Total
1.a Questa˜o. (3 pontos) Seja AT =

−1 6 15
0 1 3
2 0 6
1 −1 0
 a matriz da transformac¸a˜o linear
T : IR3 →M2(IR) em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas. Determine:
(a) A expressa˜o T (x, y, z) da transformac¸a˜o linear.
(b) O nu´cleo de T .
(c) T e´ injetora? T e´ sobrejetora? Justifique!
2.a Questa˜o. (3 pontos) Seja T : IR3 −→ P2(IR) a transformac¸a˜o linear dada por
T
(
x, y, z
)
= (x+ y − 2z) + (y − 2z)t + t2.
(a) Determine a matriz de T em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas de IR3 e de P2(IR).
(b) Mostre que T e´ isomorfismo.
(c) Obtenha T−1 : P2(IR) −→ IR3 a transformac¸a˜o linear inversa de T .
1
3.a Questa˜o. (4 pontos) Seja T : P3(IR) −→ P3(IR) o operador linear cuja matriz em relac¸a˜o a`
base canoˆnica de P3(IR) e´ a seguinte:
[T ] =

7 4 2 −1
0 −1 −4 2
0 0 4 3
0 0 0 7
 .
(a) Encontre o polinoˆmio caracter´ıstico do operador T .
(b) Determine todos os autovalores de T .
(c) Encontre o auto-espac¸o associado ao maior dos autovalores de T e a dimensa˜o deste auto-
espac¸o.
(d) T e´ diagonaliza´vel? Em caso afirmativo apresente uma matriz de T em relac¸a˜o a uma base de
P3(IR) tal que esta matriz e´ diagonal.
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