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Lista 04: GEPDG - Graduac¸a˜o em Matema´tica
Marcus Bronzi - FAMAT
Congrueˆncia de Triaˆngulos, Axioma das Paralelas e Consequeˆncias
1. A soma dos comprimentos dos lados de um triaˆngulo e´ seu per´ımetro, e a metade do
per´ımetro e´ o semiper´ımetro. Mostre que o comprimento de qualquer lado de um triaˆngulo
e´ menor do que seu semiper´ımetro.
2. Mostre que o caso de congrueˆncia LAA e´ verdadeiro se, e somente se, o triaˆngulo e´ retaˆngulo.
3. Mostre que o lugar geome´trico dos pontos equidistantes de dois pontos A,B e´ a mediatriz do
segmento AB (a expressa˜o “lugar geome´trico dos pontos” significa “conjunto dos pontos”).
4. Mostre que o lugar geome´trico dos pontos equidistantes das semirretas
−→
OA e
−−→
OB e´ a bissetriz
do aˆngulo AOˆB.
5. Prove que um triaˆngulo que possui duas alturas congruentes e´ iso´sceles.
6. Mostre que, num triaˆngulo retaˆngulo cujos aˆngulos agudos medem 30o e 60o, o menor cateto
mede metade do comprimento da hipotenusa, e reciprocamente.
7. Prove que todo triaˆngulo retaˆngulo tem dois aˆngulos externos obtusos.
8. Seja r uma reta e P um ponto fora dela. Considere o semiplano definido pela reta r e que
na˜o conte´m P ; nesse semiplano construa uma semirreta com origem A e que defina com r
um aˆngulo congruente a PAˆr. Sobre essa semirreta tome um ponto P ′ tal que AP = AP ′.
Mostre que o segmento PP ′ e´ perpendicular a` r.
9. No exerc´ıcio anterior, o ponto P ′, obtido a partir do ponto P e da reta r, e´ chamado de
reflexo do ponto P relativamente a` reta r (ou imagem de P relativamente a` reta r). Mostre
que P ′ e´ o reflexo de P relativamente a` reta r se, e somente se, PP ′ e´ perpendicular a` r e r
intercepta PP ′ no seu ponto me´dio.
10. Seja r uma reta fixada no plano; designemos por ϕ a func¸a˜o que a cada ponto do plano
associa o seu reflexo relativamente a` reta r (ver exerc´ıcio anterior). Se P ∈ r, por definic¸a˜o,
P ′ = P . Esta func¸a˜o e´ chamada reflexa˜o. Prove que a func¸a˜o reflexa˜o goza das seguintes
propriedades:
(a) para todo ponto P do plano, ϕ(ϕ(P )) = P ;
(b) ϕ e´ uma isometria, isto e´, ela preserva distaˆncia entre pontos do plano. Assim, para
quaisquer pontos P e Q do plano, tem-se:
m
(
ϕ(P )ϕ(Q)
)
= m(PQ);
(c) se P ∈ r e Q /∈ r e Q′ = ϕ(Q) enta˜o r e´ a bissetriz do aˆngulo QPˆQ′.
11. Dados dois pontos, A e B, na˜o pertencentes a uma reta r, mostre que existe um ponto X
sobre r tal que AX +XB e´ mı´nimo. Considere os dois casos: a) A e B esta˜o em semiplanos
distintos relativamente a r; b) A e B esta˜o em um mesmo semiplano relativamente a r.
12. Na figura seguinte, r e s sa˜o retas perpendiculares e P,Q sa˜o pontos dados. Determine o
caminho mais curto para se ir do ponto P ao ponto Q tocando-se uma u´nica vez em cada
reta.
13. Na figura seguinte, se ABC e´ equila´tero e AD = BE = CF , mostre que o triaˆngulo EDF
e´ equila´tero.
14. Na figura abaixo, o aˆngulo CMˆA e´ reto e M e´ ponto me´dio de AB. Prove que AC ≡ BC.
15. Prove que em qualquer triaˆngulo, a soma dos comprimentos das medianas esta´ compreendida
entre o per´ımetro e o semiper´ımetro.
16. Se ABC e´ um triaˆngulo e P um ponto de seu interior, mostre que vale a relac¸a˜o:
PA + PB < CA + CB.
17. Se ABC e´ um triaˆngulo e P um ponto de seu interior, mostre que a soma das distaˆncias
de P aos treˆs ve´rtices esta´ compreendida entre o per´ımetro e o semiper´ımetro do referido
triaˆngulo.
18. Mostre que, dados uma reta e um ponto na˜o pertencente a ela, dentre todos os segmentos
com uma extremidade neste ponto e outra num ponto da reta, o de menor comprimento e´
aquele que e´ perpendicular a` reta dada.
19. Prove que duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam aˆngulos alter-
nos externos congruentes.
20. Prove que duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam aˆngulos cola-
terais internos (colaterais externos) suplementares.
21. Prove que o segmento da reta paralela a` base do ∆ABC pelo ponto me´dio M do lado AB,
passa pelo ponto me´dio do outro lado AC e mede a metade do comprimento da base BC.
22. Prove que a bissetriz de um aˆngulo externo, relativo ao ve´rtice oposto a` base de um triaˆngulo
iso´sceles, e´ paralela a` base desse triaˆngulo.
23. Sejam ABC um triaˆngulo iso´sceles e P um ponto qualquer da base BC. Sejam PM e PN
os segmentos perpendiculares a`s laterais desse triaˆngulo. Mostre que PM + PN e´ um valor
constante, que e´ a medida da altura relativa a uma das laterais.
24. Provar que se P e´ um ponto interior a um triaˆngulo equila´tero, enta˜o a soma das distaˆncias
de P aos lados do triaˆngulo e´ igual a` altura do mesmo.
25. Prove que se r e´ uma reta cujos pontos sa˜o equidistantes de uma reta s (isto e´, todos os
pontos de r esta˜o a` mesma distaˆncia de s), enta˜o r e s sa˜o retas coincidentes ou paralelas