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Lista 05: GEPDG - Graduac¸a˜o em Matema´tica
Marcus Bronzi - FAMAT
Quadrila´teros e Teorema de Tales
1. Definic¸a˜o. Um pol´ıgono regular e´ um pol´ıgono convexo, equila´tero e equiaˆngulo, isto e´,
todos os lados sa˜o congruentes entre si e todos os aˆngulos internos sa˜o congruentes entre si.
Prove que a soma das medidas dos aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo e´ igual a
[180(n?2)], onde n e´ o nu´mero de lados do pol´ıgono.
2. A soma das medidas dos aˆngulos externos de um pol´ıgono convexo vale 360o.
3. Nos dois exerc´ıcios anteriores poder´ıamos tirar o adjetivo convexo e manter a conclusa˜o das
proposic¸o˜es?
4. Mostre que um pol´ıgono convexo na˜o pode ter mais do que treˆs aˆngulos agudos.
5. Mostre que em um paralelogramo temos sempre:
(a) aˆngulos adjacentes a um lado suplementares;
(b) aˆngulos opostos congruentes;
(c) lados opostos congruentes;
(d) as diagonais se interceptam em um ponto que e´ o ponto me´dio das duas diagonais.
6. Mostre que se um quadrila´tero possui dois lados opostos congruentes e paralelos, enta˜o ele
e´ um paralelogramo.
7. Mostre que as diagonais de um retaˆngulo sa˜o congruentes.
8. Mostre que se as diagonais de um paralelogramo sa˜o congruentes, enta˜o o paralelogramo e´
um retaˆngulo.
9. Mostre que todo losango e´ um paralelogramo.
10. Mostre que, num losango, as diagonais sa˜o perpendiculares entre si e cada uma e´ bissetriz
do aˆngulo correspondente.
11. Um paralelogramo e´ um losango se:
(a) suas diagonais sa˜o perpendiculares entre si;
(b) uma das diagonais bissecta os aˆngulos opostos.
12. Mostre que se as diagonais de um quadrila´tero sa˜o congruentes e se interceptam num ponto
que e´ ponto me´dio de ambas, e ainda sa˜o perpendiculares, enta˜o o quadrila´tero e´ um qua-
drado.
13. Se ABCD e´ um trape´zio iso´sceles e AB e´ uma base, mostre que Aˆ = Bˆ, Cˆ = Dˆ, e recipro-
camente (basta Aˆ = Bˆ ou Cˆ = Dˆ).
14. Mostre que num trape´zio iso´sceles, as diagonais sa˜o congruentes, e reciprocamente.
15. Mostre que num trape´zio iso´sceles, a mediatriz de uma das suas bases e´ mediatriz da outra
base, e reciprocamente.
16. Mostre que o segmento que liga os pontos me´dios das laterais de um trape´zio e´ paralelo a`s
bases e que seu comprimento e´ a me´dia aritme´tica dos comprimentos das bases.
17. Prove que ligando-se os pontos me´dios dos lados de um triaˆngulo qualquer, este ficara´ divi-
dido em quatro triaˆngulos congruentes.
18. Prove que as paralelas aos lados de um triaˆngulo qualquer, trac¸aadas passando pelos ve´rtices
opostos aos respectivos lados, formam um novo triaˆngulo cujos pontos me´dios dos lados sa˜o
os ve´rtices do triaˆngulo inicialmente dado.
19. Mostre que ligando-se os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer obte´m-se um
paralelogramo.
20. Mostre que se num triaˆngulo qualquer ABC prolongarmos a mediana AM , relativa ao lado
BC, ate´ um ponto D tal que MD = AM , obtemos o quadrila´tero ABCD, que e´ um
paralelogramo.
21. Mostre que as bissetrizes de dois aˆngulos opostos de um paralelogramo sa˜o coincidentes ou
paralelas.
22. Mostre que as bissetrizes dos aˆngulos internos de um paralelogramo interceptam-se formando
um retaˆngulo.
23. Mostre que se o paralelogramo do exerc´ıcio anterior e´ um retaˆngulo, o retaˆngulo formado e´
um quadrado.
24. A partir de cada ve´rtice de um quadrado ABCD, cujos lados sa˜o percorridos em um mesmo
sentido, marcam-se pontos U, F, S,M , tais que AU = BF = CS = DM . Mostre que o
quadrila´tero UFSM tambe´m e´ um quadrado.
25. Qual a figura obtida quando ligamos os pontos me´dios dos lados de um retaˆngulo?
26. Pelo ponto de encontro das diagonais de um quadrado, trac¸aam-se dois segmentos perpen-
diculares entre si e limitados pelos lados do quadrado. Mostre que esses segmentos sa˜o
congruentes.
27. Mostre que em um trape´zio iso´sceles, o aˆngulo formado pelas bissetrizes de seus aˆngulos
agudos e´ congruente a um de seus aˆngulos obtusos.
28. Mostre que em qualquer triaˆngulo retaˆngulo, a medida da mediana relativa a` hipotenusa e´
igual a` metade da medida da hipotenusa.
29. Num paralelogramo ABCD trac¸a-se uma paralela a` diagonal AC que corta AB no ponto
E e BC no ponto F . Dos pontos E e F , trac¸am-se as paralelas a BD que cortam AD no
ponto H e CD no ponto G, respectivamente. Mostre que AH · CD = AD · CG.
30. Decreva um procedimento para medir a altura de uma a´rvore sem medi-la.