Prévia do material em texto
TRIGONOMETRIA Exemplos DE QUESTÕES DISCURSIVAS em que muitos alunos tem dificuldade : estudem e comentem no Forum de Discussão 1) Uma rampa de 10m tem inclinação de 30graus em relação ao solo. Qual a altura h que alcança? Solução : desenhe um triângulo retângulo ABC onde: a hipotenusa AB é a rampa; a altura h alcançada é o cateto BC ,oposto ao ângulo  de inclinação 30º a distância no solo é o cateto AC , adjacente ao ângulo 30º. Por definição seno 30º = cateto oposto / hipotenusa e seno 30º = ½ . Então: ½ = h / 10 donde 2h = 10 e h= 10/2 = 5 metros 2) Considere um ângulo A pertencente ao 4º quadrante. Se senA= 4/5, determine os valores das razões trigonométricas cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de A. Solução : Nesses casos, dado apenas o seno ou o cossseno , deve sempre usar a relação fundamental: sen² A + cos² A = 1 16/25 + cos² A =1 cosA = ± 3/5 ( raiz quadrada pode ser + ou ) Mas como A pertence ao 4º quadrante, cos A é positivo = +3/5 cos A=+3/5 tg A= senA / cosA = 4/3 cotg A = 1/tgA = 3/4 sec A= 1/cos A = 5/3 cossec A = 1/senA = 5/4 3 )Uma pessoa está deitada a uma distância x de uma torre de altura h e vê o seu topo sob um ângulo de 60 graus. Deitada 20m mais distante ve a altura h sob angulo 30º. Determinar a altura h do torre. Solução : Deve sempre fazer um desenho resumindo os dados . Tratase de 2 triângulos retângulos. A pessoa está deitada a uma distância x e vê altura h sob 60graus ; tg 60º = h/x então x = h/tg 60º = h / raiz 3 ... (1) Deitada 20 mais distante = 20 + x , ve a altura h sob angulo 30º. Portanto tg 30º = h / (20+x) então 20 + x = h/tg 30º = raiz3.h ...(2) Substituindo x da equação (1) na equação (2) fica : 20 + (h / raiz3)= (raiz3 ) h. Eliminando o denominador raiz3 fica : 20raiz3 + h = 3 h então 2h = 20 raiz 3 daí h = 20raiz3 / 2 = 10 raiz3 = 17m . 4) Determine se os arcos 7π/3 e 19π/3 são côngruos e calcule o cosseno de 19π/3 Solução : Como π radianos = 180º , 7π/3 corresponde a 7 x 180/3 = 7 x60 = 420º Analisando as voltas desse arco temos que 420º = 1x360º + 60º Assim, a sua primeira determinação é 60º. 19π/3 corresponde a 19 x 180 /3 = 19 x60 = 1140º 1140º = 3x 360º + 60º Assim, a sua primeira determinação será 60º Então os arcos são côngruos pois eles tem a mesma primeira determinação 60º . Então o cosseno de 19π/3 = cos 7π/3 = cos 60º = 1/2 . 5) Qual a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos que tem 10m de comprimento , em um relógio, entre as 12 h e 12h e 20min. Solução : Entre 12h e 12:20 , há 20 minutos . Em 1 hora o ponteiro percorre 60 min e a circunferência = 360º = 2pi radianos. Então em 20 minutos o ponteiro percorre um arco de abertura ( ângulo ) : 20/60 = 1/3 da circunferência = 360/3 = 120º = 2pi /3 radianos . ( pi =3,14...) O comprimento ou percurso na linha do arco é : C = radianos x Raio . Então o percurso da ponta do ponteiro de raio 10 é : 2pi/3 x 10 = (2 x 3,14 /3) x 10 = ( 6,28/3) x10 = 20,93 m aproximadamente. Poderia fazer também como sendo ⅓ da circunferência total do relógio : 1/3 x 2pi R = 1/3 x 2 x 3,14 x10 = 1/3 x 62,8 = 20,93m 6) Calcule secx . cotgx , sendo x do segundo quadrante e cos x = V3/ 2 . Solução : secx . cotgx = 1/cosx . cosx/senx = 1/senx cos x = V3 / 2 ( negativo ) = cos 30º e x é do 2º quadrante : Então x = 180 30 = 150º sen x = sen150º = sen 30º = 1/2 Então secx . cotgx = 1/senx = 2 7) Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a função y = 200 cos 2x. Qual o valor de x , de 0 a pi rad , que resulta no valor mínimo de y ? Solução : O valor mínimo de y será quando o cos 2x for mínimo . O valor de cosseno mínimo é 1 , que ocorre para o arco = 180º ou pi rad. Então cos 2x é mínimo se 2x = 180º = pi rad então x = pi/2 rad 8) Calcular a diferença de área entre dois retângulos cujas medidas do maior são cos a e cos b e as medidas de menor são sen a e sen b. Solução : Áreas dos retângulos = produto das dimensões = cosa. cosb e sena.senb . Então a diferença de área é dada por A = cosa.cosb sena.senb que é a expressão de cos(a+b) . Então a diferença de área = cos(a+b). Foi dado que a+b =60º, então essa área é cos 60º =1/2 unidade de área. 9) Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois ângulos notáveis e calcule cos15°. Solução : 15º = 45º 30º . Então cos 15º = cos (45º 30º) Sabemos que cos (a b ) = cosa.cosb + senasenb , Então cos 15º = cos 45º.cos30º sen 45º.sen 30º = = V2/2 . V3/2 V2/2 . 1 /2 = = V6/4 V2/4 = (V6 V2) /4 10) A quantidade P de um determinado vegetal varia com o tempo t expresso em número de meses conforme a função P(t) = 400 50 cos [ (t+2) π/3 ] Sendo t = 1 no final de janeiro ,qual a quantidade disponível no final de junho? Solução: No final de junho t= 6 . Então substituindo t por 6 resulta : cos (t+2)π/3 = cos 8π/3 = cos 8 x 60 = cos 480º 480º = 360º + 120º então cos480º = cos120º = cos(180 60) = cos 60 = 1/ 2 Na função fica então: P(6) = 400 50(1/2) = 400 + 25 = 425