2ª Lista de Equações Diferenciais e Séries 2012

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1 
UNIFACS – Universidade Salvador 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
 
2a Lista de Exercícios 2012.1 
 
1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado. 
 
Funções: Equações Diferenciais: 
a) y = C e
 3x
 y´+3y = 0 
b) y = C cosx y´ + y tgx = 0 
c) 
   xsenCe1xseny 
 
   x2sen
2
1
xcosy
dx
dy

 
d) y = C1 cos3x + C2 sen3x. y´´ + 9y = 0 
e) y = Cx
3
 xy´= y 
f) y = e
x
 + C1x + C2 y´´ = e
x
 
 
 
2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis: 
a) y´+ y = 1 
h) 
yx4y
xy2x
dx
dy
2
2



 n) 
tut2u2
dt
du

 a) 
 
y
x
dy x dx sen 2 0
. 
b) x y´= 3y i) tg(x) y´ = y 0) 2y(x+1)dy = x dx 
b) dy
dx
ex y 
. 
c) y´= 2xy j) tg(x) sen
2
(y) dx + cos
2
(x) cotg(y) dy = 0 
p) 
0
y
yy
x
1x2x
'y
324








 







 

 c) dy
dx
x xy
y x y



2
4
2
2
. 
d) 
0tt
dt
dy
e 3y 
 
k) 3 e
x 
tg(y) dx + (1 – ex) sec2(y) dy = 0 q) (y + yx
2
) dy + ( x + xy
2
) dx = 0 
d) 
 1 0 1 12 3   x
dy
dx
y y, 
. 
e) 
4
2
i
dt
di
2 
 
l) x y y´= 1  x2 
 
 
r) y´ = x – 1 + xy  y 
 
 
f) 
  0dxxsendy
x
y 2 
 
m) e
x
 dy = 2x dx 
 
s) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0 
g)
yxe
dx
dy 
 
 t) x
2
 y´  yx2 = y 
 
 
 
 
 
 
 
3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições iniciais. 
a) xy´= 2y y(  2) = 1 d) 
      e2πy ,yylnxseny' 
 
b) (1 + e
x
)y y´= e
x
, y(0) = 1 
e) 
  11y 0,y
dx
dy
x1 32 
 
c) (xy
2
 + x) dx + ( x
2
y – y ) dy = 0; y(2) =1 
f) 
        12πy 0,dye1ydxxysen xcos2 
 
 
 
4. Verifique se as equações a seguir são exatas ou não exatas. Para as equações exatas, encontre a solução. 
a) 
x2y2
y4x2
y



; 
e) ( xlny + xy ) dx + ( y lnx + xy ) dy = 0 ( x > 0 e y > 0 ) 
 
 2 
b) (2xy
2
 + 2y ) + ( 2x
2
y + 2x ) y ´= 0 
 f) 
0dy)2x(lndxx6
x
y







 ( x > 0 ); 
 
c) 
xcos2ycose
ysenexseny2
dx
dy
x
x



; 
 
g) (3x
2
 2xy + 2 ) dx + (6y2 –x2 +3 ) dy = 0 
 
 
d) (e
x 
seny +3y)dx  ( 3x  ex seny ) dy = 0 
 
h) (xe
x 
+ y) dx + ( x + ye
y
) dy = 0; 
 
 
 
5. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o valor de b 
encontrado 
a) (xy
2
 + bx
2
y ) dx + ( x + y)x
2 
dy = 0; b) ( ye
2xy 
+ x ) dx + bxe
2xy 
dy = 0 
 
6. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator 
)y,x(
 
Resolva as equações exatas assim obtidas 
a) x
2
y
3
 + x(1 + y
2
) y ´= 0 
3xy
1
)y,x( 
; b) 
0dy
y
xcose2ycos
dxxsene2
y
ysen xx 







 









 
xye)y,x( 
 
Observação: A função 
)y,x(
 é chamada de fator integrante ou fator de integração para a equação 
 
7. Uma equação diferencial linear de 1
a
 ordem se escreve na forma 
)x(Qy)x(P
dx
dy

. Verifique quais das seguintes 
equações são lineares, identificando as funções P(x) e Q(x) e resolva as equações lineares 
 
a) y´+e
x
y =x
2
y
2
; b) y ´+ 2y = 2e
x
; c) x y´+ y + 4 = 0 ; 
d) yy ´= y
2
 + senx 
 
e) ( y  senx ) dx + x dy = 0 ; f) y ´ 4y = 2x 4x2 ; 
 
 
8. Resolva as equações a seguir que podem ser: variáveis separáveis, exatas ou lineares 
a) y´= x  1 + xy  y b) x2y´  yx2 = y 
c) (ysenx  tgx) dx + ( 1 – cosx ) dy = 0 d) xy´+ y = 2x + e
x
 
e) (2xy + 1)dx + (x
2
 + 4y)dy = 0, y(1) = 1; 
f) 
  0ey , 2x
x
y
'y 
 
 
 
 
Algumas aplicações de E.D.O.’s de 1a ordem. 
 
9. Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela resistência do ar 
proporcional à velocidade do corpo. Admitamos que tanto a gravidade como a massa permaneçam constantes e, por 
conveniência, escolhemos o sentido “para baixo” como sentido positivo. 
 
Segunda Lei de Newton do Movimento: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da 
quantidade de movimento do corpo: 
F m
dv
dt

, onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade 
do corpo, ambas consideradas no instante t. 
 
No problema em foco, há duas forças atuando sobre o corpo: (1) a força devido à gravidade, dada pelo peso do corpo 
que é igual a mg; e (2) a força devido à resistência do ar, dada por kv, onde 
0k
 é uma constante de 
 3 
proporcionalidade. O sinal negativo se torna necessário por que esta se opõe à velocidade; isto é, atua no sentido 
“para cima”, ou seja, no sentido negativo. Desta forma, a força resultante é 
F mg kv 
. Obtemos então: 
 
 
mg kv m
dv
dt
 
 ou dv
dt
k
m
v g 
 
como equação diferencial do movimento do corpo. 
 
Aplicação: Um homem usando pára-quedas salta de uma grande altura. A massa do conjunto do homem e do pára-
quedas é de 80Kg. Seja v(t) sua velocidade no instante t (segundos) depois de começar a queda. Durante os primeiros 
16 segundos, a resistência do ar é de v/2. Posteriormente, enquanto o pára-quedas está aberto, a resistência do ar é de 
8v. Encontre uma expressão para v(t) em qualquer instante t maior que 16s. (use g=10m/s²). 
 
10. Lança-se uma pedra do solo, verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. (considere nula a 
resistência do ar e g=10m/s
2
). 
a) Quanto tempo levará e qual será sua velocidade quando a pedra atingir novamente o solo? 
b) Quanto tempo levará a pedra para atingir altura máxima e qual será essa altura? 
 
11. Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radio carbono. Este é o modo 
de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, artefatos, etc. O 
procedimento foi desenvolvido pelo químico W. Libby (1908-1980) no início dos anos 50 e isso lhe deu o prêmio 
Nobel de Química em 1960. A determinação de idade por radio carbono está baseada no fato de que alguns restos de 
madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14 – C14, isótopo radioativo de carbono. Este isótopo é 
acumulado durante a vida da planta e começa a decair com a sua morte. A meia vida de um isótopo radioativo significa 
o tempo em que a metade da quantidade original se decompõe. Como a meia vida do carbono 14 é longa 
(aproximadamente 5745 anos), quantidades mensuráveis de carbono 14 estão presentes após milhares de anos. Libby 
mostrou que se aproximadamente 0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda está presente, então pode-
se determinar precisamente a proporção de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de laboratório 
adequada. Em outros termos: 
Se Q(t) é a quantidade de carbono 14 no tempo t e Q0 é a quantidade original, então a razão 
0Q
)t(Q
 poderá ser 
determinada, pelo menos se esta quantidadenão for muito pequena. 
a) Supondo que Q(t) satisfaça a equação 
kQ
dt
dQ

, determine a constante k de decaimento para o carbono 14. 
b) Encontre a expressão Q(t) em qualquer tempo, se 
  oQ0Q 
. 
c) Suponha que se descubram certos restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja de 20% da 
quantidade original. Determine a idade desses restos. 
 
12. Em 1988 o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de 
Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano que apareceu em 1356 contém o negativo da 
imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus Cristo. O relatório do Museu 
Britânico mostrou que as fibras no pano continham entre 92% e 93% do carbono original. Usando que a 
meia-vida do Carbono-14 é de 5745 estime a idade do sudário.. 
 
13. Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados pedaços de carvão vegetal nos 
quais a radioatividade do C
14
 era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num pedaço de carvão feito 
hoje. Calcule a idade do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a época em que as pinturas foram feitas. 
 
14. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a 
100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, Qo = 100Qa, sendo Qa o nível aceito para a 
habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto tempo 
deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto radioativo é 
5,27 anos. 
 4 
 
15. Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% da sua quantidade original. Com base 
nesses dados, determine a meia-vida do radônio-222. 
 
16. Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa 
proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei do resfriamento de Newton. 
Portanto, se T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e 
aT
 é a temperatura ambiente constante, temos a relação 
   k ,TTk
dt
dT
a
depende do material de que é constituída a superfície do objeto. 
Aplicação: Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30
o
C e 
resfriando a substância de 100
o
C para 70
o
C em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância 
será de 40
o
C. 
 
17. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugada e, 
imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8
o
C. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a 
temperatura e encontrou 34,1
o
C. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20
o
C. Use a lei 
do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma 
pessoa viva é 36,5
o
C. 
 
18. Um termômetro é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10C. 
Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15C e após 2 minutos 12C. Use a “Lei do resfriamento de 
Newton” para determinar qual a temperatura da sala onde se encontrava o termômetro inicialmente. 
 
19. Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura 
constante igual a 20C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30C e após 20 minutos a 
temperatura é de 25C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de 
Newton: 
 
 
Utilize os resultados do texto abaixo para resolver as questões 20 e 21. 
 
 A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo RL (figura 
1), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henryes) e uma força eletromotriz (fem) E (em 
volts) é 
L
E
I
L
R
dt
dI

. 
 
 Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força 
eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é 
R
E
q
RC
1
dt
dq

 e a relação entre q e I é dada por 
dt
dq
I 
. 
 
 
 
 
20. Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. 
Determine a corrente no circuito no instante t. 
Figura 1: circuito RL Figura 2: circuito RC 
 5 
21. Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10
-2
 farads e inicialmente uma carga 
de 5 coulombs no capacitor. Determine: 
a) A corrente transitória; b) A corrente estacionária. 
 
 
 
O Texto a seguir se refere aos problemas de 22) a 26) 
 
Problema de Mistura 
 
Consideremos um tanque com uma solução ( soluto + solvente ) (por exemplo, sal e água ) de volume inicial Vo, com 
fluxo de entrada e saída.. Mantendo-se essa solução uniformemente misturada vamos calcular a quantidade Q(t) de 
soluto no tanque no instante t. 
A variação da quantidade de soluto no tanque é obtida pela diferença entre a quantidade de soluto que entra e que sai 
do tanque 
Por outro lado, se V(t) é o volume no instante t, temos que 
dt
dV
dV
dQ
dt
dQ

 
dV
dQ
 é a variação da concentração e 
dt
dV
é a taxa de variação do volume, ou seja, a vazão 
Assim, 
dt
dV
dV
dQ
dt
dQ

 = concentração x vazão. Logo, se há um fluxo de entrada e saída temos 
ssee vcvc
dt
dQ

 
ec
 = concentração de entrada; 
ev
= vazão de entrada 
sc
= concentração de saída ; 
sv
= vazão de saída 
sc
= 
tvtvV
Q(t)
V(t)
Q(t)
seo 

 (Vo + vet – vs t = volume inicial + volume que entra – volume que sai) 
 
A equação final fica: 
s
seo
ee v
tvtvV
Q(t)
vc
dt
dQ


 
 
A equação é linear. Se a vazão de entrada for igual à vazão de saída a equação linear é também de variáveis 
separáveis. 
 
22. Um tanque de 400 litros enche-se com uma solução de 60kg de sal em água. Depois faz-se entrar água nesse tanque 
à razão de 8L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na mesma razão. Qual a quantidade de sal 
existente no tanque ao fim de 1 hora? 
 
23. Uma solução de 60kg de sal em água enche um tanque de 400L. Outra solução em que cada 5L contém 1kg de sal é 
lançada no tanque a uma razão de 10L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na razão de 15L/min. 
Ache a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora. 
 
24. Um tanque com capacidade de 1000 galões contém, inicialmente, 500 galões de água poluída com 100 
galões de poluentes. No instante t = 0, água pura é acrescentada a uma taxa de 10 galões por minuto e a 
solução misturada é drenada a uma taxa de 5 galões por minuto. Determine quanto poluente haverá no tanque 
no instante do transbordamento. 
 
25. Um reservatório de 500 galões contém inicialmente 100 galões de água fresca. Começando no instante t = 0 escoa 
para o reservatório água contendo 50% de poluidores, à taxa de 2 gal/min e a mistura bem agitada deixa-o à taxa de 1 
gal/min. Determine a concentração de poluidores no reservatório no instante do transbordamento 
 
 6 
26. Uma bebida contendo 5% de álcool por litro é bombeada em um tonel que contém inicialmente 200 
litros de bebida com 10% de álcool. A taxa de bombeamento é de 2 litros por minuto, enquanto o líquido 
misturado é drenado a uma taxa de 3 litros por minuto. Determine 
a) Quantos litros de álcoolQ(t) há no tanque num instante t qualquer 
b) Quando o tanque estará vazio 
 
27. A equação diferencial que descreve a variação da carga num circuito RC, como já foi visto, é igual 
R
)t(E
q
RC
1
dt
dq

. Esta é uma equação linear que no caso da força eletromotriz ser constante tem variáveis 
separáveis. 
Suponha num circuito RC que R= 20ohms, C = 0,01 farad, E(t) decaindo exponencialmente, ou seja, E(t) = 60 e 
2t
 
volts e q(0) = 0. Determine: 
a) q(t) 
b) O instante em que q(t) atinge um máximo e a carga máxima. 
 
28. A equação diferencial que descreve a variação da corrente num circuito RL, como já foi visto, é igual 
L
)t(E
i
L
R
dt
di

. Esta é uma equação linear que no caso da força eletromotriz ser constante tem variáveis separáveis. 
Suponha num circuito RL que R = 12 ohms; L = 4 henrys; i(0) = 0 e que um gerador produza uma voltagem variável 
de E(t) = 60 sen30t volts. Encontre i(t) 
 
Obs: Use que 
Cbcosbx)(asenbx
ba
e
senbxdxe
22
ax
ax 


 ou 
Cbsenbx)(acosbx
ba
e
cosbxdxe
22
ax
ax 


 
 
29. Uma força eletromotriz 






20 t 0;
20 t 0 ;120
)t(E
 é aplicada a um circuito RL no qual a indutância é de 20 
henrys e a resistência de 2 ohms. Encontre a corrente i(t), se i(0) = 0 
 
 
 
Respostas 
1. a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim 
2. a) y = 1  Cex. b) x3 = Cy. c) 2xCey  d) 
C
4
t
2
t
e
42
y 
. e) t/4Ce8i  
f) y
2
 + cos(x
2
) = C. g) 
01Cee yyx 
. h) 2 + y
2
 = C ( 4 + x
2
 ) i) y = C sen(x) 
j) tg
2
(x) cotg2(y) = C k) 
   yCtge1 3x 
 l) 
  Cxxlny 222 
 m) 
C2e2xey xx  
 
n ) 2 ln(1+u) = 4t + t
2
 + C 0) 
C1xlnxy2 
 p) 4 arctgy = x
4 4x2 +4lnx + C 
q) (1+y
2
) = C(1+x
2
)
–1
 r) ln( 1+y)
2
 = x
2
 2x + C s) 
C1xln5xy 
 t) lny = 1/x + x + C 
3. a) y = x
2
/4. b) 
  






2x2 e1
4
e
lny
 c) (x
2
 1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx – cotgx 
 e) 
 
2
π1
xarcsen
2y
1
2


. f) 
    3y2lny2e 2xcos 
. 
4. a) não é exata; b) x
2
y
2
 +2xy = C; c) e
x
 seny +2ycosx = C; d) e e) não são exatas; 
f) ylnx+3x
2
 –2y = C; g) x3  x2y +2x +2y3 + 3y = C; h) xex ex + xy + yey ey = C 
5. a) b = 3; x
2
y
2
 + 2x
3
y = C; b) b = 1; e
2xy
 + x
2
 = C; 
6. a) x
2
 + lny
2
  y2 = C ; b) exseny +2ycosx = C 
 7 
7. a) não é linear; b) y = (2/3)
2xx Cee 
; c) y = 
4
x
C

; d) não é linear; e) 
;
x
cosxC
y


 f) y = x
2
+Ce
4x
; 
8. a) ln(1+y)
2
 = x
2 – 2x + C b) lny = 1/x + x + C; c) y – ycosx + ln(cosx) = C d) y = ( 1/x) (x2 + ex + C); 
e) 
04y2xyx 22 
; f)
x)e2(xlnx2xy 2 
; 
9.
  10
t
10
1
e1600e1500100tv












. 10. a) t = 4s; v = 20m/s; b) t = 2s; smax = 20m 
11. a) 
 
5745
2ln
k


; b)  
 
t
5745
2ln
oeQtQ





 

; c) 
 
 
 5745
2ln
5ln
t
 anos; 
12. Entre 604 e 695 anos; 13. 
 
 
.5745
2ln
0,145ln
t 
 (aproximadamente 16000 anos atrás). 
14.

2ln
100ln)27,5(
t
 35 anos 15. a) Aproximadamente 3,8 dias. b) 694; 16. t  52 min; 17. t  2,24 horas, 
18. 22,5. 19. 40 C; 20. Resp.: 
10
1
e
10
1
)t(I t50 

 
 amp. A quantidade 
t50e
10
1 
 é chamada corrente 
transitória, pois tende a zero (se desvanece) quando t. A quantidade 1
10
 é chamada corrente estacionária. 
Quando t a corrente I(t) tende para a corrente estacionária. 21. (a) 
t10e
2
99 
 amp.; (b) 0 amp. 
22. Q = 60e
6/5
 kg 23. Q = 315/16 kg; 24. 50 galões; 25. 48%; 
26. a) 
3
3
)t200(
)200(
10
20
t200
)t(Q 


; b) Após 200 minutos; 27. a) q(t) = e
2t
  e5t; 
 b) 
3
)2/5ln(
t 
 e a carga máxima é 3/2
5
2
5
3
q 






coulombs 28. 
t3e
101
50
)t30cos10t30(sen
101
5
)t(i 
 
29. 









20 t;e)160(e
20t0 ;e6060
)t(i
10/t2
10/t