lista11 Gabarito Algebra Linear

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Lista 11 - ZAB 0161 - Cônicas
1. Identifique e desenhe a cônica nas seguintes equações:
(a) x2 − 4x− y + 3 = 0
Resolução:
Como não existem termos mistos, basta complementar quadrados.
Assim: (x2− 4x+ 4)− y+ 3 = 4⇐⇒ (x− 2)2 = (y+ 1)⇐⇒ x¯2 = y¯.
Daqui 4p = 1⇐⇒ p = 14 .
A forma canônica foi obtida com a transformação
{
x¯ = x− 2
y¯ = y + 1
.
Da forma canônica, em X¯Y¯ , o vértice é V¯ = (0, 0), utilizando a
transformação, em XY , o vértice é V = (2,−1).
De maneira similar obtemos os outros elementos.
Em X¯Y¯ : Em XY :
F¯ = (0, p) = (0, 14 ) F = (2,− 34 )
A¯ = (−2p, p) A = ( 32 ,− 34 )
B¯ = (2p, p) B = ( 52 ,− 34 )L : y¯ + p = 0 y + 54 = 0
Eixo de simetria: ‖ Y¯ ‖ Y
(b) 3y2 + 4x + 12y + 6 = 0
Determine o vértice V , o foco F e a reta diretriz em cada caso.
Resolução:
3(y2 + 4y + 4) = −4x − 6 + 12 ⇐⇒ 3(y + 2)2 = 4 (−x + 32) ⇐⇒
(y + 2)2 = 43
(−x + 32)⇐⇒ x¯2 = y¯.
Daqui 4p = 43 ⇐⇒ p = 13 .
A forma canônica foi obtida com a transformação
{
x¯ = y + 2
y¯ = −x + 32
.
Utilizando as informações da forma canônica, obtemos os elementos
da parábola:
Em X¯Y¯ : Em XY :
V¯ = (0, 0) V = ( 32 ,−2)
F¯ = (0, p) F = ( 76 ,−2)
A¯ = (−2p, p) A = ( 76 ,− 83 )
B¯ = (2p, p) B = ( 76 ,− 43 )L : y¯ + p = 0 x− 116 = 0
Eixo de simetria: ‖ Y¯ ‖ X−
1
Faça os desenhos com as informações.
2. Determine a equação da parábola com vértice em V = (5, 2) e foco F =
(7, 2). Escreva a equação da reta diretriz.
Resolução: Como o vértice e o foco estão na reta y = 2, então ela é o eixo
de simetria. A reta diretriz está a mesma distância do vértice quanto o
foco e deve ser ortogonal ao eixo de simetria, então d(V, F ) = 2 = p, logo
a reta diretriz é a reta x = 3.
3. Determine as retas tangentes à parábola x2 − 6x + 5y − 11 = 0 passando
pelo ponto R = (−1, 1), e ache o ponto de interseção de cada tangente
com o eixo focal da parábola.
Resolução:
A equação da parábola é (x − 3)2 = 5(−y + 4). Substituindo as coorde-
nadas de (−1, 1) se verifica que o ponto R não pertence à parábola, então
é um ponto exterior a parábola. A equação das retas que passam por R
tem por equação y − 1 = m(x + 1) ou y = mx + m + 1. Agora procu-
ramos entre essas retas quais são tangentes a parábola. Para procurar as
tangentes calculamos os pontos de interseção utilizando ambas equações
simultaneamente (da reta e da tangente) e ao calcular procuramos aque-
las que tenham apenas uma solução (lembrar que é tangente), isto é o
discriminante da equação quadrática deve ser zero. Então para resolver
simultanemente as duas equações substituimos o y da reta na equação da
parábola, obtendo x2 + (5m − 6)x + 5m − 6 = 0. Calculando o discrimi-
nante zero (um único ponto de interseção) obtemos m = 65 e m = 2. As
equações das tangentes são y − 1 = 65 (x + 1) e y − 1 = 2(x + 1).
Por outro lado, o eixo de simetria é x = 3. Logo os pontos de interseção
das retas tangentes com o eixo de simetria são Q1 = (3, 295 ) e Q2 = (3, 9).
4. P é uma parábola, cujo vértice é V = (−1, 5) e um dos extremos do lado
reto é B = (10, 3). L é uma reta tangente à parábolaP no ponto P0 (que
é um ponto que está na metade superior da parábola), e que corta o eixo
focal no ponto Q = (−28,−31). Determine:
(a) uma equação da parábola P,
Resolução: Como conhecemos dois pontos do eixo focal V e Q, temos
o vetor direção do eixo de simetria: v = V −Q = 9(3, 4). (Observar
que o ponto Q é exterior a parábola, pois pertence a tangente. Logo
o vetor deve ser orientado de Q para V .)
Considerando o vetor unitário u =
(
3
5 ,
4
5
)
, temos a equação do eixo
de simetria Y¯ : 45x − 35y + 195 = 0 ⇐⇒ x¯ = 0. Também temos
X¯ : 35x +
4
5y − 175 = 0⇐⇒ y¯ = 0.
Logo a transformação afim que relacionaXY com X¯Y¯ será
{
x¯ = 45x− 35y + 195
y¯ = 35x +
4
5y − 175
.
Sabemos que em X¯Y¯ a equação de toda parábola é x¯2 = 4py¯. Falta
conhecer o valor de p. Para determiná-lo temos o extremo do lado
2
reto B, do qual sabemos que a distância ao eixo de simetria é igual
a 2p. Calculando essa distância: d(B, Y¯ ) =
∣∣− 45 (10) + 35 (3)− 195 ∣∣ =
10 = 2p, então p = 5. Equação da parábola P : x¯2 = 20y¯, substi-
tuindo P : 16x2 − 24xy + 9y2 − 148x− 514y + 2061 = 0.
(b) P0 e a equação vetorial da reta tangente L,
Resolução: Trabalhando em X¯Y¯ , o ponto Q será Q¯ = (0,−45), (ob-
servar que a coordenada em Y¯ é a distância ao vértice V ) . Pela
propriedade das tangentes a uma parábola, o ponto de tangência P0
está na perpendicular do eixo de simetria, que passa por um ponto
en el eixo de simetria a uma distância igual ao vértice, isto é, as
coordenadas do ponto de tangência são P0 = (x¯0, y¯0) com y¯0 = 45,
e como pertence a parábola x¯02 = 20(45) = 900. Logo x¯0 = ±30.
Pela condição de ser um ponto de tangência na metade superior da
parábola, consideramos x¯0 = −30. Obtendo as coordenadas em XY
temos (x¯0, y¯0) = (−30, 45) então (x0, y0) = (2, 59).
Agora, a reta tangente é determinada pelos pontos P0 e Q, sua equa-
ção é −3x + y = 53.
(c) o foco F da parábola.
Resolução: O foco em X¯Y¯ é F¯ = (0, p) = (0, 5), utilizando a trans-
formação afim temos: F = (2, 9).
5. Dada a elipse E :
(x + 3)2
16
+
(y − 4)2
25
= 1
Determine todos os elementos da elipse (centro, focos, ...) e a excentrici-
dade.
Resolução: O centro C = (−3, 4). O eixo focal é x = −3, pois a2 = 25⇒
a = 5, b = 4 e portanto c2 = a2 − b2 = 9 ⇒ c = 3. Excentricidade é
ε = ca =
3
5 .
Vértices V1 = (−3,−1), V2 = (−3, 9), F1 = (−3, 1), F2 = (−3, 7), etc.
6. Desenhe a elipse com vértices em (1, 4) e (9, 10) e com semi-eixo menor
igual a 2. Determine o centro, os focos, os vértices e a equação da elipse.
Resolução: O centro é o ponto médio entre os vértices C = (5, 7) e temos
a = 5 e b = 2, então c =
√
21. O eixo focal passa pelos vértices com vetor
direção v = 15 (4, 3), daqui temos F1 = (5, 7) −
√
21
5 (4, 3) = (5 − 4
√
21
5 , 7 −
3
√
21
5 ) e F1 = (5, 7) +
√
21
5 (4, 3). B1 = (
31
5 ,
27
5 ) e B2 = (
19
5 ,
43
5 ).
A equação da elipse em X¯Y¯ é x¯
2
25 +
y¯2
25 = 1, onde a transformação é{
x¯ = 15 (4x + 3y − 41)
y¯ = 15 (4y − 3x− 13)
, dai a equação da elipse é
(4x + 3y − 41)2
625
+
(4y − 3x− 13)2
100
= 1.
7. Duas circunferências C1 e C2 cujos diámetros medem 10 unidades, são
tangentes exteriormente em F0. A equação da reta tangente a ambas as
3
circunferências no ponto F0 é L : 3x + 4y = 30. Seja E a elipse cujo
centro é F0, um dos seus focos é o centro de C1, e um dos seus vértices é
o outro extremo do diâmetro de C2. Sabendo que (1, 7) ∈ C2, determine a
equação da elipse sabendo que a abscisa do centro de C2 é maior que 4 e
sua ordenada é positiva.
Resposta: A elipse tem a equação canônica x¯
2
100 +
y¯2
75 = 1, onde foi realizada
uma rotação
{
x¯ = 3x− 4y
y¯ = 4x + 3y
, e uma translação para o ponto F0 = (2, 6).
8. Os extremos do eixo menor da elipse E são os pontos (2, 14) e (14,−2)
e a reta tangente a E no ponto P0 é L : (x, y) = (−1,−32) + t(3,−18).
Determine P0 e a equação da elipse E .
Resposta: P0 = (−3, 4). A elipse é x¯2400/3 + y¯
2
100 = 1, onde foi realizada
uma rotação
{
x¯ = 3x− 4y
y¯ = 4x + 3y
, e uma translação ao centro C = (8, 6).
9. Na hipérbole H : x2 − y2 + 4x + 2y = −12, achar o centro, as equações
das assíntotas, os focos, os vértices, a excentricidade e os pontos extremos
dos lados retos da hipérbole.
Resposta: A hipérbole é (y−1)
2
9 − (x+2)
2
9 = 1. Então a = b = 3, c = 3
√
2,
daqui a excentricidade é ca =
√
2.
O centro C = (−2, 1). Assíntotas L1 : y = 1+(x+2) e L2 : y = 1−(x+2).
Focos F1 = (−2, 1 − 3
√
2) e F2 = (−2, 1 + 3
√
2). Vértices V1 = (−2,−2)
e V2 = (−2, 4).
Os extremos do lado reto passando pelo F1 são (−5, 1−3
√
2) e (1, 1−3√2),
e para o F2 são (−5, 1 + 3
√
2) e (1, 1 + 3
√
2).
10. Determine a equação da hipérbole H (em XY ), cujas assíntotassão pa-
ralelas aos eixos coordenados. A hipérbole passa pelo ponto (3, 2) e seu
centro é o ponto (−1, 1). Forneça os focos, os vértices e os extremos do
eixo conjugado.
Resposta: A hipérbole é x¯
2
16− y¯
2
16 = 1, com a transformação
{
x¯ = x + y
y¯ = y − x− 2 .
Também: V1 = (1, 3), V2 = (−3,−1), B1 = (−3, 3), B2 = (1,−1),
F1 = (−1 + 2
√
2, 1 + 2
√
2) e F2 = (−1− 2
√
2, 1− 2√2).
4