Aula 02 CALCULO

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 2 – Introdução ao Programa de Computação Numérica 
(PCN) e Teoria dos Erros 
INTRODUÇÃO AO PCN E TEORIA DOS ERROS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Identificar os conceitos básicos de 
programação estruturada: 
1. Estruturas sequenciais; 
2. Estruturas seletivas; 
3. Estruturas repetitivas. 
 Teoria dos Erros. 
 
INTRODUÇÃO AO PCN E TEORIA DOS ERROS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
PROGRAMAÇÃO ESTRUTURADA 
• A decomposição do problema em etapas ou estruturas 
hierárquicas; 
• Objetivo é simplificar o problema para facilitar o 
entendimento de todos os procedimentos; 
• Melhorar a confiabilidade e simplificar a manutenção 
do programa; 
• São três as estruturas básicas: sequenciais, seletivas e 
repetitivas. 
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ESTRUTURAS BÁSICAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. SEQUENCIAL – nesta estrutura, cada ação segue a outra 
ação, sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada 
de outra. 
TAREFA 1 
TAREFA 3 
TAREFA 2 
Pseudocódigo 
Tarefa a ser realizada ( ) 
Início 
 Executar tarefa 1; 
 Executar tarefa 2; 
 Executar tarefa 3; 
Fim 
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ESTRUTURAS BÁSICAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dois números naturais devem ser somados e depois 
subtraídos. Após isto, os resultados devem ser divididos: 
 
Tarefa 1: 
• Somar A e B (S = A + B); 
Tarefa 2: 
• Subtrair A e B (D = A – B); 
Tarefa 3: 
• Dividir S por D. 
Pseudocódigo 
Tarefa a ser realizada ( ) 
Início 
Valores de A e B 
 S = A+B; 
 D = A-B; 
 F = S/D; 
Fim 
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ESTRUTURAS BÁSICAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. SELETIVA - nesta estrutura avalia-se a condição (SE) e, a 
partir desta saída, executa-se a TAREFA 1 (SIM) ou a 
TAREFA 2 (NÃO). 
TAREFA 2 TAREFA 1 
Condição 
A 
N S 
Pseudocódigo 
Tarefa a ser realizada ( ) 
Início 
 Se condição A; 
 Então executar tarefa 1; 
 Se não; 
 Executar tarefa 2; 
Fim Se 
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ESTRUTURAS BÁSICAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determinar o módulo da diferença de dois números 
naturais: 
 
Condição: A maior que B ? 
 
SIM: 
Tarefa 1: Executar A - B 
 
Não: 
Tarefa 2: Executar B - A. 
Pseudocódigo 
Tarefa a ser realizada ( ) 
Início 
Se A > B; 
 Então Módulo = A – B; 
Senão; 
 Módulo = B – A; 
Fim 
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ESTRUTURAS BÁSICAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. REPETITIVA - nesta estrutura há uma sequência de 
instruções (iterações) que se repetem um determinado 
número de vezes ou até que uma condição seja satisfeita. 
TAREFA 1 
Condição 
A 
N 
S 
Pseudocódigo 
Tarefa a ser realizada ( ) 
Início 
 Enquanto condição A; 
 Executar tarefa 1; 
Fim Enquanto; 
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ESTRUTURAS BÁSICAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja o número natural A >1. Extrair a raiz quadrada 
de A até que seja menor que 1,02. 
 
 
 
 
 
 
Pseudocódigo 
Tarefa a ser realizada ( ) 
Início 
Enquanto A > 1,02; 
 Executar RAIZ(A); 
Fim enquanto; 
Fim. 
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CÁLCULO NUMÉRICO 
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CÁLCULO NUMÉRICO 
TEORIA DOS ERROS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As resoluções numéricas levam, via de regra, a valores 
aproximados. Desta forma, é importante que seja definida 
a precisão desejada para este valor aproximado. 
 
Exemplo: 
 
 
• Valor exato = 0,200; 
• Valor aproximado = 0,220 (método dos trapézios com 
quatro intervalos). 
 
 
 
 
 
dxxI .
1
0
4

Problema 
Modelo 
Matemático 
Solução 
Modelagem Resolução 
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ORIGEM DOS ERROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro no modelo - Um modelo matemático raramente 
oferece uma representação exata dos fenômenos reais 
(condições que simplificam o problema de forma a torná-lo 
tratável). Porém este procedimento nos leva a cometer 
erro na solução final. Este erro é considerado inicial do 
problema, exteriores ao processo de cálculo. 
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ORIGEM DOS ERROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro no dados - Os dados podem ser medidos 
experimentalmente, e, portanto, aproximados, pois os 
meios de medição também não são precisos. As 
aproximações nos dados podem ter grande repercussão no 
resultado final. Este erro é considerado inicial do problema, 
exteriores ao processo de cálculo. 
 
INTRODUÇÃO AO PCN E TEORIA DOS ERROS 
 
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ORIGEM DOS ERROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam dois valores x exato e x aproximado . 
 
Define-se erro absoluto como o módulo da diferença entre 
estes dois valores, isto é: 
Erro absoluto =  x exato – x aproximado  
Define-se erro relativo como a razão entre o erro absoluto 
e o módulo do valor exato, isto é: 
Erro relativo = Erro absoluto / x exato 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO PCN E TEORIA DOS ERROS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
ORIGEM DOS ERROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando recorremos a uma calculadora ou a um computador 
para resolver numericamente um dado problema 
matemático, dois tipos de erro podem surgir: 
 
• Erros de arredondamento: as máquinas, de capacidade 
limitada, não conseguem representar todos os números 
reais; 
 
• Erros de truncatura: surgem sempre que se substitui um 
problema contínuo por um discreto, ou quando se substitui 
um processo de cálculo com um número infinito de 
operações, por outro com um numero finito. 
 
 
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REGRA DE ARREDONDAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Frações de 0,000... a 0,4999... são simplesmente eliminadas; 
3,49 ≈ 3 2,43 ≈ 2,4 1,734999 ≈ 1,73 
● Frações maiores de 0,500... a 0,999... são eliminadas, mas o 
algarismo a ser arredondado aumenta 1 unidade; 
3,688 ≈ 3,69 5,6501 ≈ 5,7 
● Se a fração a ser eliminada é exatamente 0,50000..., então o 
algarismo a ser arredondado, só aumentará de 1 unidade caso 
torne-se um algarismo par. 
3,5 ≈ 4 6,5 ≈ 6 5,6500 ≈ 5,6 9,7500 ≈ 9,8 
 
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EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a seguinte integral definida 
 
 
 
 
Seu valor exato é 0,200. Utilizando o método dos trapézios 
com quatro intervalos encontramos o seguinte valor 
aproximado: 0,220. 
 
Determine: 
 
a) O erro absoluto (via modulo); 
b) O erro relativo. 
dxxI .
1
0
4

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SOLUÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Erro absoluto =  x exato – x aproximado  
Erro absoluto =  0,200 – 0,220 =  - 0,020 = 0,020 
 
b) Erro relativo = Erro absoluto / x exato 
Erro relativo = 0,020/0,200 = 0,1 
 
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PROPAGAÇÃO DE ERROS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a função de duas variáveis f(x,y). Sua expansão de 
Taylor, sem os termos superiores (2º, 3º, 4º...) é: 
 
Ou ainda: 
 
 
 
).().(),(),( 1111 iiiiiiii yy
y
f
xx
x
f
yxfyxf 





 
).().(),(),( 1111 iiiiiiii yy
y
f
xx
x
f
yxfyxf 





 
y
y
f
x
x
f
yxf 





 ..),(
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PROPAGAÇÃO DE ERROS - SITUAÇÕES PARTICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a função f(x,y) = x + y e erros de x e y: Ex e Ey 
 
 
yx EEyxf
y
y
f
x
x
f
yxf
.1.1),(
..),(








Considere a função f(x,y) = x.y e erros de x e y: Ex e Ey 
yx ExEyyxf
y
y
f
x
x
f
yxf
..),(
..),(








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Exercícios 
1. Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens: 
 a) x =1,5 e x =1,49; 
 b) y =5,4 e y =5,39. 
 
2. Faça o algoritmo para calcular a(s) raíz(es) de uma 
equação: 
• Do 1º grau 
• Do 2º grau 
• Se possível, utilize o teorema de bolzano para 
determinar se existem raízes. 
 
INTRODUÇÃO AO PCN E TEORIA DOS ERROS 
 
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Exercícios 
1. Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens: 
 a) x =1,5 e x =1,49; 
 b) y =5,4 e y =5,39. 
 
2. Faça o algoritmo para calcular a(s) raíz(es) de uma 
equação: 
• Do 1º grau 
• Do 2º grau 
• Se possível, utilize o teorema de Bolzano para 
determinar se existem raízes. 
 
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RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 Os conceitos básicos de programação 
estruturada: 
 Estruturas sequenciais; 
 Estruturas seletivas; 
 Estruturas repetitivas. 
 Teoria dos Erros.