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MATEMÁTICA FINANCEIRA � Prof. BORGES – LISTA MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 1 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos 1.1. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, produzirem o mesmo montante. Taxas Equivalentes 360.12.4.2.1. dmtsa iiiii ==== (a juros simples) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )36012421 11111 dmtsa iiiii +=+=+=+=+ (a juros compostos) Na prática, para calcular taxas equivalentes, podemos aplicar o método exposto a seguir. Sendo: ieq = taxa equivalente a i i = taxa que eu tenho quero = período da taxa que eu quero tenho = período da taxa que eu tenho com as taxas na forma decimal, temos: •••• A juros simples tenho queroiieq .= Obs.: a juros simples taxas equivalentes são também proporcio- nais •••• A juros compostos ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq EXEMPLO 1 Calcule as taxas anual e semestral equiva- lentes (a juros simples) à taxa 3% ao mês. anoaoou tenho queroii anualeq %3636,01 1203,0. . =×== semestreaoou tenho queroii semestraleq %1818,01 603,0. . =×== EXEMPLO 2 Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes (juros simples) à taxa 24% ao ano. mêsaoou tenho queroii mensaleq %202,012 124,0. . =×== trimestreaoou tenho queroii trimestraleq %606,04 124,0. . =×== EXEMPLO 3 Sabendo que a taxa é 3% ao mês de juros compostos, obter a taxa equivalente a) anual b) semestral a) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq ( ) aa ia %6,42103,1 103,01 12 1 12 ≅−= =−+= Na Científica, digite: 1.03 ^ 12 − 1 = X 100 = Na HP-12C (modo RPN), digite: 1.03 ENT 12 xy 1 − 100 X b) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq ( ) as is %4,19103,1 103,01 6 1 6 ≅−= =−+= Na Científica, digite: 1.03 ^ 6 − 1 = X 100 = Na HP-12C (modo RPN), digite: 1.03 ENT 6 xy 1 − 100 X EXEMPLO 4 Sabendo que a taxa é 24% ao ano (juros compostos), calcule a taxa equivalente a) mensal b) semestral a) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq ( ) am im %8,1124,1 124,01 12 1 12 1 ≅−= =−+= Na Científica, digite: 1.24 ^ 12 X-1 − 1 = X 100 = Na HP-12C (modo RPN), teclar: 1.24 ENT 12 x/1 xy 1 − 100 X b) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq ( ) as is %4,11124,1 124,01 2 1 2 1 ≅−= =−+= Na Científica, digite: 1.24 ^ 2 X-1 − 1 = X 100 = Na HP-12C (modo RPN), teclar: 1.24 ENT 2 x/1 xy 1 − 100 X EXEMPLO 5 Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o in- vestidor souber de outra aplicação em que possa ganhar 9% a.t. (a juros compostos), qual será sua melhor esco- lha? Fonte: MATHIAS, W. F., GOMES, J. M. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo : ATLAS, 2004 (adaptado). Resposta: Aplicar a 9% ao trimestre, que equivale a 41,16% a.a. 1.2. TAXA EFETIVA. TAXA NOMINAL. TAXA REAL Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SE- SES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). A taxa efetiva efi fornece a real remuneração (ou custo) da operação durante todo o período. EXEMPLO 6 R$1.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 1% ao mês (regime composto), depois de 10 meses, gera- ram um montante igual a R$1.104,62. Qual foi a remune- ração real (taxa efetiva) obtida nessa operação financeira? ( ) ( ) %46,101046,0 1000 62,104 1000 100062,1104 :, %46,101046,0: 1046,0101,1101,0111 1010 ou PV PVFV temosfatoDe ouiLogo ii ef n ef == − = − = ≅−=−+=−+= MATEMÁTICA FINANCEIRA � Prof. BORGES – LISTA MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 2 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos EXEMPLO 7 Qual a taxa efetiva anual, no sistema de juros compostos, de um contrato que estipula a taxa nominal de 18% ao ano, capitalizada men- salmente? A taxa nominal de 18% ao ano, capitalizada mensalmente, signi- fica mêsaomêsaoi %5,1 12 %18 == . Então: ( ) ( ) %56,191956,0: 1956,01015,11015,0111 1212 ouiLogo ii ef n ef = ≅−=−+=−+= Conclusão: no contrato a taxa é 18% ao ano capitalizada men- salmente, mas na realidade a taxa é 19,56% ao ano. EXEMPLO 8 A remuneração de R$100,00 em de- terminado título atingiu 12,8% num período e a infla- ção foi de 9,2%. Qual foi o ganho nominal? Qual foi a taxa e o ganho real? A taxa real ir pode ser obtida por − + + = períodonoinflaçãodetaxaéI nominaltaxaaéi ,1 1 1 onde I iir No caso, temos: Ganho nominal: 80,12$8,12128,0100 RGNGN =⇒=×= Taxa real: %3,3033,01 092,01 128,011 1 1 =⇒≅− + + =− + + = rr iI ii Ganho real: 30,3$3,3033,0100 RGRGR =⇒=×= 2. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Dois ou mais capitais, com datas de vencimentos diferentes, são equivalentes numa determinada data (focal) se seus valores, atualizados para essa data, são iguais, a uma dada taxa. EXEMPLO 9 Hoje uma pessoa deve a você R$1.000,00. O que é melhor para você: receber R$1.000,00 hoje, ou R$1.310,00 daqui a três meses, supondo uma inflação de 10% ao mês? Justifique. É necessário comparar os capitais numa mesma data: hoje (data 0) ou daqui a três meses (data 3), à taxa de 10% ao mês 1º. modo) “Levando” o valor 1000 para data 3, temos ( ) 133110,011000 33 =+=FV e comparando: FV3>1310 Logo, é melhor receber R$1.000,00 hoje 2º. modo) “Trazendo” o valor 1310 para data 0, temos ( ) 22,98410,01 1310 30 ≅+ =PV e comparando: PV0<1000 Logo, é melhor receber R$1.000,00 hoje EXEMPLO 10 Uma pessoa deve a outra os seguintes valores: $50.000,00 com vencimento para 30 dias e $70.000,00 com vencimento em 150 dias. Sentindo que não poderá pagar essas quantias nas datas pre- vistas, propõe a seu credor o pagamento total da dívida daqui a 4 meses. De quanto deverá ser esse pagamento, se foi combinada a taxa de juros com- postos de 2% a.m.? Seja P o pagamento pedido. À taxa de 2% ao mês, vamos somar na data 4 meses os capitais devidos. Então 1º) “Levando” o valor 50000 da data 1 para a data 4, temos ( ) 40,060.5302,0150000 350000 =+=FV 2º. modo) “Trazendo” o valor 70000 da data 5 para a data 4, temos ( ) 45,627.6802,01 70000 170000 ≅+ =PV e somando, temos: P = 53.060,40 + 68.627,45 = 121.687,85 Logo, o pagamento deverá ser de R$121.687,85 MATEMÁTICA FINANCEIRA � Prof. BORGES – LISTA MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 3 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos 3. DESCONTOS Desconto é a quantia que se paga a menos sobre uma dívida, por pagá-la antes do vencimento. Desconto = Valor Nominal – Valor Atual ou D = N - A É uma prática adotada em diversas operações comerciais e bancárias. Por exemplo, na compra de um bem de consumo (TV, celular, geladeira, etc.), uma pessoa pode optar entre pagamento parcelado ou à vista com desconto. Outro exemplo é o que as empresas realizam por meio de operações de desconto de duplicatas em bancos comerciais, a uma taxa proposta pelo banco.A empresa recebe antecipadamente do banco (um valor descontado), que depois cobra do cliente da empresa (o valor nominal do título). 3.1. DESCONTO SIMPLES É baseado nos conceitos e cálculos de juros simples e adotado, em geral em operações de curto prazo. Na prática, há dois tipos de desconto simples: • desconto bancário (ou comercial ou “por fora”) • desconto racional (ou “por dentro”) EXEMPLO 11 Suponha que uma empresa tenha emitido um título, com valor nominal (ou de face) de R$ 8.500,00, vencível em 10 dezembro e descontado em 10 agosto à taxa de 2,5% a.m. Faça um DFC (Diagrama de Fluxo de Capitais) e calcule o valor do desconto e o valor atual do título se for adotado des- conto comercial simples ou “por fora”. Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). Neste método a taxa de desconto iD incide sobre o valor nominal (N) do título. Assim, temos: Desconto: niND D ××= No caso: 00,850$8504025,08500 RDniND D =⇒=××=××= Valor atual (ou valor descontado): DNA −= No caso: 00,650.7$76508508500 RADNA =⇒=−=−= Obs.: o valor descontado (ou valor atual) pode também ser calculado por ( )niNA D ×−= 1 . Veja: ( ) ( ) 00,650.7$76504025,0185001 RAniNA D =⇒=×−=×−= EXEMPLO 12 Suponha que uma empresa tenha emitido um título, com valor nominal (ou de face) de R$ 8.500,00, vencível em 10 dezembro e descontado em 10 agosto à taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor do desconto e o valor atual do título se for adotado o desconto racional simples (ou “por dentro”)? Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). Neste método o desconto é aplicado sobre o valor nominal e não sobre o valor atual do título. Assim, temos: ( )niAN ×+= 1 e AND −= No caso: ( ) ( ) 27,727.7$ 1,1 850085001,1 4025,0185001 RAAA AniAN ≅⇒=⇒=×⇒ ⇒×+=⇒×+= e 73,772$73,77227,77278500 RDAND =⇒=−=−= 3.2. DESCONTO COMPOSTO É baseado nos conceitos e cálculos de juros compos- tos e adotado, em geral em operações de longo pra- zo. Na prática, há dois tipos de desconto composto: • desconto bancário (ou comercial ou “por fora”) • desconto racional (ou “por dentro”) EXEMPLO 13 Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 75 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descon- tada pelo método do desconto composto racional (ou composto “por dentro”) em um banco à taxa de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta do cliente e o valor do desconto. Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). Para o desconto composto racional (ou composto “por dentro”) usamos as fórmulas: ( )niPVFV += 1 e PVFVD −= No caso: ( ) ( ) 98,480.22$035,01245001 5,2 RPVPViPVFV n =⇒+=⇒+= e 02,019.2$98,2248024500 RDPVFVD =⇒−=−= EXEMPLO 14 Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 75 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descon- tada pelo método do desconto composto comercial (ou composto “por dentro”) em um banco à taxa de 3,5 % ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta do cliente e o valor do desconto. Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). Para o desconto composto comercial (ou compos- to “por fora”) usamos as fórmulas: ( )niNA −= 1 e AND −= No caso: ( ) 81,087.2$19,412.2224500 19,412.22$035,0124500 5,2 RDDe RAA =⇒−= =⇒−= MATEMÁTICA FINANCEIRA � Prof. BORGES – LISTA MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 4 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos �� T A R E F A (T1) Calcule as taxas trimestral e anual equivalentes (juros simples) à taxa 2% ao mês. (T2) Determinar as taxas mensal e diária equivalentes (juros simples) à taxa 3,6% ao trimestre. (T3) Sabendo que a taxa é 2% ao mês de juros compos- tos, obter a taxa equivalente a) anual b) semestral (T4) Sabendo que a taxa é 36% ao ano (juros compostos), calcule a taxa equivalente a) mensal b) semestral (T5) Calcule as taxas equivalente das seguintes taxas de juros compostos (com duas casas decimais): a) 1,95% aos 31 dias para ao ano civil (365 dias) b) 2,45% aos 22 dias para ao dia c) 45,08% ao ano (comercial: 360 dias) para 62 dias Fonte: LAPPONI, J. C. Matemática Financeira; colaboração de André L. G. Lapponi. Rio de Janeiro : ELSEVIER, 2005 (adaptado). (T6) (EXEMPLO 6B) Determine a taxa efetiva resultante da aplicação de um investimento inicial (principal) de $1.000,00, a 10% ao ano de juros compostos, no final de 6 anos. (T7) (EXEMPLO 7B) Qual a taxa efetiva anual, no sistema de juros compostos, de um financiamento que estipula a taxa nominal de 120% ao ano, capitalizada mensalmen- te? (T8) (EXEMPLO 8B) Uma pessoa aplicou R$400.000,00 num título por 3 meses à taxa nominal de 6,5% ao trimestre e inflação de 4% ao trimestre. Calcule o ganho nominal, a taxa real trimestral e o ganho real dessa operação. (T9) (EXEMPLO 11B) Uma pessoa pretende saldar um título de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Saben- do-se que a taxa de desconto comercial contratada é de 40% a.a., obtenha o desconto e o valor descontado. Fonte: MATHIAS, W. F., GOMES, J. M. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo : ATLAS, 2004 (adaptado). (T10) (EXEMPLO 12B) Determinar a taxa mensal de desconto racional simples de uma nota promissória negociada 90 dias antes da data de seu vencimento, sendo seu valor nominal igual a R$27.000,00 e seu valor líquido na data do desconto de R$ 24.107,14. Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). (T11) O Banco do Futuro descontou uma nota promissória por R$ 15.000,00. O banco opera com desconto racional simples e a taxa de desconto é de 27,60% ao ano. Saben- do que o prazo de vencimento da nota promissória é de 5 meses, calcule o valor nominal. Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). R E S P O S T A S (T1) 6% a.t.; 24% a.a. (T2) 1,2% a.m.; 0,04% a.d. (T3) a) 26,82% a.a.; b) 12,62% a.s. (T4) a) 2,6% a.m.; b) 16,6% a.s. Resolução: a) ( ) 11 −+= tnqntiqi ( ) am im %6,2136,1 136,01 12 1 12 1 =−= =−+= Na HP-12C (modo RPN), teclar: 1.36 ENT 12 x/1 xy 1 −0 b) ( ) 11 −+= tnqntiqi ( ) as is %6,16136,1 136,01 2 1 2 1 =−= =−+= Na HP-12C (modo RPN), teclar: 1.36 ENT 2 x/1 xy 1 −0 (T5) a) 25,53% ao ano. Resolução: ( ) ⇒−+= 11 tenhoqueroiieq ( ) aaia %53,2510195,01 31365 =−+= Na HP-12C (modo RPN), digite: 1.0195 ENT 365 ENT 31 ENT ÷ xy 1 −0 b) 0,11% ao dia c) 6,618% aos 62 dias (T6) ( ) ( ) %16,777716,0 1000 56,771 1000 100056,1771 1000 10001,11000 :, %6,777716,0: 7716,011,1110,0111 6 66 ou PV PVFV temosfatoDe ouiLogo ii ef n ef ≅= − = −× = − = ≅−=−+=−+= (T7) A taxa nominal de 120% ao ano, capitalizada mensalmente, significa mêsaomêsaoi %10 12 %120 == . Então: ( ) ( ) %84,2131384,2: 1384,211,111,0111 1212 ouiLogo ii ef n ef = ≅−=−+=−+= Conclusão: no contrato a taxa é 120% ao anocapitalizada men- salmente, mas na realidade a taxa é 213,84% ao ano! (T8) Temos para o trimestre considerado: Ganho nominal: 00,000.26$26000065,0400000 RGNGN =⇒=×= Taxa real: %4,2024,01 04,01 065,011 1 1 =⇒≅− + + =− + + = rr iI ii Ganho real: 00,600.9$9600024,0400000 RGRGR =⇒=×= (T9) $550,00 e $4.950,00 (T10) Resolução: ( ) ( ) ( ) amiii ii iniAN %404,0 3 12,01 14,24107 270003 14,24107 2700031270003114,24107 3114,24107270001 =⇒==⇒−=⇒ ⇒=+⇒=+⇒ ⇒×+=⇒×+= (T11) R$16.725,00
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