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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
� Prof. BORGES – 
LISTA 
MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS 
 
 
 
 
ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 1 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br 
Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos 
 
1.1. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
 
Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo 
prazo de aplicação e o mesmo capital, produzirem o 
mesmo montante. 
 
Taxas Equivalentes 
 
360.12.4.2.1. dmtsa iiiii ==== (a juros simples) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )36012421 11111 dmtsa iiiii +=+=+=+=+ (a juros 
compostos) 
 
Na prática, para calcular taxas equivalentes, podemos 
aplicar o método exposto a seguir. 
 
Sendo: 
 
ieq = taxa equivalente a i 
i = taxa que eu tenho 
quero = período da taxa que eu quero 
tenho = período da taxa que eu tenho 
 
com as taxas na forma decimal, temos: 
 
•••• A juros simples 
 
tenho
queroiieq .= 
 
Obs.: a juros simples taxas equivalentes são também proporcio-
nais 
 
•••• A juros compostos 
 
( ) 11 −+= tenhoqueroiieq 
 
EXEMPLO 1 Calcule as taxas anual e semestral equiva-
lentes (a juros simples) à taxa 3% ao mês. 
 
anoaoou
tenho
queroii anualeq %3636,01
1203,0.
.
=×== 
semestreaoou
tenho
queroii semestraleq %1818,01
603,0.
.
=×== 
 
EXEMPLO 2 Determinar as taxas mensal e trimestral 
equivalentes (juros simples) à taxa 24% ao ano. 
 
mêsaoou
tenho
queroii mensaleq %202,012
124,0.
.
=×== 
trimestreaoou
tenho
queroii trimestraleq %606,04
124,0.
.
=×== 
 
EXEMPLO 3 Sabendo que a taxa é 3% ao mês de juros 
compostos, obter a taxa equivalente 
a) anual b) semestral 
 
a) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq 
( )
aa
ia
%6,42103,1
103,01
12
1
12
≅−=
=−+=
 
 
 
Na Científica, digite: 
1.03 ^ 12 − 1 = X 100 = 
 
Na HP-12C (modo RPN), digite: 
1.03 ENT 12 xy 1 − 100 X 
 
b) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq 
( )
as
is
%4,19103,1
103,01
6
1
6
≅−=
=−+=
 
 
 
Na Científica, digite: 
1.03 ^ 6 − 1 = X 100 = 
 
Na HP-12C (modo RPN), digite: 
1.03 ENT 6 xy 1 − 100 X 
 
EXEMPLO 4 Sabendo que a taxa é 24% ao ano (juros 
compostos), calcule a taxa equivalente 
a) mensal b) semestral 
 
a) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq 
( )
am
im
%8,1124,1
124,01
12
1
12
1
≅−=
=−+=
 
 
 
Na Científica, digite: 
1.24 ^ 12 X-1 − 1 = X 100 = 
 
Na HP-12C (modo RPN), teclar: 
1.24 ENT 12 x/1 xy 1 − 100 X 
 
b) ( ) 11 −+= tenhoqueroiieq 
( )
as
is
%4,11124,1
124,01
2
1
2
1
≅−=
=−+=
 
 
Na Científica, digite: 
1.24 ^ 2 X-1 − 1 = X 100 = 
 
Na HP-12C (modo RPN), teclar: 
1.24 ENT 2 x/1 xy 1 − 100 X 
 
EXEMPLO 5 Um corretor de títulos propõe a seu cliente 
uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o in-
vestidor souber de outra aplicação em que possa ganhar 
9% a.t. (a juros compostos), qual será sua melhor esco-
lha? 
Fonte: MATHIAS, W. F., GOMES, J. M. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo : 
ATLAS, 2004 (adaptado). 
Resposta: Aplicar a 9% ao trimestre, que equivale a 41,16% a.a. 
 
 
1.2. TAXA EFETIVA. TAXA NOMINAL. TAXA REAL 
 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SE-
SES, 2014. (LIVRO PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
A taxa efetiva efi fornece a real remuneração (ou custo) 
da operação durante todo o período. 
 
EXEMPLO 6 R$1.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 
1% ao mês (regime composto), depois de 10 meses, gera-
ram um montante igual a R$1.104,62. Qual foi a remune-
ração real (taxa efetiva) obtida nessa operação financeira? 
 
( ) ( )
%46,101046,0
1000
62,104
1000
100062,1104
:,
%46,101046,0:
1046,0101,1101,0111 1010
ou
PV
PVFV
temosfatoDe
ouiLogo
ii
ef
n
ef
==
−
=
−
=
≅−=−+=−+=
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
� Prof. BORGES – 
LISTA 
MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS 
 
 
 
 
ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 2 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br 
Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos 
 
 
 
EXEMPLO 7 Qual a taxa efetiva anual, no sistema 
de juros compostos, de um contrato que estipula a 
taxa nominal de 18% ao ano, capitalizada men-
salmente? 
 
A taxa nominal de 18% ao ano, capitalizada mensalmente, signi-
fica mêsaomêsaoi %5,1
12
%18
== . Então: 
( ) ( )
%56,191956,0:
1956,01015,11015,0111 1212
ouiLogo
ii
ef
n
ef
=
≅−=−+=−+=
 
Conclusão: no contrato a taxa é 18% ao ano capitalizada men-
salmente, mas na realidade a taxa é 19,56% ao ano. 
 
 
EXEMPLO 8 A remuneração de R$100,00 em de-
terminado título atingiu 12,8% num período e a infla-
ção foi de 9,2%. Qual foi o ganho nominal? Qual foi 
a taxa e o ganho real? 
 
A taxa real ir pode ser obtida por 
 



−
+
+
=
períodonoinflaçãodetaxaéI
nominaltaxaaéi
,1
1
1
onde
I
iir 
 
 
No caso, temos: 
 
Ganho nominal: 80,12$8,12128,0100 RGNGN =⇒=×= 
 
Taxa real: %3,3033,01
092,01
128,011
1
1
=⇒≅−
+
+
=−
+
+
= rr iI
ii 
 
Ganho real: 30,3$3,3033,0100 RGRGR =⇒=×= 
 
 
 
 
 
2. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
Dois ou mais capitais, com datas de vencimentos 
diferentes, são equivalentes numa determinada 
data (focal) se seus valores, atualizados para essa 
data, são iguais, a uma dada taxa. 
 
EXEMPLO 9 Hoje uma pessoa deve a você 
R$1.000,00. O que é melhor para você: receber 
R$1.000,00 hoje, ou R$1.310,00 daqui a três meses, 
supondo uma inflação de 10% ao mês? Justifique. 
 
É necessário comparar os capitais numa mesma data: hoje (data 
0) ou daqui a três meses (data 3), à taxa de 10% ao mês 
 
1º. modo) “Levando” o valor 1000 para data 3, temos 
( ) 133110,011000 33 =+=FV e comparando: FV3>1310 
Logo, é melhor receber R$1.000,00 hoje 
 
2º. modo) “Trazendo” o valor 1310 para data 0, temos 
( ) 22,98410,01
1310
30 ≅+
=PV e comparando: PV0<1000 
Logo, é melhor receber R$1.000,00 hoje 
 
 
EXEMPLO 10 Uma pessoa deve a outra os seguintes 
valores: $50.000,00 com vencimento para 30 dias e 
$70.000,00 com vencimento em 150 dias. Sentindo 
que não poderá pagar essas quantias nas datas pre-
vistas, propõe a seu credor o pagamento total da 
dívida daqui a 4 meses. De quanto deverá ser esse 
pagamento, se foi combinada a taxa de juros com-
postos de 2% a.m.? 
 
Seja P o pagamento pedido. 
À taxa de 2% ao mês, vamos somar na data 4 meses os capitais 
devidos. Então 
 
1º) “Levando” o valor 50000 da data 1 para a data 4, temos 
( ) 40,060.5302,0150000 350000 =+=FV 
 
2º. modo) “Trazendo” o valor 70000 da data 5 para a data 4, 
temos 
( ) 45,627.6802,01
70000
170000 ≅+
=PV e somando, temos: 
P = 53.060,40 + 68.627,45 = 121.687,85 
 
Logo, o pagamento deverá ser de R$121.687,85 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
� Prof. BORGES – 
LISTA 
MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS 
 
 
 
 
ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 3 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br 
Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos 
 
3. DESCONTOS 
 
Desconto é a quantia que se paga a menos sobre 
uma dívida, por pagá-la antes do vencimento. 
 
Desconto = Valor Nominal – Valor Atual ou D = N - A 
 
É uma prática adotada em diversas operações 
comerciais e bancárias. 
Por exemplo, na compra de um bem de consumo 
(TV, celular, geladeira, etc.), uma pessoa pode optar 
entre pagamento parcelado ou à vista com desconto. 
Outro exemplo é o que as empresas realizam por 
meio de operações de desconto de duplicatas em 
bancos comerciais, a uma taxa proposta pelo banco.A empresa recebe antecipadamente do banco (um 
valor descontado), que depois cobra do cliente da 
empresa (o valor nominal do título). 
 
3.1. DESCONTO SIMPLES 
 
É baseado nos conceitos e cálculos de juros simples 
e adotado, em geral em operações de curto prazo. 
Na prática, há dois tipos de desconto simples: 
• desconto bancário (ou comercial ou “por fora”) 
• desconto racional (ou “por dentro”) 
 
EXEMPLO 11 Suponha que uma empresa tenha 
emitido um título, com valor nominal (ou de face) de 
R$ 8.500,00, vencível em 10 dezembro e descontado 
em 10 agosto à taxa de 2,5% a.m. Faça um DFC 
(Diagrama de Fluxo de Capitais) e calcule o valor do 
desconto e o valor atual do título se for adotado des-
conto comercial simples ou “por fora”. 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO 
PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
Neste método a taxa de desconto iD incide sobre o valor 
nominal (N) do título. Assim, temos: 
 
Desconto: niND D ××= 
 
No caso: 
00,850$8504025,08500 RDniND D =⇒=××=××= 
 
Valor atual (ou valor descontado): DNA −= 
 
No caso: 
00,650.7$76508508500 RADNA =⇒=−=−=
 
 
Obs.: o valor descontado (ou valor atual) pode também ser 
calculado por ( )niNA D ×−= 1 . Veja: 
( ) ( ) 00,650.7$76504025,0185001 RAniNA D =⇒=×−=×−= 
 
EXEMPLO 12 Suponha que uma empresa tenha 
emitido um título, com valor nominal (ou de face) de 
R$ 8.500,00, vencível em 10 dezembro e descontado 
em 10 agosto à taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor 
do desconto e o valor atual do título se for adotado o 
desconto racional simples (ou “por dentro”)? 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO 
PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
Neste método o desconto é aplicado sobre o valor nominal 
e não sobre o valor atual do título. 
 
Assim, temos: ( )niAN ×+= 1 e AND −= 
 
No caso: 
 ( ) ( )
27,727.7$
1,1
850085001,1
4025,0185001
RAAA
AniAN
≅⇒=⇒=×⇒
⇒×+=⇒×+=
 
e 73,772$73,77227,77278500 RDAND =⇒=−=−= 
 
 
3.2. DESCONTO COMPOSTO 
 
É baseado nos conceitos e cálculos de juros compos-
tos e adotado, em geral em operações de longo pra-
zo. 
Na prática, há dois tipos de desconto composto: 
• desconto bancário (ou comercial ou “por fora”) 
• desconto racional (ou “por dentro”) 
 
EXEMPLO 13 Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 
75 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descon-
tada pelo método do desconto composto racional 
(ou composto “por dentro”) em um banco à taxa de 
3,5% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na 
conta do cliente e o valor do desconto. 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO 
PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
Para o desconto composto racional (ou composto 
“por dentro”) usamos as fórmulas: 
 
( )niPVFV += 1
 e PVFVD −= 
 
No caso: 
 
( ) ( ) 98,480.22$035,01245001 5,2 RPVPViPVFV n =⇒+=⇒+= 
e 02,019.2$98,2248024500 RDPVFVD =⇒−=−= 
 
EXEMPLO 14 Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 
75 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descon-
tada pelo método do desconto composto comercial 
(ou composto “por dentro”) em um banco à taxa de 
3,5 % ao mês. Calcular o valor líquido creditado na 
conta do cliente e o valor do desconto. 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO 
PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
Para o desconto composto comercial (ou compos-
to “por fora”) usamos as fórmulas: 
 
( )niNA −= 1
 e AND −= 
 
No caso: 
 
( )
81,087.2$19,412.2224500
19,412.22$035,0124500 5,2
RDDe
RAA
=⇒−=
=⇒−=
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
� Prof. BORGES – 
LISTA 
MF 4 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS 
 
 
 
 
ListaMF4 – Matemática Financeira – Pág. 4 –Prof. Antonio José BORGES– ajborges.u@uol.com.br 
Equivalência de taxas. Equivalência de capitais. Descontos 
 
�� T A R E F A 
 
(T1) Calcule as taxas trimestral e anual equivalentes (juros 
simples) à taxa 2% ao mês. 
 
(T2) Determinar as taxas mensal e diária equivalentes 
(juros simples) à taxa 3,6% ao trimestre. 
 
(T3) Sabendo que a taxa é 2% ao mês de juros compos-
tos, obter a taxa equivalente 
a) anual b) semestral 
 
(T4) Sabendo que a taxa é 36% ao ano (juros compostos), 
calcule a taxa equivalente 
a) mensal b) semestral 
 
(T5) Calcule as taxas equivalente das seguintes taxas de 
juros compostos (com duas casas decimais): 
a) 1,95% aos 31 dias para ao ano civil (365 dias) 
b) 2,45% aos 22 dias para ao dia 
c) 45,08% ao ano (comercial: 360 dias) para 62 dias 
Fonte: LAPPONI, J. C. Matemática Financeira; colaboração de André L. G. Lapponi. Rio 
de Janeiro : ELSEVIER, 2005 (adaptado). 
 
(T6) (EXEMPLO 6B) Determine a taxa efetiva resultante da 
aplicação de um investimento inicial (principal) de 
$1.000,00, a 10% ao ano de juros compostos, no final de 6 
anos. 
 
(T7) (EXEMPLO 7B) Qual a taxa efetiva anual, no sistema 
de juros compostos, de um financiamento que estipula a 
taxa nominal de 120% ao ano, capitalizada mensalmen-
te? 
 
(T8) (EXEMPLO 8B) Uma pessoa aplicou R$400.000,00 num 
título por 3 meses à taxa nominal de 6,5% ao trimestre e 
inflação de 4% ao trimestre. Calcule o ganho nominal, a 
taxa real trimestral e o ganho real dessa operação. 
 
(T9) (EXEMPLO 11B) Uma pessoa pretende saldar um título 
de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Saben-
do-se que a taxa de desconto comercial contratada é de 
40% a.a., obtenha o desconto e o valor descontado. 
Fonte: MATHIAS, W. F., GOMES, J. M. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo : 
ATLAS, 2004 (adaptado). 
 
(T10) (EXEMPLO 12B) Determinar a taxa mensal de desconto 
racional simples de uma nota promissória negociada 90 
dias antes da data de seu vencimento, sendo seu valor 
nominal igual a R$27.000,00 e seu valor líquido na data do 
desconto de R$ 24.107,14. 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO 
PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
(T11) O Banco do Futuro descontou uma nota promissória 
por R$ 15.000,00. O banco opera com desconto racional 
simples e a taxa de desconto é de 27,60% ao ano. Saben-
do que o prazo de vencimento da nota promissória é de 5 
meses, calcule o valor nominal. 
Fonte: PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. (LIVRO 
PROPRIETÁRIO, disponível no SIA) (adaptado). 
 
R E S P O S T A S 
 
(T1) 6% a.t.; 24% a.a. 
 
(T2) 1,2% a.m.; 0,04% a.d. 
 
(T3) a) 26,82% a.a.; b) 12,62% a.s. 
 
(T4) a) 2,6% a.m.; b) 16,6% a.s. 
 
Resolução: 
a) ( ) 11 −+= tnqntiqi 
( )
am
im
%6,2136,1
136,01
12
1
12
1
=−=
=−+=
 
 
 
Na HP-12C (modo RPN), teclar: 
 
1.36 ENT 12 x/1 xy 1 −0 
 
b) ( ) 11 −+= tnqntiqi 
( )
as
is
%6,16136,1
136,01
2
1
2
1
=−=
=−+=
 
 
 
Na HP-12C (modo RPN), teclar: 
 
1.36 ENT 2 x/1 xy 1 −0 
 
(T5) a) 25,53% ao ano. Resolução: 
 ( ) ⇒−+= 11 tenhoqueroiieq ( ) aaia %53,2510195,01 31365 =−+= 
Na HP-12C (modo RPN), digite: 
1.0195 ENT 365 ENT 31 ENT ÷ xy 1 −0 
 
b) 0,11% ao dia 
 
c) 6,618% aos 62 dias 
 
(T6) ( ) ( )
%16,777716,0
1000
56,771
1000
100056,1771
1000
10001,11000
:,
%6,777716,0:
7716,011,1110,0111
6
66
ou
PV
PVFV
temosfatoDe
ouiLogo
ii
ef
n
ef
≅=
−
=
−×
=
−
=
≅−=−+=−+=
 
 
(T7) A taxa nominal de 120% ao ano, capitalizada mensalmente, 
significa mêsaomêsaoi %10
12
%120
== . Então: 
( ) ( )
%84,2131384,2:
1384,211,111,0111 1212
ouiLogo
ii
ef
n
ef
=
≅−=−+=−+=
 
Conclusão: no contrato a taxa é 120% ao anocapitalizada men-
salmente, mas na realidade a taxa é 213,84% ao ano! 
 
(T8) Temos para o trimestre considerado: 
 
Ganho nominal: 
00,000.26$26000065,0400000 RGNGN =⇒=×= 
 
Taxa real: %4,2024,01
04,01
065,011
1
1
=⇒≅−
+
+
=−
+
+
= rr iI
ii 
 
Ganho real: 
00,600.9$9600024,0400000 RGRGR =⇒=×= 
 
(T9) $550,00 e $4.950,00 
 
(T10) Resolução: 
( ) ( )
( )
amiii
ii
iniAN
%404,0
3
12,01
14,24107
270003
14,24107
2700031270003114,24107
3114,24107270001
=⇒==⇒−=⇒
⇒=+⇒=+⇒
⇒×+=⇒×+=
 
 
(T11) R$16.725,00

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