metodo briot ruffini

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a) Usando o método de Briot-Ruffini, deve-se escrever os coeficientes do polinômio 
(potências ordenadas de x, ou seja, da maior para a menor, até o termo constante) 
em uma linha de cálculo. Passar um traço para separar os valores de teste de raiz e 
resultados para coeficientes novos pela fatoração. Para o polinômio: 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 tem-se então: 
 
 1 -2 -5 6 
 
Dica: Se a soma dos coeficientes for igual a zero, uma das raízes é igual a 1. 
(Neste caso: 1 + (-2) + (-5) + 6 =0, tendo uma raiz igual a 1) 
Deve-se escrever a raiz a ser testada (ou conhecida pela dica) no início da segunda linha, 
abaixo do traçado, fazendo: 
 1 -2 -5 6 
 1 
Para completar a linha deve-se baixar o valor do coeficiente principal (neste caso com 
valor 1) 
 1 -2 -5 6 
1 1 
Para preencher as demais posições da segunda linha, deve-se multiplicar o último valor 
conhecido dela (neste caso 1) pela raiz em teste (neste caso 1), e somar o resultado com 
o coeficiente da primeira linha a ser recalculado (neste caso o -2) resultado: 1x1+(-2) = -
1. O valor obtido é inserido na segunda linha abaixo do coeficiente que está sendo 
recalculado. 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 
 
Repetindo o processo: (-1) . (1) + (-5) = -1 -5 = -6 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 -6 
 
Repetindo o processo (-6) . (1) + 6 = 0 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 -6 0 
Quando a tabela está completa e na última posição surgir um zero (0), como ocorreu 
neste caso, indica que o valor testado é uma raiz do polinômio e pode-se reescrever o 
polinômio original na forma fatorada como sendo: 
(𝑥 − 1). (1. 𝑥2 − 1𝑥 − 6) 
Note que o primeiro fator envolve a raiz (x menos raiz), e o segundo fator tem os 
coeficientes determinados pelos valores numéricos que estão na segunda linha da 
tabela (em verde). Exclui-se o zero da direita (que somente indica que a divisão é exata) 
e a partir dele, da direita para a esquerda tem-se o coeficiente constante (-6), o 
coeficiente de x (que é -1) e o coeficiente de 𝑥2 (que é 1). O valor inicial (à esquerda) na 
segunda linha é a raiz que foi obtida. 
De forma análoga pode-se fatorar o polinômio que obtivemos (𝑥2 − 𝑥 − 6) O valor -6 
(coeficiente constante) sugere ser múltiplo de 2 ou 3 (sinais positivos e negativos devem 
ser considerados). 
Testando para x = 2 
 1 -1 -6 
 2 1 1 -4 
 
O último valor numérico da segunda linha não é zero (resultou -4) indicando que x = 2 
não é raiz. 
Testando para x = -2 
 
 1 -1 -6 
 -2 1 -3 0 
 
O último valor da segunda linha é zero, logo o valor testado x = -2 é raiz da equação 
polinomial inicial. 
 
Podemos reescrever: 
(𝑥 − 1). (𝑥 + 2). (𝑥 − 3) = 0 
E as raízes são 1, -2 e 3. 
 
 
b) Para o polinômio 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 4 = 0 verifica-se que a soma dos 
coeficientes é igual a zero, logo uma raiz é 1. Usando Briot-Ruffini para 
determinar os coeficientes da fatoração. 
 
 1 4 -1 -4 
1 1 5 4 0 
 
Reescrevendo (𝑥 − 1) . (𝑥2 + 5𝑥 + 4) = 0 
Para o trinômio 𝑥2 + 5𝑥 + 4 o coeficiente constante (4) sugere raízes -1, ou 2, ou -2, 
ou 4 ou -4. 
Testando x = -1 
 1 5 4 
-1 1 4 0 
O zero na última posição da segunda linha indica que a o valor testado é raiz, e pode-se 
escrever: 
(𝑥 − 1). (𝑥 + 1). (𝑥 + 4) = 0 
Com as raízes 1, -1 e -4. 
 
 
 
c) Para o polinômio 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 a soma dos coeficientes 
não é nula, logo x = 1 não é raiz. O coeficiente constante (-3) é múltiplo de 3, -3 
e -1, que poderiam ser alguma raiz a ser determinada. 
Testando x = 3 
 1 -1 -5 -3 
3 1 2 1 0 
 
Pode-se reescrever: 
(𝑥 − 3). (𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 0 
O coeficiente constante (1) somente é múltiplo de 1 e de -1, mas é sabido que x=1 não 
é raiz, restando x = -1. Testando vem: 
 1 2 1 
-1 1 1 0 
 
Reescrevendo tem-se: 
(𝑥 − 3). (𝑥 + 1). (𝑥 + 1) = 0 
 
As raízes obtidas são : 3, -1 (raiz dupla). 
 
 
 
d) Para o trinômio 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 observa-se que há termos com potências 
de x faltantes (𝑥3, 𝑒 𝑥). Para empregar o método de Briot-Ruffini é necessário completar 
as potências faltantes, e então escreve-se 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 𝑥4 + 0. 𝑥3 −
13. 𝑥2 + 0𝑥 + 36 
O valor x = 1 não é raiz pois a soma dos coeficientes não é nula. 
O valor +36 sugere multiplicidade envolvendo -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 9, -9, 12, -12, 
18, e -18. 
 
Testando para x = -1 
 1 0 -13 0 36 
-1 1 -1 -12 12 24 
 
Não é raiz. 
 
Testando para x = 2 
 1 0 -13 0 36 
2 1 2 -9 -18 0 
O valor x = 2 é raiz, e resulta pela fatoração: 
(𝑥 − 2). (𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 18) = 0 
 
O valor -18 sugere multiplicidade envolvendo -2, 3, -3, 6, -6, 18 e -18. 
Testando para x = -2 
 1 2 -9 -18 
-2 1 0 -9 0 
Resultando para fatoração: 
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2). (𝑥2 − 9) = 0 
 
 
O valor -9 sugere multiplicidade de 3, -3, 9 e -9. 
 
Testando para x = 3 vem: 
 1 0 -9 
3 1 3 0 
 
A fatoração completa é : (𝑥 − 2). (𝑥 + 2). (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0 que resulta para 
as raízes os valores, 2, -2, 3 e -3. 
 
 
 
 
e) No polinômio 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3 − 5𝑥2 − 20𝑥 − 12 nota-se que o 
coeficiente principal não é igual a 1, o que implica em ter raiz fracionária. Para a 
determinação desta raiz, deve-se pensar em uma fração onde o numerador é divisor 
do coeficiente constante (-12) (valores seriam 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 e -12) 
e o denominador é divisor do coeficiente principal (2) (valores seriam 1, -1, 2 e -2). 
As combinações resultariam em ±
1
2
 e ±
3
2
 , pois os demais valores poderiam ser 
simplificados resultando inteiros. 
Testando x = ½ 
 2 5 -5 -20 -12 
½ 2 6 -2 -21 -45/2 
Não é raiz. 
Testando x = -½ 
 2 5 -5 -20 -12 
−
1
2
 2 4 -7 -33/2 -15/4 
Não é raiz. 
 
Testando x = 
3
2
 
 2 5 -5 -20 -12 
3
2
 2 8 7 -19/2 -105/4 
Não é raiz. 
 
Testando x = -
3
2
 
 2 5 -5 -20 -12 
−
3
2
 2 2 -8 -8 0 
Uma das raízes é x = -3/2, que permite fatorar o polinômiocomo sendo: 
(𝑥 +
3
2
) . (2𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥 − 8) = 0 
 
O segundo fator tem todos os coeficientes pares, então o valor 2 pode ser evidenciado, 
resultando 
(𝑥 +
3
2
) . (2𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥 − 8) = (𝑥 +
3
2
) . 2(𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4)
= 2. (𝑥 +
3
2
) . (𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4) = 0 
 
Observando o coeficiente constante (-4) do último polinômio, sugere multiplicidade 
com 1, -1, 2, -2, 4 e -4. A possibilidade de raiz x =1 é excluída pois a soma dos coeficientes 
não é nula. 
Testando x = -1. 
 1 1 -4 -4 
-1 1 0 -4 0 
 
 
Obteve-se uma raiz, que leva a fatoração. 
2 (𝑥 +
3
2
) . (𝑥 + 1). (𝑥2 + 0𝑥 − 4) = 0 
 
Para o último polinômio, o coeficiente constante sugere raízes -2 e 2. 
Testando x = 2 
 1 0 -4 
2 1 2 0 
O valor testado é raiz e tem-se a fatoração completa: 
2 (𝑥 +
3
2
) . (𝑥 + 1). (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 
 
Com raízes -3/2, -1, 2 e -2. 
 
 
 
 
f) Para o polinômio 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 27𝑥 + 9 = 0 considerando os divisores 
do coeficiente constante (9), tem-se 1, -1, 3, -3, 9 e -9 que serão os possíveis 
numeradores da raiz fracionária. Observando o coeficiente principal (3), tem 
divisores 1, -1, 3 e -3 que serão possíveis valores para o denominador da raiz 
fracionária. Combinando estes valores, as possíveis frações seriam 1/3 e -1/3. 
 
 
Testando x = 1/3 
 3 -1 -27 9 
1
3
 3 0 -27 0 
 
O valor testado é raiz, levando a forma fatorada 
(𝑥 −
1
3
) . (3𝑥2 + 0𝑥 − 27) = (𝑥 −
1
3
) . 3(𝑥2 − 9) = 3. (𝑥 −
1
3
) . (𝑥2 − 9) = 0 
 
O coeficiente constante do binômio 𝑥2 − 9 sugere multiplicidade com 3 e -3. 
Testando para x = 3, vem: 
 1 0 -9 
3 1 3 0 
Pode-se escrever a fatoração completa como 
3. (𝑥 −
1
3
) . (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) = 0 
Sendo as raízes 1/3, 3 e -3. 
 
 
 
g) Considerando o polinômio 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 − 4𝑥 observa-se que 
todos os termos tem a variável x, que pode ser fatorada resultando 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥. (2𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4) = 0 Considerando o polinômio 
2𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4 o coeficiente principal indica que há uma raiz fracionária onde 
o numerador poderá ser 1, -1, 2, -2, 4 e -4 (divisores de 4 – coeficiente constante) e 
o numerador poderá ser 1, -1, 2 e -2 (divisores de 2 – coeficiente principal).Fazendo 
as combinações tem-se ½ e -½ como possibilidades. 
 
Testando x = ½ 
 2 -1 8 -4 
½ 2 0 8 0 
 
Pode-se escrever na forma fatorada 
 𝑥. (2𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4) = 𝑥. (𝑥 −
1
2
) . (2𝑥2 + 8) = 0 
 
No último binômio os coeficientes são pares e o 2 pode ser fatorado, resultando: 
𝑥. (𝑥 −
1
2
) . (2𝑥2 + 8) = 𝑥. (𝑥 −
1
2
) . 2(𝑥2 + 4) = 2𝑥. (𝑥 −
1
2
) . (𝑥2 + 4) = 0 
 
O binômio 𝑥2 + 4 não pode ser fatorado pois é uma expressão irredutível. É possível 
determinar as raízes imaginárias através de: 
𝑥2 + 4 = 0 
𝑥2 = −4 
𝑥 = ±√−4 = ±√4. (−1) = ±√4. √−1 = ±2𝑖 
 
As raízes do polinômio são: 0, ½ (reais) , 2i e -2i.(imaginárias)