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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PROFESSORES: JOANA DARC E TATIANA AULA 9 - TUTORIA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I Questa˜o 1. Determine o raio e o intervalo de convergeˆncia das se´ries abaixo: a) ∞∑ n=1 (−1)nxn (2n− 1)32n−1 b) ∞∑ n=1 lnn n+ 1 (x− 5)n Resoluc¸a˜o: a) Usaremos o Teste da Raza˜o para x 6= 0. Temos lim n→∞ ∣∣∣∣an+1a n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ (−1) n+1xn+1 (2(n+ 1)− 1)32(n+1)−1 · (2n− 1)32n−1 (−1)nxn ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ (−1) n(−1)xnx (2n+ 1)32n−132 · (2n− 1)32n−1 (−1)nxn ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ (−1)x(2n+ 1)32 · (2n− 1) ∣∣∣∣ = |x| 9 lim n→∞ ∣∣∣∣2n− 12n+ 1 ∣∣∣∣ = |x|9 · Logo pelo Teste da Raza˜o a se´rie dada sera´ absolutamente convergente para x 6= 0, apenas quando |x| 9 < 1, ou seja, |x| < 9 ⇔ −9 < x < 9 e x 6= 0. Para x = 0 temos que ∞∑ n=1 (−1)nxn (2n− 1)32n−1 = 0. Logo R = 9 e´ o raio de convergeˆncia da se´rie e no intervalo (−9, 9) a se´rie e´ convergente. Analisaremos a convergeˆncia da se´rie nos extremos desse intervalo. Para x = −9 temos que ∞∑ n=1 (−1)nxn (2n− 1)32n−1 = ∞∑ n=1 (−1)n(−9)n (2n− 1)32n−1 = ∞∑ n=1 (−1)2n9n (2n− 1)32n3−1 = ∞∑ n=1 3 2n− 1 diverge, pois 2n− 1 < 2n, ∀n ≥ 1 ⇒ 1 2n < 1 2n− 1 · Como a se´rie ∞∑ n=1 1 n diverge, uma vez que e´ uma se´rie-p, com p = 1 ≤ 1, segue que a se´rie ∞∑ n=1 1 2n tambe´m diverge. Logo, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie ∞∑ n=1 1 2n− 1 diverge. Para x = 9 temos que ∞∑ n=1 (−1)nxn (2n− 1)32n−1 = ∞∑ n=1 (−1)n9n (2n− 1)32n−1 = ∞∑ n=1 (−1)n32n (2n− 1)32n3−1 = ∞∑ n=1 (−1)n3 2n− 1 converge pelo Teste de Leibniz (Teste para Se´ries Alternadas), pois a n = 3 2n− 1 > 0, para todo n ≥ 1. A sequeˆncia (a n ) n≥1 e´ decrescente. De fato, 2n− 1 < 2(n+ 1)− 1, ∀n ≥ 1 ⇒ a n+1 = 3 2(n + 1)− 1 < 3 2n− 1 = a n . Ale´m disso, lim n→∞ a n = lim n→∞ 3 2n− 1 = 0· Portanto o intervalo de convergeˆncia da se´rie e´ (−9, 9]. b) Usaremos o Teste da Raza˜o para x 6= 5. Temos lim n→∞ ∣∣∣∣an+1a n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣(ln(n + 1))(x− 5) n+1 (n+ 1) + 1 · n+ 1 (lnn)(x− 5)n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣(ln(n + 1))(x− 5) n(x− 5) n+ 2 · n+ 1 (lnn)(x− 5)n ∣∣∣∣ = |x− 5| lim n→∞ ∣∣∣∣ ln(n + 1)lnn · n + 1 n + 2 ∣∣∣∣ = |x− 5|, pois lim n→∞ ln(n + 1) lnn = 1 e lim n→∞ n + 1 n + 2 = 1· De fato, lim x→∞ ln(x+ 1) ln x = lim x→∞ (ln(x+ 1))′ (ln x)′ = lim x→∞ x x+ 1 = 1· Logo, pelo Teste da Raza˜o, a se´rie dada sera´ absolutamente convergente para x 6= 5, apenas quando |x− 5| < 1, isto e´, −1 < x− 5 < 1 ⇔ 4 < x < 6 e x 6= 5. Para x = 5 temos que ∞∑ n=1 lnn n+ 1 (x− 5)n = 0. Assim, R = 1 e´ o raio de convergeˆncia da se´rie e no intervalo (4, 6) a se´rie e´ convergente. Analisaremos a convergeˆncia da se´rie nos extremos desse intervalo. Para x = 4 temos que ∞∑ n=1 lnn n+ 1 (x− 5)n = ∞∑ n=1 lnn n + 1 (4− 5)n = ∞∑ n=1 (−1)n lnn n+ 1 converge, pelo Teste de Leibniz. Com efeito, a n = lnn n + 1 > 0, para todo n ≥ 2. Seja f(x) = ln x x+ 1 = ln x(x+ 1)−1 uma func¸a˜o real. Logo f ′(x) = 1 x (x+ 1)−1 − ln x(x+ 1)−2 = (x+ 1)− x ln x x(x+ 1)2 < 0, para todo x ≥ 4, isto e´, a func¸a˜o f(x) e´ decrescente, para todo x ≥ 4. Ale´m disso, lim n→∞ a n = lim n→∞ lnn n + 1 = 0, pois lim x→∞ ln x x+ 1 = lim x→∞ (ln x)′ (x+ 1)′ = lim x→∞ 1 x = 0· Portanto, pelo Teste de Leibniz, a se´rie ∞∑ n=4 (−1)n lnn n+ 1 converge, consequentemente a se´rie ∞∑ n=1 (−1)n lnn n+ 1 converge, uma vez que essas se´ries se diferem por um nu´mero finito de termos. Para x = 6 temos que ∞∑ n=1 lnn n+ 1 (x− 5)n = ∞∑ n=1 lnn n+ 1 (6− 5)n = ∞∑ n=1 lnn n+ 1 diverge, pelo Teste de Comparac¸a˜o por Limite, pois a se´rie ∞∑ n=1 1 n+ 1 diverge (uma vez que a se´rie-p ∞∑ n=1 1 n , com p = 1 ≤ 1, diverge e essas se´ries se diferem por um nu´mero finito de termos). Considerando a n = lnn n+ 1 > 0, para todo n ≥ 2 e b n = 1 n+ 1 > 0, para todo n ≥ 0 temos que lim n→∞ a n b n = lim n→∞ lnn n + 1 1 n + 1 = lim n→∞ (n + 1) lnn n+ 1 = lim n→∞ lnn =∞· Assim, pelo Teste de Comparac¸a˜o por Limite, a se´rie ∞∑ n=2 lnn n + 1 diverge, consequentemente a se´rie ∞∑ n=1 lnn n + 1 tambe´m diverge, pois elas se diferem por um nu´mero finito de termos. Logo o intervalo de convergeˆncia da se´rie e´ [4, 6). Questa˜o 2. Determine a se´rie de Maclaurin da func¸a˜o f(x) = cosh x. Resoluc¸a˜o: A se´rie de Maclaurin da func¸a˜o f corresponde a se´rie de Taylor centrada em a = 0. Logo f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(a) n! (x− a)n = ∞∑ n=0 f (n)(0) n! xn· Temos f(x) = cosh x = ex + e−x 2 · Logo f ′(x) = ex − e−x 2 = senh x, f ′′(x) = cosh x, f (3)(x) = cosh x e, assim sucessivamente. Portanto, f (2n)(x) = cosh x e f (2n+1)(x) = senh x, para todo n ≥ 0. E, f (2n)(0) = cosh 0 = 1 e f (2n+1)(0) = senh 0 = 0, para todo n ≥ 0. Logo, f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(0) n! xn = ∞∑ n=0 f (2n)(0) (2n)! x2n = 1 + x2 2! + x4 4! + x6 6! + x8 8! + ... = ∞∑ n=0 x2n (2n)! · Usaremos o Teste da Raza˜o para determinar o raio de convergeˆncia da se´rie. Para x 6= 0 temos lim n→∞ ∣∣∣∣an+1a n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ x 2(n+1) (2(n+ 1))! · (2n)! x2n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ x 2nx2 (2n+ 2)(2n+ 1)(2n)! · (2n)! x2n ∣∣∣∣ = x2 lim n→∞ 1 (2n + 2)(2n+ 1) = 0 < 1. Logo, pelo Teste da Raza˜o, a se´rie sera´ absolutamente convergente para todo x 6= 0. Para x = 0 temos que ∞∑ n=0 x2n (2n)! = 1. Portanto, R =∞ e´ o raio de convergeˆncia da se´rie de Maclaurin obtida. Assim, f(x) = ∞∑ n=0 x2n (2n)! , para todo x ∈ R. Questa˜o 3. Determine a se´rie de Taylor da func¸a˜o f(x) = 1 1− x centrada em a = 1 2 · Resoluc¸a˜o: A se´rie de Taylor centrada em a e´ dada por f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(a) n! (x− a)n = ∞∑ n=0 f (n) ( 1 2 ) n! ( x− 1 2 ) n · Temos f(x) = (1−x)−1. Logo f ′(x) = (1−x)−2, f ′′(x) = 2(1−x)−3, f (3)(x) = 3!(1−x)−4, f (4)(x) = 4!(1− x)−5 e, assim sucessivamente. Logo, f (n)(x) = n!(1− x)−n−1, para todo n ≥ 0. E, f (n) ( 1 2 ) = n! ( 1 2 )−n−1 = n!2n+1. Portanto, f(x) = ∞∑ n=0 f (n) ( 1 2 ) n! ( x− 1 2 ) n = ∞∑ n=0 n!2n+1 n! ( x− 1 2 ) n = ∞∑ n=0 2n+1 ( x− 1 2 ) n · Usaremos o Teste da Raza˜o para determinar o raio de convergeˆncia da se´rie. Para x 6= 1 2 temos lim n→∞ ∣∣∣∣an+1a n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣∣ 2(n+1)+1 ( x− 1 2 ) n+1 2(n+1) ( x− 1 2 ) n ∣∣∣∣∣ = 2 ∣∣∣∣x− 12 ∣∣∣∣ · Logo, pelo Teste da Raza˜o, a se´rie sera´ absolutamente convergente para todo x 6= 1 2 , apenas quando 2 ∣∣x− 1 2 ∣∣ < 1, ou seja, ∣∣∣∣x− 12 ∣∣∣∣ < 12 ⇔ − 1 2 < x− 1 2 < 1 2 ⇔ 0 < x < 1 e x 6= 1 2 · Para x = 1 2 temos que ∞∑ n=0 2n+1 ( x− 1 2 ) n = 2. Portanto, R = 1 2 e´ o raio de convergeˆncia da se´rie de Taylor obtida e f(x) = ∞∑ n=0 2n+1 ( x− 1 2 ) n , quando ∣∣x− 1 2 ∣∣ < 1 2 ·
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