APRESENTACAO DA AULA 4

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 4: Aplicações de Derivadas 
Unidade II: Aplicações de Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 4: Aplicações de Derivadas 
TAXAS
RELACIONADAS
1
MÁXIMOS E MÍNIMOS
2
TRAÇADO DE 
CURVAS
3
PRÓXIMOS 
PASSOS
Unidade II: Aplicações de Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral I
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Aplicação das derivadas de vasta utilização em Física, Química, 
nas Engenharias e em outras áreas do conhecimento.
Taxa Relacionada: taxa criada a partir das variações individuais 
de dois fenômenos e que relaciona um com o outro.
Taxas Relacionadas
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O móvel A se desloca sobre o eixo X e o 
móvel B sobre o eixo Y. Os dois móveis 
partem do ponto O e, após 1 s, encontram-
se, respectivamente, nos pontos X=4 e Y=3. 
Dado que A desloca-se a 4m/s e B a 3m/s, 
deseja-se conhecer a variação da distância 
entre os móveis.
Taxas Relacionadas
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D
D: distância entre os móveis
Pelo teorema de Pitágoras, 
Taxas Relacionadas
m/s 4: 
dt
dxA m/s 3: 
dt
dyB
?
dt
dD
222 yxD 
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D
Derivando a expressão em relação a t:
Dividindo os membros da equação por 2:
Substituindo as taxas de A e B (m/s):
Taxas Relacionadas
dt
dyy
dt
dxx
dt
dDD 222 
dt
dyy
dt
dxx
dt
dDD 
  m/s 34 yx
dt
dDD 4
dt
dx 3
dt
dy
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D
Substituindo um ponto conhecido:
Taxas Relacionadas
  m/s 34 yx
dt
dDD 
m 4x
m 3y
m 5D
 
m/s 5
m/s 
5
916
m/s 33445






 


dt
dD
dt
dD
dt
dD
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Os pontos de máximo e de mínimo de uma função são pontos de tangente horizontal (coeficiente angular 
nulo), ou seja, a derivada naqueles pontos se anula.
Máximos e mínimos de funções
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Analisando o gráfico, também podemos concluir que a função é crescente nos intervalos e 
 
 e é decrescente nos intervalos e . 
a bx1 x2 x3
Máximos e mínimos de funções
 1 , xa
 32 , xx  21 , xx  bx ,3
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Nos intervalos e a derivada de f(x) é positiva.
Nos intervalos e a derivada de f(x) é negativa.
a bx1 x2 x3
Máximos e mínimos de funções
 1 , xa  32 , xx
 21 , xx  bx ,3
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DEFINIÇÃO 
Considere uma função f definida em um intervalo I (aberto ou fechado).
 Podemos, então, concluir que:
f é crescente em I se para todo 
f é decrescente em I se para todo
Em outro caso, dizemos, então, que f é constante. 
Máximos e mínimos de funções
;0)(' ,  xfIx
.0)(' ,  xfIx
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Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 
Máximos e mínimos de funções
34)( 2  xxxf
   
34
2)('
342
42)('
4234
2
1)('
2
2
2
1
2








xx
xxf
xx
xxf
xxxxf
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Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 
Máximos e mínimos de funções
34)( 2  xxxf
e;decrescent )(0
8
3
3)1(4)1(
21)1('
2
xff 



edecrescent )(0
3
2
3040
20)0('
2
xff 



crescente; )(0
3
2
3444
24)4('
2
xff 



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Ponto crítico da 
função
Máximo local
Máximo absoluto
Mínimo local 
Mínimo absoluto
Ponto de inflexão
Máximos e mínimos de funções
0)(' 0 xf
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções
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1. Derive a função obtendo .
2. Iguale a derivada primeira a zero para determinar o(s) ponto(s) crítico(s):
3. Sendo c um ponto crítico da função, obtenha a derivada segunda e calcule seu 
valor para .
Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
 
Considerando uma função contínua em um intervalo I:
)(xf )(' xf
0)(' cf
cx 
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Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
 
Considerando uma função contínua em um intervalo I:
4. Para avaliar se c é ponto de máximo, mínimo ou inflexão considere o seguinte:
•. se , então a função tem uma inflexão em ;
•. se , então a função tem um mínimo local em ;
•. se , então a função tem um máximo local em .
5.  Para verificar se há mais algum ponto de inflexão (nos casos em que , determine o 
valor de c tal que . 
0)('' cf
0)('' cf
0)('' cf
cx 
cx 
cx 
0)(' cf
0)('' cf
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Determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
62)( 24  xxxf
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Determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
62)( 24  xxxf
Assuntos da próxima aula:
1. Modelagem e Otimização 
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
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	Slide 5
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	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
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	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
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	Slide 15
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	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22