LISTA I GAAL definitiva (1)

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Semestre: 2017.1 
LISTA I 
Vetores 
Vetores: Tratamento Geométrico 
1.Na f igura ao lado, determine as 
coordenadas dos pontos , , e . 
 
2.Com base na figura, julgue os itens em verdadeiro ou falso: 
 
a) 
b) , e são coplanares 
c) , e são coplanares 
d) e são coplanares 
e) e são coplanares 
f) , e não são coplanares 
g) é oposto a 
h) , , , , , são 
coplanares 
A B C P
→
AB  =   →GH  =  →LJ
→
LM
→
GH
→
FA
→
LE
→
JI
→
IH
( →BC  +  →CI  +  →IB) →MF
→
GM 2 →AH
→
FA
→
FE
→
FM
→
FA
→
JL
→
ML
→
GM
→
IJ
→
AB
→
FE
→
CD
 1
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação
i) j) 
3.A figura abaixo apresenta o losango inscrito no retângulo , sendo o ponto de 
interseção das diagonais desse losango. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes 
afirmações: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
4.O paralelogramo abaixo é determinado pelos vetores e , sendo e pontos 
médios dos lados e , respectivamente. Determine: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Vetores: Tratamento Algébrico 
5.Dados os vetores e , determine o vetor tal que 
 . 
6.Dados os vetores , e , determine: 
F  =   E  +   →LM H  =  I  +   →LM
EFGH ABCD O
→
EO = →OG
→
AF = →CH
→
DO = →HG
C − O = O − B
H − O = H − D
H − E = O − C
→
AC = →BD
→
OA = 1
2
→
DB
→
AF// →CD
→
GF// →HG
→
AO// →OC
→
AB ⊥ →OH
→
EO ⊥ →CB
→
AO ⊥ →HF
→
OB = − →FE
ABCD
→
AB
→
AD M N
DC AB
→
AD + →AB
→
BA + →DA
→
AC − →BC
→
AN + →BC
→
MD + →MB
→
BM − 1
2
→
DC
→u = (3, − 1) →v = (1, − 2) →w
2
3
→u + 1
2[2(→u +→v ) −→w] =
→v +→u
2
→u = 2→i − 3→j →v = →i −→j →w = − 2→i +→j
 2
a) b) c) d) 
7. Encontre o vértice oposto a , no paralelogramo , para: 
a) , e b) , e 
8. Dados os vetores , e , calcule: 
a) 
b) 
c) d) 
e) 
9.Calcule os valores de para que o vetor tenha módulo 4. 
10.Considere os vetores , e . 
Determine: 
a) 
b) As coordenadas do ponto , onde e . 
c) As coordenadas do ponto , onde é o ponto médio do segmento do item b). 
d) O versor de , sendo paralelo a . 
11.Determine o valor de para que o vetor seja unitário. 
12.Dado o vetor , determine o vetor paralelo a que tenha: 
a) Sentido contrário ao de e três vezes o módulo de ; 
b) O mesmo sentido de e módulo ; 
c) Sentido contrário ao de e módulo . 
13.Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são e 
 Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 
14.Determine os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são 
 , e . 
2→u −→v 1
2
→u − 2→v −→w
→v −→u + 2→w 3→u − 1
2
→v − 1
2
→w
B ABCD
A( − 3,  − 1) B(4, 2) C(5, 5) A(5, 1) B(7, 3) C(3, 4)
→u = (1,  − 1) →v = ( − 3, 4) →u = (8,  − 6)
→u
→w
2→u −→w →v
→v
→u
→u
a →u = (a, 2)
→u = →i − 3→j − 2→k →v = 2→i +→j − 2→k →w = − 2→i + 5→j
2→u −→v + 3→w
B A(1, 0,  − 2) →u = →AB
M M AB
→
b
→
b →v
n →v = (n, − 12 ,  34)
→v = (2,   − 1,   − 3) →v
→v →v
→v 4
→v 5
ABCD A(1,3, –2)  →AC = (4,2, –3)
→
BD = (−2,0, 1) .
M(5, 0,  − 2) N(3, 1,  − 3) P(4, 2, 1)
 3
15. Encontre o vértice oposto a , no paralelogramo , para: 
a) b) 
16.Dados os pontos e , determinar os pontos e pertencentes ao 
segmento tais que e . Construir o gráfico, marcando os pontos 
 , , , e , devendo ser tal que . 
17.Considere o triângulo cujos vértices são , e . Represente o 
triângulo no plano cartesiano e calcule comprimento da mediana , sendo o ponto médio 
do lado . 
18.Considere no plano os pontos e e o vetor . 
a) Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) 
 e um representante do vetor , com origem no ponto , indicando o 
ponto tal que . 
b) Determine o ponto (algebricamente), sabendo que , , e são vértices consecutivos de 
um paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano. 
19.Do cubo ao abaixo, sabemos que , e . Determine as 
coordenadas do: 
 
a) vetor 
b) ponto 
c) vetor , sabendo que . 
Produto Escalar 
20.Dados os vetores e , calcule: 
B ABCD
A(−1, 0, 3),  B(1, 1, 2) e C (3,  − 2, 5) A(4, 0, 1),  B(5, 1, 3)e C(3, 2, 5)
A( − 3, 2) B(5,  − 2) M N
AB
→
AM = 1
2
→
AB
→
AN = 2
3
→
AB
A B M N P P
→
AP = 3
2
→
AB
ABC A(1,2) B(–2,3) C(0,5)
AM M
→
BC
A(1,1), B(1,3) C(3, − 2) →v = →AB
→v = →AB →v A1( − 3,1)
B1
→v = →A1B1
D A B C D
A(2,1, 0) B(2,4, 0) →AD
0
= (0,0, 1)
→
AC
E
→
AL
→
FL = − 1
3
→
EF
→u = (2,  − 3,  − 1) →v = (1,  − 1, 4)
 4
a) 
b) 
c) 
d) 
21. Os pontos são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm. Calcule 
 e . 
22.Qual deve ser o valor de para quem os vetores e 
 sejam ortogonais? 
23. Determine o ângulo entre os vetores: 
a) e 
 
b) e 
24.O quadrilátero abaixo é um losango de lado 2. Calcule: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
25.Seja o cubo de aresta representado na figura abaixo, determine: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
2→u ∙ ( −→v )
(→u + 3→v ) ∙  (→v − 2→u )
(→u +→v ) ∙ (→u −→v )
(→u +→v ) ∙  (→v −→u )
A, B e C
→
AB ∙ →AC →AB ∙ →CA
α →a = α→i + 2→j − 4→k
→
b = 2→i + (1 − 2α)→j + 3→k
→u = (2,   − 1,   − 1)
→v = ( − 1,   − 1,  2)
→u = (1,   − 2,  1) →v = ( − 1,  1,  0)
ABCD
→
AC . →BD
→
AB . →AD
→
BA . →BC
→
AB .   →BC
→
AB . →DC
→
BC . →DA
a
→
OA ∙ →OC
→
OA ∙ →OD
→
OE ∙ →OB
→
OB ∙ →OG
→
EG ∙ →CG
(→ED ∙ →AB) →OG
 5
g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo 
e uma aresta 
h) o ângulo agudo formado por duas 
diagonais do cubo. 
26.Determinar o valor de , de modo que o ângulo do triângulo , seja 600. Considere 
 , e . 
27.Determinar o vetor tal que , o ângulo entre e é 45º e é 
ortogonal a . 
28.Calcular o valor de de modo que seja 120 graus o ângulo entre os vetores 
 e . 
29. Os vértices de um triângulo são , e . Calcule as coordenadas 
do vetor , onde é o pé da altura relativa ao lado . 
30. De um triângulo , sabemos que , e 
Determine a altura do triângulo em relação à base . 
31. Considere os pontos , e . 
a) mostre que . 
b) verifique se o triângulo é isósceles. 
32.Calcule os ângulos diretores do vetor . 
33.Determine o que se pede: 
a) os ângulos diretores de . 
b) determine sabendo que os ângulos diretores de um vetor são , 45° e 60°. 
c) calcule o vetor sabendo que , , é obtuso 
e . 
34. Do cubo a abaixo, sabemos que: , e . Determine as 
coordenadas: 
a  ABC
A(1,0, 2) B(3,1, 3) C(a + 1,–2,3)
→u →u = 2 →u →v = (1, − 1,0) →u
→w = (1,1, 0)
m
→u = (1,  − 2, 1)  →v = ( − 2, 1, m  +  1)
M(1,1, 2) N(5,1, 3) Q(–3,9, 3)
→
MH H NQ
ABC A(1,0, 2) B(3,1, 1) →AC
o
= ( 22 , 0, 22 ) .  
ABC  AC
A(1,0, 1) B( − 2,0, − 3) C(1,5, 1)
→
AB ⊥ →AC
ABC
→v = (6,  − 2,  3)
→v = (1, − 1,0)
α α
→u cos(→u ,→i ) = 22 cos(→u ,
→
j ) = 0 (→u ,→k )
→u = 5
A(2,1, 0) B(2,4, 0) →AD = (0,0, 3)
 6
 
a) Do vetor ; 
b) Do ponto ; 
c) Do vetor projeção na direção . 
35.Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e 
decompor como soma de com , sendoe . 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
36. Sejam , e vértices de um triângulo, conforme figura a 
seguir

a) Para qual valor de o triângulo é 
retângulo em ? 
b) Qual a medida da projeção do cateto 
 sobre a hipotenusa ? 
c) Qual o ponto , pé da altura relativa ao 
vértice ? 
d) ? 
 
Produto Vetorial 
37.Dados os vetores e , determine: 
a) 
b) um vetor unitário ortogonal a e a 
c) área do triângulo , sendo e . 
38.Se , e , determine: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
39. Simplifique cada expressão a seguir: 
a) b) c) 
→
AC
E
→
EF
→
EG
→u →v →v →u
→v →v 1 →v 2 →v 1//→u →v 1 ⊥ →u
→u = (1, 2,  − 2) →v = (3,  − 2, 1)
→u = (1, 1, 1) →v = (3, 1,  − 1)
→u = (2, 0, 0) →v = (3, 5, 4)
→u = (3, 1,  − 3) →v = (2,  − 3, 1)
A(2, 1, 3) B(m,  3, 5) C(0, 4, 1)
m ABC
A
AB BC
H
A
→
AH ⊥ →BC
→u = →i +→j →v = →i − 2→j +→k
→u   ×  →v
→u →v
ABC →u = →AB  →v = →AC
→u = 3→i −→j − 2→k →v = 2→i + 4→j −→k →w = −→i +→k
→u   × →u
(2→v )  ×  (3→v )
(→u −→v )  ×  →w
(→u   ×  →v )  ×  →w
(→u   ×  →v ) ∙ →v
(→u   ×  →v ) ∙ →w
→
i   ×  →k →j   ×  (2→i ) (3→i )  ×  (2→k )
 7
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) � 

40. Dados os pontos , e , determine o ponto tal que 
 . 
41. Considerando a figura abaixo, calcule: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
42.Determine um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos , 
e . 
43.Dados os pontos e , determinar o ponto do eixo de modo que 
a área do triângulo seja 1,5 
44.Com base na figura a seguir, calcule: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
→
i ∙ (→j   × →k )
(3→i ) ∙ (2→j )
(3→i )  ×  (2→j )
→
i ∙ (→j   × →i )
→
j ∙ (→j   × →k )
(→i   × →j )  × →k
(→i   × →j )  × →j
→
i   ×  (→j   × →j ) 
(→j   × →k ) ∙ →i
A(2, 1,  − 1) B(3, 0, 1) C(2,  − 1,  − 3) D
→
AD = →BC  × →AC
→
OF  ×   →OD
→
AC  ×  →FA
→
AB  ×  →AC
→
EC  ×   →EA
→
OA  ∙  (→OC  ×   →OE)
→
GB  ×   →AF
A(2, 3, 1) B(1,  − 1, 1)
C(4, 1,  − 2)
A(2, 1,  − 1) B(0, 2, 1) C Oy
ABC u . a .
→
AB  ×   →AD
→
BA  ×  →BC
→
AB  ×   →DC
→
AB  ×   →CD
→
BD  ×  →AC
→
BD  ×   →CD
 8
45.Dados os vetores e , calcule: 
a) a área do paralelogramo determinado por e 
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor . 
46.Sabendo que os pontos , , e são coplanares, 
calcular a área do quadrilátero . 
47.Dados os vetores e , calcule: 
a) a área do paralelogramo determinado por e . 
b) a altura do paralelogramo determinado por e . 
48.Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor e ao vetor 
 e que satisfaz a seguinte condição . 
49.Os pontos , , e são vértices consecutivos de um 
paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o valor do seno de 
 . 
Produto Misto 
50.Dados os vetores , e , calcule: 
a) b) 
51.Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
 , e seja igual a 33 
Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por e . 
52.Calcule o volume do tetraedro de base e vértice , sendo , , 
 e . Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice ? 
Aplicações 
→u = (3,  − 1, 2) →v = ( − 2, 2, 1)
→u →v
→v
A(4, 0, 0) B(0, 0, 2) C(0, 3, 0) D(4, 3,  − 2)
ABCD
→u = (1, − 1,1) →v = (2, − 3,4)
→u →v
→u →v
→v →a = (2, − 3,1)
→
b = (1, − 2,3) →v ∙ (→i + 2→j − 7→k ) = 10
A(2,3, 0) B(2,5, 0) C(0,6, 2) D
(→AB,   →AD)
→u = (3,  − 1, 1) →v = (1, 2, 2) →w = (2, 0,  − 3)
(→u ,  →v ,  →w) (→w ,  →u ,  →v )
m
→v 1 = (0,  − 1, 2) →v 2 = ( − 4, 2,  − 1) →v 3 = (3, m,   − 2) u . v .
→v 1 →v 2
ABC P A(2, 0, 0) B(2, 4, 0)
C(0, 3, 0) P(2,  − 2, 9) P
 9
53.O gancho abaixo está sujeito a duas 
f o r ç a s , e . D e t e r m i n e a 
intensidade e a direção da força 
resultante. 
 
54. Duas forças atuam sobre o gancho. 
Determine a intensidade da força 
resultante. 
 
55. A força atua sobre a 
estrutura. Decompondo essa força nas 
componentes que atuam ao longo dos 
membros e , determine a 
intensidade de cada componente. 
 
56. Decomponha a força de 300 nas 
componentes ao longo dos eixos e , e 
determine a intensidade de cada uma 
dessas componentes. 
 
57. A viga deve ser içada usando-se duas 
correntes. Se a força resultante for de 
600 , orientada ao longo do eixo 
positivo, determine as intensidades das 
forças e que atuam em cada 
corrente e o ângulo de , para que a 
intensidade de seja mínima. 
 
58. A caminhonete precisa ser rebocada 
usando duas cordas. Se a força 
resultante deve ser de 950 , orientada 
→
F 1
→
F 2
F = 900 N
AB AC
N
u v
N y
→
F A
→
F B
θ
→
F B
→
F B
N
 10
ao longo do eixo positivo, determine as 
intensidades das força s e que 
atuam sobre cada corda e o ângulo de 
 de modo que a intensidade de 
seja mínima. 
 
59. Decomponha cada força que atua sobre 
o poste em suas componentes e . 
 
60. Determine a intensidade da força 
resultante e a sua direção , medida no 
sentido anti-horário a partir do eixo . 
 
61. Determine a intensidade e os ângulos 
diretores da força resultante que atua 
sobre o anel da figura abaixo. 
 
62.Duas forças atuam sobre o gancho abaixo. Especifique a intensidade de e seus ângulos 
diretores, de modo que a força resultante atue ao longo do eixo positivo e tenha 
intensidade de . 
 
63. Expresse cada uma das forças a seguir como um vetor cartesiano. 
x
→
F A
→
F B
θ
→
F B
→
F B
x y
θ
x
→
F 2
y
800 N
 11
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
64. Determine o ângulo entre a linha . 
 
65.Determine o ângulo entre a linha . 
 
66.Determine a componente da projeção da força ao longo da linha na figura abaixo. 
θ AO
θ AB
OA
 12
 
67. Encontre a intensidade da componente 
da força projetada ao longo do tubo. 
 
Questões Objetivas 
68.(Mackenzie 98) Com seis vetores de módulo iguais a 8 u.c., construiu-se o hexágono regular 
abaixo. 
 
O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: 
a) 40 u.c. 
b) 32 u.c. 
c) 24 u.c. 
d) 16 u.c. 
e) 0 u.c. 
69. (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores , e . →a →w →v
 13
 
Sendo u.c. a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor 
 tem módulo: 
a) 2 u.c., e sua orientação é vertical para 
cima. 
b) 2 u.c., e sua orientação é vertical para 
baixo. 
c) 4 u.c., e sua orientação é horizontal para 
a direita. 
d) u.c., e sua orientação forma 45° com 
a horizontal no sentido horário. 
e) u.c., e sua orientação forma 45° com 
a horizontal no sentido anti-horário. 
70. (PUC-SP) Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos 
lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que 
corresponde ao vértice do circuito. Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância 
percorrida e o módulo do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de: 
a) 14700 m e 700 m 
b) 7350 m e 700 m 
c) 700 m e 14700 m 
d) 700 m e 7350 m 
e) 14700 m e 500 m 
71.Uma das aplicações importantes do produto vetorial à Física é no cálculo do torque, que é 
uma grandeza definida pelo produto vetorial, representado , e está relacionado com a 
possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para 
o cálculo do torque é , em que é adistância do ponto de aplicação da 
força ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Sendo assim, se uma força 
vetorial dada por Newtons é aplicada em uma barra, onde , ao 
longo de uma barra (linha reta), então a intensidade (módulo) do torque sobre a barra é: 
a) mN 
b) 6 mN 
c) mN 
d) 2 mN 
e) mN 
→a −→w +→v
2
2
→τ
→τ = →r   ×  →F →r  
→
F  
→
F = 3→k   →AB = →r = (0,2, 0)
−6→k
6→i −6→i
 14
72. Uma partícula está sujeita a duas forças, conforme a figura. Considere , 
 e . 
 
Julgue as afirmativas a seguir. 
I. A componente da força é 
II. A componente da força é igual a 6 . 
III.A resultante de e é o vetor . 
São verdadeiras apenas: 
a) I 
b) I e II 
c) I e III 
d) II e III 
e) I, II e III 
73.Se , e são vetores de , então para que 
 , deve ser igual a: 
a) 2 
b) 6 
c) 0 
d) 12 
e) 18 

sen(53o) = 0,8
cos(53o) = 0,6 →F1 = →F2 = 10 N
x
→
F1
→
F1x =
→
F1 cos(37o) .
y
→
F1 N
→
F1
→
F2
→
R = (10,14)
→u = (1,2) →v = ( − 2, 5) w = (x,  y) ℝ2
→w = 3→u –→v x + y
 15
Gabarito 
Vetores: Tratamento Geométrico 
1.A(2,4,0), B(2,0,3), C(0,4,3), P(2,4,3) 

2.
3.a) V 
b) F 
c) V 
d) V 
e) F 
f) F 
g) V 
h) V 
i) V 
j) F 
k) V 
l) V 
m)V 
n) F 
o) V 
4.a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Vetores: Tratamento Algébrico 
5. 
a b c d e f g h i j
F V F V V V V V F V
→
AC
→
CA
→
AB
→
NC
→
MN
→
BD
w = (8, − 13
3
)
 16
6.a) (3,-5) 
b) (-5,4) 
c) (1,-1/2) 
d) (13/2,-9) 
7. a) (12,8) 
b) (5,6) 

8. a) 
b) 10 
c) 2 
d) (-3/5,4/5) 
e) 5 
f) 
g) 
h) 1 
9. 
10. a) (8,11,6); b) (3,-1,0); c) (2, -1/2, -1); d) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3) 
11. 
12.a) (-6,3,9) 
b) (8,-4,-12) 
c) (-10,5,15) 
13. B(3,3,-7), C(5,5,-5), D(3,5,-4) 
14. (4,-1,-6), (6,1,2) e (2,3,0) 
15. a) D(1,-3,6) 
b)(2,1,3) 

16. 
17. e 
18. b) 
19. a) 
 b) 
 c) 

Produto Escalar 
2
13
13
34
±2 3
± 3
4
M = (1,0), N = ( 7
2
, − 2
3
)
M = (−1,4) |AM | = 2 2
D = (2,0)
AC = (0,3,3)
E = (5,1,0)
FL = (0, − 1,0)
 17
20.a)-2 
b)21 
c) -4 
d)4 
21. 200 e -200 
22. 
23. a) 120º 
b) 150º 
24.a) 0 
b) 2 
c) -2 
d) 2 
e) 4 
f) -4

25.a) 0 
b) 0 
c) 0 
d) e 
e) 
f) ( , , ) 
g) 54º 34’ 
h) 70º 31’

26. ou 
27. 
28. m=0 ou m = -18 
29. 
30. 
31. a) Verifique que . 
 b) Verifique que 
α = − 5
a 2 a 3
a2
a3 a3 a3
arccos
3
3
≅
arccos
1
3
≅
a = 13
5
a = − 1
v = (1, − 1, ± 2)
MH = (2,2,1)
m =
22
2
AC . AB = 0
|AB | = |AC |
 18
32. 31º, 107º , 65º 
34. a) 
 b) 
 c) 
 

35. a) = (-1/3,-2/3, 2/3), = (10/3, - 4/3, 1/3) 
b) = (1,1,1), = (2,0,-2) 
c) = (3,0,0), = (0,5,4) 
d) = (0,0,0) ( e são ortogonais) e = 

36. a) m = 3 
b) 
c)H(51/26,87/26,94/26) 
Produto Vetorial 
37. a) (1,-1,-3) 
 b) 
 c) 
38.a) 0 
b) 
c) (-5,0,-5) 
d) (-1,-23,-1) 
e) 0 
f) 5

39. a) - 
b) -2 
c) -6 
d) 1 
e) 0 
f) 6 
g) 0 
α = arccos 6
7
≅ β = arccos − 2
7
≅ γ = arccos 3
7
≅
AC = (0,3,3)
E = (5,1,0)
projEGEF = (0,
3
2
, 3
2
)
→v 1 →v 2
→v 1 →v 2
→v 1 →v 2
→v 1 →u →v →v 2 →v
9
26
26
1
11
(1, − 1, − 3)
11
2
→
0
→
j
→
k
→
j
→
k
 19
h) 0 
i) 
j) - 
k) 
l) 1 
40. D(-4,-1,1) 
41. a) (- ,- , ) 
b) (- ,- ,0) 
c) (0,0, ) 
d) (- ,- ,- ) 
e) 
f) 
42. Múltiplos de (12,-3,10) 
43.C(0,1,0) ou C(0,5/2,0) 

44.a) 
b) 
c) 0 
d) 0 
e) 
f) 
45.a) 
b) 
46. 
47. a) 
 b) 
48. 
49. , A = u.a e 
Produto Misto 
50.a) -29 
b) -29 

→
0
→
i
→
0
a2 a2 a2
a2 a2
a2
a2 a2 a2
a3
→
0
2 3
2 3
4 3
2 3
3 10
10
2 61
6 u . a
2 u . c
v = (7,5,1)
D = (0,4,2) 4 2 sen(AB, AD) =
2 2
3
 20
51. m = 4 ou m = -17/4 e h = 
52. V = 12 u.v e h = 9 u.c 
Aplicações 
53. 
 
54. 
55. 
 
56. 
 
57. 
 
58. 
 
 º 
59.a 
60. 
 º 
61. 
62. 
 
 
 
 
63. a) 
 b) 
33
89
| FR | = 213 N
θ = 54,8o
| FR | = 666 N
| FAB | = 1738,7 N
| FAC | = 1272,8 N
| Fu | = 219,6 N
| Fv | = 155,3 N
| FA | = 520 N
| FB | = 300 N
| FB | = 325 N
| FA | = 893 N
θ = 70
| FR | = 31,2 KN
θ = 39,8
| FR | = 191 KN
| F2 | = 700 N
α2 = 108
β2 = 21,8
γ2 = 77,6
F = (−250, − 354, − 250)
F = (250, − 354, − 250)
 21
 c) 
 d) 
64. º 
65. º 
66. 
67. 

Questões Objetivas 
68. b) 
69. b) 
70. e) 
71. c) 
72. b) 
73. b) 
F = (−106,1; 141,4; 176,8)
F = (265, − 459, 530)
θ = 57,7
θ = 68,9
projOAF = (231; 96,2)
|projOAF | = 244 N
 22