Aula 10 Taxa de Variação, Velocidade e Taxas Relacionadas

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
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10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas
Objetivos da Aula
• Definir taxa de variação;
• Usar as regras de derivação no cálculo de taxas instantâneas de variação;
• Resolver problemas envolvendo taxas relacionadas.
1 Taxa de Variação
Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x
e escrevemos y = f(x). Se x variar de x1 a x2, então a variação em x (também chamada de incremento)
será
∆x = x2 − x1
e a variação correspondente em y será
∆y = f(x2)− f(x1).
De posse destas informações, definimos:
Definição 1 (Taxa média de variação de y em relação a x). O quociente das diferenças
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
é denominado taxa de variação de y em relação a x no intervalo [x1, x2] e pode ser interpretado como a
inclinação da reta secante PQ. Observe graficamente:
1
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Exemplo 1. A temperatura Fahrenheit F é dada em termos da temperatura Celsius C pela fórmula
F = 1, 8C + 32.
Determine a taxa média de variação de F em relação a C quando a temperatura passa de 20◦ C a 30◦ C.
Solução: Considerando o intervalo dado: [20, 30], temos:
∆F
∆C
=
F (30)− F (20)
30− 20 =
86− 68
10
= 1, 8F/◦C.
Isto significa que no intervalo considerado, cada aumento de 1
◦
C corresponde a um aumento de 1,8 F,
ou seja, a temperatura em Farenheit aumenta 1,8 vezes mais rapidamente que em Celsius.
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2 Taxa Instantânea de Variação
Se uma quantidade y é função de uma quantidade x, isto é, y = f(x), já vimos que a taxa média de
variação de y por unidade de variação em x, no intervalo [x1, x1 + ∆x], é dada por:
∆y
∆x
=
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
.
O "limite" deste quociente, quando x→ 0, isto é,
lim
x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
(1)
e o que definimos como a taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x = x1.
Exemplo 2. Usando a função dada no Exemplo 1, determine a taxa de variação de F em relação a C
quando C=20
◦
.
Solução: Inicialmente vamos calcular a taxa média de F em relação a C no intervalo [20, 20 + ∆C], com
∆C 6= 0.
Taxa Média =
∆F
∆C
= 1, 8.
Assim, a taxa instantânea quando C = 20◦ é dada por:
lim
∆C→0
1, 8 = 1, 8.
Uma vez que a taxa média é constante, independe do valor atribuído a ∆C, segue que a taxa de variação
de F em relação a C quando C = 20◦C é 1,8 F/◦C.
�
É importante destacar que o limite da equação (1) é a derivada f ′(x1). Geometricamente, f ′(a) é a
inclinação da reta tangente à curva y = f(x), quando x = a. Assim, temos uma segunda interpretação:
A derivada f ′(a) é a taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação
a x quando x = a.
Exemplo 3. O custo em real da fabricação de x brinquedos é dado pela função:
C(x) = 110 + 4x+ 0, 02x2
Encontre a taxa com a qual o custo está variando quando x = 40.
Solução: A taxa (instantânea) de variação de C(x) em x1 = 40 é dada por C
′(40). Como
C ′(x) = 4 + 0, 04x ⇒ C ′(40) = 5, 6 reais.
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Exemplo 4. Se a água de uma piscina está sendo escoada e V (t) = 250(40 − t)2 litros é o volume de
água na piscina t minutos após o escoamento ter começado, encontre a velocidade com que a água flui da
piscina 5 minutos após o escoamento ter começado.
Solução: Como V (t) é uma função composta, usaremos a regra da cadeia. Fazendo u = 40− t, ficamos
com:
V = 250u2 e u = 40− t
Segue que:
dV
dt
=
dV
du
.
du
dt
= −500u
= −500(40− t).
Assim:
dV
dt
∣∣∣∣
t=5
= −500(40− 5) = −17.500 L/min.
�
3 Velocidade e Aceleração
Suponha que uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal com sua posição no instante t
dada pela função posição x(t). Quando o tempo sofre uma variação de t a t+ ∆t, a partícula se move da
posição x(t) a x(t+ ∆t). O deslocamento da partícula, neste intervalo de tempo, é então dado por:
∆x = x(t+ ∆t)− x(t).
Calculamos a velocidade média v da partícula, dividindo o deslocamento pelo tempo gasto neste deslo-
camento. Assim,
v =
x(t+ ∆t)− x(t)
∆t
E definimos a velocidade instantânea v da partícula no instante t, como o limite da velocidade média,
quando ∆t→ 0, isto é,
v(t) = lim
∆t→0
x(t+ ∆t)− x(t)
∆t
=
dx
dt
. (2)
De modo análogo, definimos a acelaração a da partícula como a taxa de variação instantânea de sua
velocidade:
a(t) = lim
∆t→0
v(t+ ∆t)− v(t)
∆t
=
dv
dt
. (3)
Exemplo 5. Um carro está viajando a velocidade de 80 km/h quando repentinamente o motorista pisa no
freio. A função posição do carro em derrapagem é dada por x(t) = 80t − 2400t2. Por qual distância e
durante quanto tempo o carro continua derrapando até parar?
Solução: Consideremos o instante em que o motorista pisa no freio como t = 0. A velocidade do carro t
horas após ele ter pisado no freio é dada por
v(t) =
dx
dt
= 80− 4800t.
No momento em que o carro parar sua velocidade é nula. Fazendo então:
v(t) = 0 ⇒ 80− 4800t = 0 ⇒ t = 1
60
h = 1min.
Usando a equação de posição, podemos encontrar distância percorrida neste intervalo de tempo. Temos:
x
(
1
60
)
=
2
3
km.
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Exemplo 6. Um foguete lançado verticalmente para cima é rastreado por um estação localizado no solo a
8 km da plataforma de lançamento. Suponha que o ângulo θ de elevação da linha de visão até o foguete
esteja aumentando de
pi
60
radianos por segundo, quando θ =
pi
3
rad. Determine a velocidade do foguete
neste instante.
Solução: Vamos considerar y(t) a função que dá a altura (em km) do foguete t segundos após o lança-
mento.
Das relações trigonométricas no triângulo retângulo ABC, temos:
tg(θ) =
y(t)
8
⇒ y(t) = 8tg(θ).
Dos dados do problema, temos de
dθ
dt
∣∣∣∣
t=pi
3
=
pi
60
rad/s.
Então:
v(t) =
dy
dt
=
dy
dθ
.
dθ
dt
= 8 sec2 x
dθ
dt
⇒ dy
dt
∣∣∣∣
θ=pi
3
= 9 sec2
(pi
3
)
.
pi
60
≈ 1, 68 km/s.
�
4 Taxas Relacionadas
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de uma terceira variável t, isto é,
x = f(t) e y = g(t).
Como já vimos anteriormente, as derivadas
dx
dt
= f ′(t) e
dy
dt
= g′(t)
são interpretadas como as taxas de variação, respectivamente, de x e y em relação a variável t. Se estas
variáveis estão relacionadas por meio de alguma equação:
Q(x(t), y(t)) = 0
derivando esta equação em relação a t, obtemos também uma equação relacionando as derivadas
dx
dt
e
dy
dt
:
d
dt
[Q(x(t), y(t))] = 0.
Neste caso,
dx
dt
e
dy
dt
são chamadas de taxas relacionadas.
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Exemplo 7. Se a área A de um círculo com raio r e o círculo expande à medida que o tempo passa,
encontre
dA
dt
em termos de
dr
dt
.
Solução: Sabemos que área A de um círculo de raio r é dada por:
A = pir2
Como, tanto área, quanto raio variam no tempo, temos A = A(t) e r = r(t). Para encontrar
dA
dr
,
basta derivar em relação ao tempo, a fórmula acima membro a membro usando derivada implícita e regrada
cadeia em relação a r = r(t). Temos assim:
dA
dt
=
d
dt
(pir2) = 2pir
dr
dt
�
Exemplo 8. Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um padrão
circular. Se o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1m/s, quão rápido a área do
vazamento está crescendo quando a raio é igual a 30 m.
Solução: Como o raio do petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1 m/s, significa que
dr
dt
= 1m/s
e quando r = 30 m, a área do vazamento estará crescendo conforme
dA
dt
2pir
dr
dt
= 2pi.30.1 = 60pim2/s.
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Exemplo 9. Um tanquecilíndrico com raio de 5 m está recebendo água a uma taxa de 3 m3/min. Quão
rápido a altura de água está aumentando?
Solução: Temos que:
V = pir2h
Derivando esta equação em relação a t, lembrando que V e h são funções de t:
dV
dt
= 2pir
dh
dt
e substituindo nesta equação os valores dados no problema, temos:
dV
dt
= 2pir
dh
dt
⇒ dh
dt
=
3
25pi
m/min.
�
Exemplo 10. Um tanque de água possui o formato de um cone circular reto invertido com raio da base
igual a 10 m e altura igual a 15 m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de 0,1 m3/min, encontre a taxa na qual o nível da água está aumentando quando a água estiver a 5 m de
profundidade.
Solução: Sabemos que o volume do reservatório é dado por:
V =
1
3
pir2h
Note que a equação acima possui duas variáveis, r e h. Sendo assim, vamos eliminar uma delas,
escrevendo-a em função da outra. Observe que:
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Logo, por semelhança de triângulos, temos:
15
h
=
10
r
⇒ r = 2
3
h.
Deste modo, podemos escrever o volume como:
V =
1
3
pi
(
2
3
h
)2
h ⇒ V = 4
27
pih3
Derivando em relação a t, obtemos:
dV
dt
=
4pi
27
.3h2.
dh
dt
=
4pi
9
.h2.
dh
dt
.
Substituindo os dados da questão na equação anterior, temos:
dV
dt
=
4pi
9
.h2.
dh
dt
=
0, 9
100pi
m/s.
�
Resumo
Faça um guia para a resolução de problemas envolvendo taxas relacionadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o contúeudo desta aula no Capítulo 3 - Seções 3.5 e 3.9 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 3.5 e 3.9 do livro texto.
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