Algebra Linear Lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
Prof: Dr. Diego Frankin de Souza Veras Sant’Ana
1) Considere as seguintes matrizes:
A =
(
2 0
6 7
)
B =
(
0 4
2 −8
)
C =
( −6 9 −7
7 −3 −2
)
D =
 −6 4 01 1 4
−6 0 6
 E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1

Calcule:
a) AB −BA b) (AB)2 c) A2B2
d) 2C −D e)
(
2DT − 3ET
)T
f) D2 −DE
2) Considere as seguintes matrizes
A =
( −3 2 1
1 2 −1
)
B =
 2 −12 0
0 3
 C =
 −2 1 −10 1 1
−1 0 1

D =
 d1 0 00 d2 0
0 0 d3
 E1 =
 10
0
 E2 =
 01
0
 E3 =
 00
1

Mostre que
a) A ·B 6= B · A
b) A · Ej e´ a j-e´sima coluna de A para j = 1, 2, 3.
c) Ei
T ·B e´ i-e´sima linha de B para i = 1, 2, 3.
d) C ·D =
d1
 −20
−1
 d2
 11
0
 d3
 −11
1
.
e) D · C =
 d1 (−2 1 − 1)d2 (0 1 1)
d3 (−1 0 1)
.
3) Escreva as matrizes Aˆ = [aij]2×2 e Bˆ = [bij]2×2 cujas entradas sa˜o dadas
por aij = i+j e bij = (−1)i+j. Em seguida, calcule os produtos Aˆ ·Bˆ e Bˆ ·Aˆ.
4) A matriz de rotac¸a˜o em treˆs dimenso˜es (x, y, z) de um aˆngulo θ em torno
do eixo-z e´ dada por
Aˆ(θ) =
 cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
 .
Mostre que Aˆ(θ1) · Aˆ(θ2) = Aˆ(θ1 + θ2).
5) Sejam as matrizes
Aˆ =
(
1 −3 0
0 4 −2
)
~X =
 xy
z

Mostre que xA1 + yA2 + zA3 = Aˆ · ~X, onde Aj e´ uma matriz coluna
contendo a j-e´sima coluna de Aˆ.
6) Encontre o valor de x, tal que ABT = 0, onde
A =
(
x 4 − 2
)
e B =
(
2 − 3 5
)
7) Mostre que a seguinte matriz A =
(
1 1/a
a 1
)
, onde a e´ um nu´mero real,
satisfaz a equac¸a˜o x2 − 2x = 0.
8) Dadas as matrizes
Aˆ =
 0 1 00 0 1
0 0 0
 Bˆ =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

mostre que Aˆ3 = 0ˆ, e Bˆ4 = 0ˆ, onde 0ˆ e´ a matriz nula. As matrizes A e B
sa˜o chamadas de matrizes nilpotentes (matrizes que, quando elevados a` uma
certa poteˆncia, resulta na matriz nula).
9) Considere a seguinte matriz
A =
(
0, 25 0, 67
0, 0 −0, 1
)
.
Calcule as poteˆncias A2, A3, A4, A5 e A6. A sequeˆncia parece convergir
para alguma matriz? Se estiver, para qual?
Obs.: se achar necessa´rio, use notac¸a˜o cient´ıfica.
10) Mostre que, se duas matrizes A e B comutam entre si, enta˜o
(AB)2 = A2B2.
11) Considere as duas matrizes gene´ricas a seguir:
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 e B =
 b11 b12 b13b21 b22 b23
b31 b32 b33

Com respeito aos seus trac¸os, mostre que
a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
b) tr(αA) = α tr(A)
c) tr(AT ) = tr(A)
d) tr(AB) = tr(BA)
As propriedades acima sa˜o va´lidas para matrizes quadradas de qualquer
ordem.
12) Resolva as seguintes questo˜es da sec¸a˜o 1.4 do livro-texto (BOLDRINI):
1, 2, 7, 9, 10, 12, 13, 14,