Lista integral de linha

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Integrais de Linha e de Superf´ıcie Universidade Federal de Uberlaˆndia Pa´gina 1
Esta 2a Lista de Exerc´ıcios devera´ ser resolvida e entregue no dia da 2a prova
2a Lista de Exerc´ıcios - Parte 1
(1) Calcule a integral de linha, onde C e´ a curva dada.
a)
∫
C
y3ds, C : x = t3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2
b)
∫
C
x senyds, C e´ o segmento de reta que liga (0, 3) a (4, 6)
c)
∫
C
xeyds, C e´ o arco da curva x = ey de (1, 0) a (e, 1)
d)
∫
C
xyzds, C : x = 2 sen t, y = t, z = −2 cos t, 0 ≤ t ≤ pi
e)
∫
C
zdx+ xdy+ ydz, C : x = t2, y = t3, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1
f)
∫
C
(y+ z)dx+ (x+ z)dy+ (x+ y)dz, C segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 1) e de (1, 0, 1) a (0, 1, 2)
g)
∫
C
(
x2 + y2 + z2
)
ds, C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies
x2
16
+
y2
9
+
z2
16
= 1 e y = 2.
(2) Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde C e´ dada pela func¸a˜o vetorial:
a) F (x, y) = xyi+ 3y2j, r (t) = 11t4i+ t3j, 0 ≤ t ≤ 1
b) F (x, y, z) = xi+ yj− xyk, r (t) = cos ti+ sen tj+ tk, 0 ≤ t ≤ pi
(3) Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da he´lice x = t, y = cos t, z = sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi,
se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distaˆncia do ponto a` origem.
(4) Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a F (x, y, z) =
(
x− y2
)
i +
(
y− z2
)
j +
(
z− x2
)
k sobre uma
part´ıcula que se move ao longo do segmento de reta de (0, 0, 1) a (2, 1, 0) .
(5) Determine se F e´ ou na˜o um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma func¸a˜o f tal que F = ∇f :
a) F (x, y) = (2x− 3y) i+ (−3x+ 4y− 8) j
b) F (x, y) = ex cosyi+ ex senyj
c) F (x, y) =
(
lny+ 2xy3
)
i+
(
3x2y2 +
x
y
)
j
(6) (a) Determine uma func¸a˜o f tal que F = ∇f e (b) use a parte (a) para calcular ∫
C
F · dr sobre a curva C dada.
a) F (x, y) = xy2i+ x2yj C : r (t) =
(
t+ sen
pit
2
)
i+
(
t+ cos
pit
2
)
j, 0 ≤ t ≤ 1
b) F (x, y, z) =
(
y2z+ 2xz2
)
i+ 2xyzj+
(
xy2 + 2x2z
)
k C : x =
√
t, y = t+ 1, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1
c) F (x, y, z) = senyi+ (x cosy+ cos z) j−y sen zk C : r (t) = sen ti+ tj+ 2tk, 0 ≤ t ≤ pi
2
(7)Mostre que a integral de linha
∫
C
(1− ye−x)dx+e−xdy, onde C e´ qualquer caminho de (0, 1) a (1, 2) e´ independente
do caminho e calcule a integral.
(8) Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a F (x, y) = 2y
3
2 i + 3x
√
yj ao mover um objeto de P = (1, 1)
para Q = (2, 4) .
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues