NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_V

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
 UNIDADE V – FUNÇÕES 
Definição 
Consideremos dois conjuntos A e B não nulos contidos no conjunto dos números reais. 
Chamamos função real de variável real, à “lei” que associa cada elemento do conjunto A 
a um único elemento do conjunto B 
Representamos ( )xfyBAf =→; . 
Em um diagrama, poderíamos representar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
1-) Os elementos do conjunto A foram representados pela letra x e os do conjunto B pela 
letra y 
2-) Os elementos da função serão pares ordenados da forma ( )yx , . Assim, a função 
representada no diagrama acima será ( ) ( ) ( ) ( ){ }nn yxyxyxyxf ,...,,,,,, 332211= . 
3-) O conjunto A é chamado domínio ou conjunto de partida e o conjunto B de 
contradomínio. 
4-) O conjunto formado pelos valores de ( ) Axxf ∈, , é chamado conjunto imagem. 
5-) Para representarmos geometricamente uma função usamos o chamado plano 
cartesiano que definiremos a seguir. 
Plano Cartesiano 
Consideremos dois eixos orientados que representam o conjunto dos números reais, 
ortogonais entre si conforme a figura seguinte: 
nx
x
x
x
3
2
1
ny
y
y
y
3
2
1
A B
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No eixo horizontal representaremos os valores de x dos pares e no eixo vertical, os 
valores de y .( Esta ordem tem de ser obedecida ou seja, x é o primeiro elemento e y o 
segundo ). 
Cada par ordenado terá como imagem um ponto do plano definido pelos eixos. ( Veja na 
figura anterior ). 
O ponto “O” é chamado de origem e é a representação do par ( )0,0 . 
Os eixos determinam no plano quatro regiões abertas chamadas quadrantes e sua ordem 
é a representada abaixo: 
 
 
 
 
O primeiro elemento de cada par é chamado abscissa do ponto e o segundo, ordenada. 
Exemplo: 
Considere os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }5,3,1,1−=B e a função : 
 
( ) 32: −==→ xxfyBAf
 
• A) Represente a função em um diagrama. 
• B) Determine os pares da função. 
• C) Represente os pares dessa função em um plano cartesiano. 
 
x
y
O
px
py
( )pp yxP ,
quadranteº2 quadranteº1
quadranteº3 quadranteº4
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Solução: 
A-) 
Se ( ) 131211 −=−×==⇒= fyx 
Se ( ) 132212 =−×==⇒= fyx 
Se ( ) 333213 =−×==⇒= fyx 
Se ( ) 534214 =−×==⇒= fyx 
B-) 
( ) ( ) ( ) ( ){ }5,4,3,3,1.2,1,1 −=f 
C-) 
 
 
 
 
 
 
Observe que os cinco pares pertencem ao gráfico da função f 
Quando o domínio de uma função é um intervalo, existem infinitos valores de “x” e o 
processo anterior não pode ser utilizado pois também teremos infinitos pares na função e 
em conseqüência, infinitos pontos no plano. Neste caso, atribuímos alguns valores para x, 
criando uma tabela de correspondência, calculamos os valores de y e ligamos esses 
pontos através de uma linha. 
Vejamos o exemplo: 
Considere os conjuntos { }41 ≤≤∈= xRxA e { }51 ≤≤−∈= yRyB e a função : 
 
( ) 32: −==→ xxfyBAf
 
Entre 1 e 4, existem infinitos números reais. 
Tomemos apenas os números inteiros para montar a tabela de correspondência: 
4
3
2
1
5
3
1
1−
A B
1
2 3 4
1−
5
1
3
x
y
•
•
•
•
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 Tabela de correspondência. 
A linha que liga os pontos ( )1,1 − e ( )5,4 é o gráfico da função dada. ( Todos os pontos 
localizados no segmento de reta são a representação de pares que pertencem à função.) 
A forma da linha que é a representação gráfica de uma função depende da “lei” de 
formação dos pares ( equação ) 
Observação: 
Existem relações entre “x” e “y” que não representam uma função. Veja o exemplo: 
Considere os conjuntos { }4,1,0=A e { }2,1,0,1,2 −−=B e a relação xyBAf =→ 2: . 
Teremos: xyxy ±=⇒=2 
Se 
 
 
 
Veja que os elementos 1 e 4 têm duas imagens, 
o que contraria a definição de função pois nesta 
definição, cada elemento do conjunto de partida 
tem de ter uma única imagem no conjunto de chegada. 
Note que existem os pares: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,2,4,1,1,1,1,0,0 −−=f mas não representam 
uma função. 
( )
( )
( )
( ) 53424
33323
13222
13121
=−×=
=−×=
=−×=
−=−×=
f
f
f
f
1
2 3 4
1−
5
1
3
x
y
•
•
•
•
54
33
12
11 −
yx
000 =⇒±=⇒= yyx
111 ±=⇒±=⇒= yyx
244 ±=⇒±=⇒= yyx
4
1
0
2
1
0
1
2
−
−
( )xA ( )yB
( )xfy =
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Normalmente no dia a dia, as funções são dadas apenas pela “lei” de formação de seus 
pares e entenderemos que o domínio é o conjunto R ou um intervalo 
É muito importante nestes casos, estabelecermos o domínio da função, assunto que 
passaremos a estudar agora. 
CÁLCULO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
Exemplo 1 
Considere a função dada por ( ) 42 −== xxfy 
Nesta equação não existem restrições para valores de x pois ele pode assumir qualquer 
valor real e mesmo assim, ( )xfy = pode ser calculado sem problemas. 
Afirmamos então que o domínio da função é o conjunto R 
Para construirmos o gráfico procedemos como já foi estudado, fazendo uma tabela de 
correspondência atribuindo alguns valores para x dentro do domínio e calculando os 
valores correspondentes de y , marcamos os pontos e ligamos com uma linha. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
A curva que aparece na figura é a representação 
gráfica da função dada por ( ) 42 −== xxfy 
Daqui em diante não mais colocaremos os números nos eixos, onde faremos apenas a 
marcação dos mesmos e traçaremos o gráfico. 
Exemplo 2 
Considere a função dada por ( ) 2−== xxfy 
Lembre-se que no conjunto dos números reais não podemos calcular uma raiz quadrada 
de um número negativo. 
02
31
40
31
02
−
−
−−
−
yx
•
•
•
•
•
2
3−
4−
x
y
2− 1− 0 1
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Daí, 
202 ≥⇒≥− xx . Portanto, somente podemos atribuir para x, valores maiores que 2 ou o 
próprio 2. O domínio da função será dado por { }2≥∈= xRxD 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Considere a função dada por ( )
2
1
−
+
==
x
x
xfy 
Lembre-se que no conjunto dos números reais não podemos dividir um número por zero. 
Daí, 
202 ≠⇒≠− xx . Portanto, somente podemos atribuir para x, valores diferentes de 2 . 
O domínio da função será dado por 
{ }2≠∈= xRxDPara representarmos funções cujas 
equações são mais complexas,temos 
311
26
13
02
yx
•
•
x
•
•
y
5,24
43
75,2
55,1
21
5,00
−
−
−
yx
•
•
•
•
•
•
x
y
2
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de aprofundar nossos estudos, utilizando conceitos de limites e derivadas. 
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 
Definição 1 
Uma função ( )xfy = é crescente em um intervalo A, se e somente se, dados 
( ) ( )212121 , xfxfxxAxx <⇒<∈ 
Definição 2 
Uma função ( )xfy = é decrescente em um intervalo A, se e somente se, dados 
( ) ( )212121 , xfxfxxAxx >⇒<∈ 
Veja nos gráficos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função crescente Função decrescente 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Consideremos os conjuntos { } { }6,5,4,3,4,3,2,1 == BA e { }36,25,16,9=C e as funções: 
( )
( ) 2:
2:
xxvCBv
xxuBAu
=→
+=→
 
Vamos construir o diagrama para estas funções: 
 
 
1x 1x 2x2x
( )1xf
( )1xf ( )2xf
( )2xf
xx
y
y
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Poderíamos pensar agora em uma terceira função que associasse os valores de A aos 
valores correspondentes de C, sem passar pelo conjunto B 
Se chamarmos essa função de h, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Daí, ( ) ( ) 22: +=→ xxhCAh 
A função h é chamada função composta de u e v 
Representamos: ( ) ( )( )xuvxh = 
O cálculo da equação que define uma função composta é muito simples: 
No nosso exemplo, ( )( ) ( )[ ] ( ) 22 2+== xxuxuv 
Observe que a “missão” da função da função v, é elevar ao quadrado os valores 
atribuídos a “x” 
Exemplo 2 
Atribuídas as exigências dos domínios, considere as funções dadas por: 
4
3
2
1
6
5
4
3
36
25
16
9
A B Cvu
4
3
2
1
36
25
16
9
A Ch
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( )
( ) xxv
xxu
35 −=
=
 
Determine a função composta ( )( )xvu 
Solução: ( )( ) ( ) xxvxvu 35 −== . Portanto, ( )( ) xxvu 35 −= 
OBSERVAÇÃO 
O conceito de função composta é muito utilizado no estudo de derivadas. 
FUNÇÃO INVERSA 
Consideremos os conjuntos { } { }11,9,7,5,4,3,2,1 == BA e as funções: 
( )
( )
2
3
:
32:
−
=→
+=→
x
xgABg
xxfBAf
 
Veja os diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, ( ) ( ) ( ) ( ){ }11,4,9,3,7,2,5,1=f e ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,11,3,9,2,7,1,5=g 
Note que o conjunto de partida de f é o conjunto de chegada de g e vice-versa e que os 
pares de f e g são invertidos. 
Dizemos que f e g são funções inversas. 
Representamos a inversa de f por 1−f . 
Para calcularmos a função inversa de uma função f procedemos da seguinte forma: 
1º) isolamos a variável x na equação de f; 
2º) trocamos x por y e y por x no resultado encontrado. 
4
3
2
1
4
3
2
1
11
9
7
5
11
9
7
5
AA BBf g
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No nosso exemplo, ( ) 32 += xxf 
Vamos substituir ( )xf por y 
Teremos: 
2
3
2
3
2
3
23
32
−
=⇒
−
=⇒=
−
=−
+=
x
y
y
xx
y
xy
xy
 
Daí, ( )
2
31 −
=
−
x
xf 
OBSEVAÇÕES: 
1) Para que uma função tenha função inversa ela tem de ser somente crescente ou 
somente decrescente em todo seu domínio. 
2) Os gráficos de f e 1−f são formados por pontos simétricos em relação à bissetriz 
do primeiro e terceiro quadrantes. 
3) Sempre que calculamos a função composta de uma função e sua inversa o 
resultado é x. Assim, ( )( ) ( )( ) xxffxff == −− 11 . 
Veja uma ilustração da observação 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f
1−f
x
y
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EXERCÍCIOS 
01-) Dada a função definida por ( )
3
1
1
3
+
+
−
−
=
x
x
x
x
xf , pede-se: 
• A) 





−−−−
2
1f Resp: 
5
8
 
• B) calcular x de modo que ( ) 5=xf Resp: 
3
72 =−= xoux
 
02-) A produção diária de um certo produto, realizada por um determinado empregado, é avaliada 
por Produção = 3298 xxx −−−−++++ unidades, x horas após as 8 horas da manhã, quando começa o 
seu turno. 
• A) Qual é a sua produção até o meio dia ? Resp: 112 unidades 
• B) Qual é a sua produção durante a quarta hora de trabalho ? Resp: 34 unidades 
03-) Dadas as funções (((( )))) 652 ++++−−−−==== xxxf e (((( )))) 12 ++++==== xxg , resolva a equação: 
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))0
2
2
1
f
f
gf
xgf
====
−−−−
 Resp: 






====
2
1S 
04-) Considere a função (((( ))))xf tal que (((( )))) 431 ====f e (((( )))) (((( )))) 1521 −−−−====++++ xfxf , ℜℜℜℜ∈∈∈∈∀∀∀∀ x . Pede-se 
determinar o valor de (((( ))))0f Resp: 29 
05-) Se (((( ))))
12
531
++++
++++
====++++
x
x
xf , calcule (((( ))))xf Resp: (((( ))))
12
23
−−−−
++++
====
x
x
xf 
06-) Considere as funções (((( )))) (((( )))) 2212 ++++−−−−====++++==== xxxg;xxf e (((( )))) xxh −−−−==== 3 . Pede-se: 
• A) (((( ))))(((( ))))xgf Resp: (((( ))))(((( )))) 5222 ++++−−−−==== xxxgf 
• B) (((( ))))(((( ))))xfg Resp: (((( ))))(((( )))) 2224 ++++++++==== xxxfg 
• C) (((( ))))(((( ))))(((( ))))xhfg Resp: (((( ))))(((( ))))(((( )))) 442624 ++++−−−−==== xxxhfg 
07-) Dadas as funções (((( )))) 24 ++++==== xxf e (((( )))) 13 −−−−==== xxg , calcule x de modo que: 
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))01 fggfxfgxgf −−−−====++++ Resp: 
12
1
====x 
08-) Sendo (((( ))))
5
32
−−−−
++++
====
x
x
xf , determine (((( ))))xf 1−−−− Resp: (((( ))))
2
351
−−−−
++++
====
−−−−
x
x
xf 
09-) A função f satisfaz a relação (((( )))) (((( )))) .x,xf.xxf 01 >>>>====++++ Se pi====





2
1f , o valor de 





2
3f
deverá ser igual a: Resp: 
2
pi
 
10-) Se f é uma função tal que (((( )))) (((( )))) bf,af ======== pi1 e (((( )))) (((( )))) (((( )))) ℜℜℜℜ∈∈∈∈∀∀∀∀====++++ y,x,yf.xfyxf , determine o 
valor de (((( )))).f pi++++2 Resp: (((( )))) baf 22 ====++++ pi 
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11-) Seja (((( ))))xfy ==== uma função definida no intervalo [[[[ ]]]]45,−−−− pelo gráfico dado abaixo. Determine o 
valor de (((( ))))(((( ))))3−−−−ff Resp: (((( ))))(((( )))) 03 ====−−−−ff 
 
 
5−−−− 1−−−− 0 4
3−−−−
2
x
y
o ••••••••
••••