Apostila_Fundamentos_de_Matemá

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 
 
 
 
 
 
Professor: Sergio Ricardo P. de Mattos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duque de Caxias 
2012 
Portaria MEC 940/94 de 16 de Junho de 1994
Rua Professor José de Sousa Herdy, 1160 - 25 de Agosto - Duque de Caxias - RJ - Brasil
CEP: 25.071-202 Telefone (55) (21) 2672-7777 / (21) 3219-4040 http://www.unigranrio.br
Dados da disciplina
Disciplina: IEN001 - FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR
Carga Horária: 80 Créditos: 4
 
EMENTA DA DISCIPLINA
Conjuntos, Relações Binárias, Função Afim, Função Quadrática, Função Exponencial, Função Logarítmica, Função Inversa
 
COMPETÊNCIAS DA DISCIPLINA
- Rever os conceitos de relações binárias e funções buscando alcançar melhor a compreensão do conceito de função real e suas aplicações práticas.
Rever algumas funções elementares.
 
PROGRAMA DA DISCIPLINA
1 - Relações Binárias
 1.1 - Par ordenado
 1.2 - Sistema cartesiano
 1.3 - Produto cartesiano
 1.4 - Relação binária
 1.5 - Domínio e imagem
 1.6 - Relação inversa
2 - Funções reais
 2.1 - Definição e exemplos
 2.2 - Notação das funções
 2.3 - Domínio e imagem
 2.4 - Funções iguais
3 - Algumas funções elementares
 3.1 - Funções de 1º grau
 3.1.1 - Função identidade
 3.1.2 - Função linear
 3.1.3 - Função afim
 3.1.4 - Gráfico
 3.1.5 - Imagem
 3.1.6 - Funções crescentes e decrescentes
 3.1.7 - Inequações produto e quociente
 3.2 - Função quadrática
 3.2.1 - Definição e exemplos
 3.2.2 - Forma canônica
 3.2.3 - Zeros
 3.2.4 - Vértice
 3.2.5 - Gráfico
 3.2.6 - Imagem
 3.2.7 - Inequações do 2º grau
 3.3 - Função Exponencial
4 - Logaritmo e Função Logarítmica
 4.1 - Função composta
 4.1.1 - Definição e exemplos
 4.1.2 - Propriedades
5 - Função inversa
 5.1 - Função injetora
 5.2 - Função sobrejetora
Ementa https://www.unigranrio.edu.br/portal/Principal
1 de 2 15/9/2012 13:04
 5.3 - Função bijetora
 5.4 - Função inversa
 
BIBLIOGRAFIA DA DISCIPLINA
 BÁSICA
FLEMMING, D.M E GONÇALVES, M.B. CALCULO A. São Paulo: Makron Books, 2007.
IEZZI, G. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR. São Paulo, V.1: Atual, 2004.
MACHADO, A.S. Matemática: Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1988.
 COMPLEMENTAR
IEZZI, G. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR. São Paulo, V.2: Atual, 2004.
LEITHOLD, L. MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO. Rio de Janeiro: Harbra, 1988.
MEDEIROS, Valéria Zuma et Al.. Pré-Cálculo. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
PAIVA, M. MATEMÁTICA: VOL 1. São Paulo: Moderna, 1995.
SANTOS, A.R. et Al. INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES REAIS - UM ENFOQUE COMPUTACIONAL. Rio de Janeiro: Im-Ufrj, 1998.
 
Usuário: 7649 - Sergio Ricardo Pereira de Mattos
Ementa https://www.unigranrio.edu.br/portal/Principal
2 de 2 15/9/2012 13:04
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
1 
 
CAPÍTULO 1 
Conjuntos numéricos, plano cartesiano, 
produto cartesiano e relações binárias 
 
 
 
1. Conjuntos Numéricos 
 
 1.1 Conjunto dos Números Naturais (ℕ ) 
 É o conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,............}. 
 Um subconjunto de N, que merece destaque é : *ℕ = {x ∈ ℕ | x > 0} = {1, 2, 3, 4,......} 
 
1.2 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ ) 
 É o conjunto ℤ = { ........, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...........}. 
 Alguns subconjuntos de ℤ merecem destaque: 
1) Conjunto dos Inteiros não-nulos ( *ℤ ) 
 *ℤ = {x ∈ ℤ | x ≠ 0} = {......,−3, −2, −1, 1, 2, 3,.....} 
 
2) Conjunto dos inteiros não-positivos (
−
ℤ ) 
 
−
ℤ = {x ∈ ℤ | x ≤ 0} = {......, −4, −3, −2, −1, 0} 
 
3) Conjunto dos inteiros não-negativos ( +ℤ ) 
 +ℤ = {x ∈ ℤ | x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, 4,......} = ℕ 
 
 
4) Conjunto dos inteiros positivos ( *+ℤ ) 
 *+ℤ = {x ∈ ℤ | x > 0} = {1, 2, 3, 4,......} = 
*ℕ 
 
5) Conjunto dos inteiros negativos ( *
−
ℤ ) 
 *
−
ℤ = {x ∈ ℤ | x < 0} = {......, − 4, −3, −2, −1} 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
2 
 1.3 Conjunto dos Números Racionais (ℚ ) 
 ℚ = {
b 
a | a, b∈ℤ e b ≠ 0}. Assim ℚ é um conjunto que engloba todas as frações. Observe 
que os inteiros são frações aparentes, como por exemplo : 4 = = = = ......
4 8 12
1 2 3
 e portanto são 
racionais. 
 Exemplos : 
 1) 0,25 é racional, pois pode ser representado como razão de dois números inteiros : 
0,25 = 1/4 = 2/8 = etc. 
 2) 3 é racional, pois pode ser representado como razão de dois inteiros : 3 = 3/1 = 6/2 = etc. 
 3) 0,353535... é racional, pois pode ser representado como razão de dois inteiros : 
0,353535.... = 35/99 ( é uma dízima periódica com período 35). 
 
1.4 Conjunto dos Números Irracionais ( I = −ℝ ℚ ) 
 Número Irracional é toda dízima não-periódica (parte decimal infinita e sem um período). Um 
número irracional não pode ser representado por uma razão de dois inteiros. 
 Exemplos : 
 1) =2 1,414213562...... é irracional 2) 3 = 1,73205080..... é irracional 
 3) =3 5 1,709975947..... é irracional 4) pi = 3,141592654..... é irracional 
 5) e = 2,718281828......é irracional 
 
1.5 Conjunto dos Números Reais (ℝ ) 
 É qualquer número racional ou irracional, ou seja, I= ∪ℝ ℚ . 
 ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ 
 I∪ =ℚ ℝ 
 I∩ = ∅ℚ 
 
2. Intervalos Reais 
Sejam a e b ∈ ℝ tais que a < b 
 
Intervalo fechado 
{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} = [a,b] 
 
Ex.: [0,3] = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 3} 
 
 
 
ℝ 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
3 
Intervalo aberto 
 
{ x ∈ ℝ | a < x < b} = ]a,b[ = (a,b) 
 
Ex.: ]0,3[ = (0,3) = {x ∈ ℝ | 0 < x < 3} 
 
 Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda 
 { } [ [x a x b a, b∈ ≤ < =ℝ 
 
 Ex.: [1,2[ = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 2} 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
 { } ] ]x a x b a, b∈ < ≤ =ℝ 
 
 Ex.: ]1,2] = {x ∈ ℝ | 1 < x ≤ 2} 
 
 Intervalos ilimitados 
 [a, +∞[ = [a,+∞) 
 ]a, +∞[ = (a, +∞) 
 ] -∞,b] = (-∞,b] 
 ] -∞, b[ = (-∞, b) 
 
 
 
3. Plano Cartesiano 
 
 É o plano formado por duas retas perpendiculares. Cada reta representa o conjunto dos 
números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Coordenadas de um Ponto 
 
 ( , )P a b são as coordenadas do ponto P 
 a→ abscissa do ponto P 
 b→ ordenada do ponto P 
 (a, b) pode se chamado, também, de par ordenado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Produto Cartesiano 
 
 Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de a por B o 
conjunto BA × cujos elementos são todos pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento 
pertence a e o segundo elemento pertence a B. 
{ }ByAxyxBA ∈∧∈=× |),( 
obs: BA × lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”. 
obs: ∅=∅×A ∅=×∅ B ∅=∅×∅ 
obs: Se BA ≠ então ABBA ×≠× . 
obs: Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então BA × é um 
conjunto com nm ⋅ elementos. 
 
5. Relação Binária 
 
{ }xRyBAyxR |),( ×∈= 
Domínio: 
É o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
 
Imagem: 
É o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo P(a, b), temos que: 
a > 0 e b > 0 → P ∈ 1º quadrante 
a < 0 e b> 0 → P ∈ 2º quadrante 
a < 0 e b < 0 → P ∈ 3º quadrante 
a > 0 e b < 0 → P ∈ 4º quadrante 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
5 
6. Atividades 
Exercício 1 
Preencha os parênteses com V (verdadeiro) ou F (falso) 
 a) ( ) 2 ∈ ]0, 3[ 
 b) ( ) 1 ∈ ]0, 1[ 
 c) ( ) pi ∈ [2 2 , ]
2
7 
 d) ( ) (2− )3 ∈ [
2
1 , 1[ 
 e) ( ) 0 ∉ [−1, 1[ 
 f) ( ) {3, 5} ⊂ ]2, 6] 
 g) ( ) {1, 4} ⊂ [0, 4[ 
 h) ( ) (1, 3] ⊂ (2, 3] 
 
Exercício 2 
Considere o ponto P=(1, 4). Dê as coordenadas dos pontos A, B, C e D: 
 
a) A – situado 2 unidades à direita e 3 unidades abaixo do ponto P. 
b) B – situado 2 unidades à esquerda e 3 unidades acima do ponto P. 
c) C – situado 2 unidades à direita e 3 unidades acima do ponto P. 
d) D – situado 2 unidades à esquerda e 3 unidades abaixo do ponto P. 
 
Exercício 3 
Usando a notação de intervalo, escreva o subconjunto de ℝ formado pelos números reais; 
a) Maiores que 3. 
b) Menores que ( - 1 ). 
c) Maiores ou iguais a 2. 
d) Menores ou iguais a 5. 
e) Maiores que 2 e menores ou iguais a 7. 
 
Exercício 4 
Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos: 
a) [ ]5, 11 b) ( ]7, 3− c) ( )8,0− d) [ )2, + ∞ 
e) ( ), 5−∞ f) [ )2, 3− g) ( ], 9−∞ 
 
Exercício 5 
Dados os intervalos [ ]1, 5= −A , ] ]2, 6=B e [ )0, 7=C , determinar: 
a) ∩A B b) ∩A C c) ∩B C d) ∩ ∩A B C 
e) ∪A B f) ∪A C g) −A B h) −B C 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
6 
Exercício 6 
Dados os conjuntos: A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, representar pelos elementos e pelo 
gráfico cartesiano os seguintes produtos: 
a) A x B b) B x A c) A x C d) C x A e) B2 f) C2 
 
Exercício 7 
Dados os conjuntos: 
{ }= ∈ ≤ ≤ℝ |1 3A x x 
{ }= ∈ − ≤ ≤ℝ | 2 2B x x 
{ }= ∈ − < ≤ℝ | 4 1C x x 
representar graficamente os seguintes produtos: 
a) A x B b) B x C c) A x C d) C x B e) A2 f) C2 
 
Exercício 8 
Sabendo que { } ⊂ 2(1,2), (4,2) A e ( )2n A = 9, represente pelos elementos o conjunto A2. 
 
Exercício 9 
Se { }− ⊂ 2(1, 2),(3,0) A e ( )2n A = 16, represente pelos elementos o conjunto A2. 
 
Exercício 10 
Considerando ⊂A B , { }− − ⊂ ×(0,5), ( 1,2),(2, 1) A B e × =( ) 12n A B represente ×A B pelos seus 
elementos. 
 
Exercício 11 
Sendo { }= ∈ ∧ ≤ℤ*A x x 1 e { }+= ∈ ∧ ≤ℤB x y 2 . O número de elementos de ×A B é igual a: 
a) 2 b)3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
Exercício 12 
Enumere os pares ordenados das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em 
B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} definidas por: 
a) x R y ⇔ x + y = 2 
b) x R y ⇔ |x| = |y| 
c) x R y ⇔ (x – y)2 = 1 
d) x R y ⇔ x + y > 2 
 
Exercício 13 
Estabelecer o domínio e imagem das seguintes relações: 
a) {(1, 1), (1, 3), (2, 4)} b) {(2, 1), (1, -3), (5, 2 )} 
c) {(3, 1
2
), ( 5
2
, -1), ( 3
2
, 0)} d) {(-2, 4), (-1, 1), (3, -7), (2, 1)} 
 
Exercício 14 
Dados os conjuntos { }= ∈ ≤ ≤ℝ |1 6A x x , { }= ∈ ≤ ≤ℝ |2 10B y y represente as seguintes relações 
binárias no gráfico cartesiano: 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
7 
a) { }= ∈ × =( , ) |R x y A B x y 
b) { }= ∈ × =( , ) | 2S x y A B y x 
c) { }= ∈ × = +( , ) | 2T x y A B y x 
d) { }= ∈ × + =( , ) | 7V x y A B x y 
 
Exercício 15 
A figura abaixo mostra o gráfico de uma relação R. Dê o domínio e a imagem de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 
O gráfico de uma relação R é a curva representada abaixo. Dê o domínio e o conjunto imagem de 
R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 17 
(Prefeitura do Rio/2010) Os conjuntos A e B possuem, respectivamente, n e 4n subconjuntos 
distintos. Se o número de elementos de A é igual a 20, então o número de elementos de B é: 
(A) 80 
(B) 40 
(C) 38 
(D) 22 
 
Exercício 18 
(SEE-RJ/2010) O número de subconjuntos de A = {1, 2, 3, 4} que contém ou o elemento 2 ou o 
elemento 3 é: 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
8 
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10 
 
Exercício 19 
(SEE-RJ/2007) Sejam A o conjunto dos números naturais de 3 algarismos e N o conjunto dos 
números naturais. A função f: A→N é definida por: f(n) = soma dos algarismos de n. O conjunto B é 
formado pelos valores de n, tais que f(n) = 4. O número de elementos de B é: 
 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 
 
7. Gabarito 
1) a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) F h) V 
2) a) A = (3, 1) b) B = (-1, 7) c) C = (3, 7) d) D = (-1, 1) 
3) a)  +∞ 3; b)  −∞ − ; 1 c)  +∞ 2; d)  −∞ ;5 e)   2;7 
4) a) { }∈ ≤ ≤ℝ 5 11x x b) { }∈ − < ≤ℝ 7 3x x c) { }∈ − < <ℝ 8 0x x 
 d) { }∈ ≥ℝ 2x x e) { }∈ <ℝ 5x x f) { }∈ − ≤ <ℝ 2 3x x 
 g) ( ]{ }−∞ ∈ <ℝ, 9 9x x 
5) a) ] ]2;5 b) [ ]0;5 c) ] ]2;6 d) ] ]2;5 e) [ ]−1;6 f) [ [−1;7 
 g) [ ]−1;2 h) ∅ 
 
6) a) A x B = {(1, -2), (1,1), (3, -2), (3, 1), (4, -2), (4, 2)} 
 
 
 
 
 
 
 
b) B x A = {(-2, 1), (-2, 3), (-2, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 4)} 
 
 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
9 
c) A x C = {(1, -1), (1, 0), (1, 2), (3, -1), (3, 0), (3, 2), (4, -1), (4, 0), (4, 2)} 
 
 
 
 
 
 
 
d) C x A = {(-1, 1), (-1, 3), (-1, 4), (0, 1), (0, 3), (0, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) B2 = {(-2, 2), (-2, 1), (1, -2), (1, 1)} 
 
 
 
 
 
 
 
 f) C2 = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 2), (2, -1), (2, 0), (2, 2)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
10 
7) a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
8) A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} 
 
9) A2= {(-2, -2), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 3), (0, -2), (0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, -2), (1, 0), (1, 1), (1, 3), (3, -2), (3, 0), (3, 1), (3, 3)} 
 
10) A x B = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 2), (-1, 5), (0, -1), (0, 0), (0, 2), (0, 5), (2, -1), (2, 0), (2, 2), (2, 5)} 
 
11) E 
 
12) a) R = {(-2, 4), (-1, 3), (0, 2), (1, 1)} 
 b) R = {(-2, -2), (-2, 2), (-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1), (2, -2), (2, 2)} 
 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
11 
 c) R = {(-2, -1), (-2, -3), (-1, -2), (0, -1), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 1)} 
 d) R = {(-1, 4), (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} 
 
13) a) D = {1, 2} e Im = {1, 3, 4} 
 b) D = {1, 2, 5} e Im = {-3, 1, 2 } 
 c) D = { 3
2
, 5
2
, 3} e Im = {-1, 0, 1
2
} 
 d) D = {-2, -1, 2, 3} e Im = {-7, 1, 4} 
 
14) a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
15)  = ∈ − 5;3D x e  = ∈  Im 1;9y 16)  = ∈ − 3;2D x e  = ∈  Im 0;4y 
 
17) D 18) C 19) E 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
12 
 
CAPÍTULO 2 
Conceitos básicos de funções, Função 
Composta e Função Inversa 
 
 
2. Noção intuitiva de função 
A situação que descreveremos, no exemplo a seguir, introduz claramente a noção de 
função, um dos conceitos mais importantes da Matemática. 
Exemplo: 
Um teste de Matemática com 20 questões foi aplicado a uma turma do ensino médio. É 
claro que a nota de cada aluno depende do número de acertos. 
A tabela, a seguir, relaciona o número de acertos (x) com a nota (N) do aluno : 
 
 
 
Observe que os valores de x e de N estão relacionados pela igualdade 1N x
2
= , em que x é 
um número natural igual ou inferior a 20. 
A cada valor da variável x (sem exceção) está associado um único valor da variável N. Uma 
situação como essa é um bom exemplo de função. No caso em apreço,dizemos que N é função de 
x. 
A instrução que ensina como obter o valor de N associado a cada valor de x é a regra ou lei 
de associação. No exemplo em pauta, a regra é expressa por uma fórmula (igualdade 1N x
2
= ). 
A variável x (grandeza número de acertos) é chamada de variável independente ou 
variável livre e a variável N (grandeza nota) é chamada variável dependente. 
 
As seguintes situações também são exemplos de funções que relacionam duas grandezas 
variáveis: 
 ���� O preço pago para abastecer de combustível o tanque de um veículo é função do número de 
litros colocados; 
 ���� O perímetro (P) de um triângulo eqüilátero é função da medida (x) de seu lado: P = 3x ; 
Número de acertos (x) 0 1 2 3 .... 19 20 
Nota (N) 0 0,5 1,0 1,5 .... 9,5 10,0 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
13 
 ���� A área (A) de um círculo é função da medida (r) de seu raio: A = pi r2 ; 
 ���� A posição de um automóvel que trafega com velocidade constante é função do instante 
considerado; 
 ���� O volume (V) de um cubo é função da medida (a) de sua aresta: V = a3. 
Em face do exposto, podemos dizer que : 
Dadas duas grandezas variáveis, uma função relacionando essas grandezas é uma regra 
que instrui como associar a cada valor (sem exceção) de uma das grandezas, um único valor da 
outra. 
Exemplo: 
Um médico cobra R$50,00 por consulta com hora marcada e R$70,00 por consulta sem 
hora marcada. Diariamente ele atende 10 clientes com hora marcada e um número variável x de 
clientes sem hora marcada. Qual a regra que exprime a arrecadação diária P em termos do número 
variável x de clientes ? A regra define P como uma função de x? 
 Resolução: 
Façamos uma tabela relacionando o número variável de clientes sem hora marcada, com a 
arrecadação diária 
 
 x 0 1 2 3 4 ............... 
 P (R$) 500 570 640 710 780 ............... 
 
É fácil ver que a arrecadação diária P é resultante da soma de uma parcela fixa de 500 reais 
(obtida de 10 consultas marcadas) com uma parcela variável de 70 x reais (obtida de x consultas 
não-marcadas). Portanto, a regra é P = 70 x + 500. 
Como a regra fornece, para todo valor de x, um único valor de P, e claro que P é função de x. 
 
 
3. Funções 
 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação 
de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo Ax ∈ existe 
um só By ∈ tal que ( ) fyx ∈, . 
f é função de A em B ⇔ ( )fyxByAx ∈∈∃∈∀ ),(||, 
 
Notação das funções: 
→:f A B 
 ֏ ( )x f x 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
14 
2.1. Domínio e Imagem 
 
Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então f tem um domínio e 
uma imagem. 
 
i. Domínio: 
 Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A∈ para os quais existe y B∈ tal 
que ( , )x y f∈ . Como pela definição de funções, todo elemento de A tem essa propriedade. 
Domínio = conjunto de partida 
 
ii. Imagem: 
 Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B∈ para os quais existe x A∈ tal 
que ( , )x y f∈ . 
Imagem é o subconjunto do contradomínio 
 
 
Exemplo 1: 
Sejam A = {−3, −1, 0, 1, 2}, B = {−1, −2, 0, 1, 2, 3, 5} e f: A → B a função de regra 
y=f(x)=x+1, cujo diagrama está representado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
A imagem do elemento 0 de A é f (0) = 1, enquanto que a imagem do elemento 2 de A é 
f(2) = 3. O conjunto imagem da função f é Im(f) = {−2, 0, 1, 2, 3} 
 
Exemplo 2: 
Dada as funções RAf →: onde A = { 1; 2; 3 } e f( x) = x - 1 , calcule o conjunto imagem de f. 
Solução. 
O conjunto imagem conterá os resultados encontrados ao aplicarmos nos elementos de A a função 
f: 
f(1) = 1 – 1 = 0; 
f(2) = 2 – 1 = 1; 
f(3) = 3 – 1 = 2. 
Logo Im(f) = {0, 1, 2}; 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
15 
iii. Determinação do domínio e do conjunto imagem de uma função representada 
graficamente 
O domínio e o conjunto-imagem de uma função dada graficamente são obtidos projetando-
se seu gráfico no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas respectivamente. 
Exemplos: 
a) 
 { } [ ]( ) 2 4 2; 4= ∈ ≤ ≤ =ℝD f x x 
{ } [ ]Im( ) 1 5 1; 5= ∈ ≤ ≤ =ℝf y y 
 
 
 
 
b) 
 
 { } ] ]( ) 1 1 1; 1= ∈ − < ≤ = −ℝD f x x 
 { } [ [Im( ) 0,3 2 0,3; 2= ∈ ≤ < =ℝf y y 
 
 
 
b. Reconhecimento de uma função pelo gráfico 
Para que esteja definida uma função f: A → B, a cada x∈A deve corresponder um único 
y∈B. Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta 
o gráfico, deve fazê-lo em um único ponto. Assim, se alguma reta perpendicular ao eixo x 
intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não representa uma função. 
Exemplos: 
a) 
O gráfico ao lado é de uma função, pois toda reta 
perpendicular ao eixo dos x, intersecta-o em apenas um 
ponto (para todo x do domínio haverá um único 
correspondente y no contradomínio). 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
16 
b) 
 
O gráfico acima não é de uma função, pois existem 
retas perpendiculares ao eixo x intersectando-o em mais de 
um ponto (há valores de x do domínio com mais de um 
correspondente y no contradomínio). 
 
 
 
c. Monotonismo (crescimento, decrescimento ou constância) de uma 
função. 
i. Função crescente em um subconjunto do domínio 
Diz-se que uma função f é crescente em um conjunto E ⊂ D(f), se para quaisquer dois 
elementos x1 e x2 desse conjunto, tivermos : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii. Função decrescente em um subconjunto do domínio 
Diz-se que uma função f é decrescente em um conjunto F ⊂ D(f), se para quaisquer dois 
elementos x1 e x2 desse conjunto, tivermos : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
17 
iii. Função constante em um subconjunto do domínio 
Dizemos que uma função f é constante em um conjunto G ⊂ D(f), se para quaisquer dois 
elementos x1 e x2 desse conjunto, tivermos : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) = f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Extremos (máximo, mínimo) de uma função em um subconjunto do 
domínio 
 
i. Valor máximo 
Diz-se que uma função f tem um máximo no ponto n de um conjunto I ⊂ D(f), se para todo 
ponto x desse conjunto, tivermos f(x) ≤ f(n). O número f(n) é o valor máximo da função f nesse 
conjunto e o elemento n, que produz esse máximo, é a abscissa maximizante. Veja o gráfico 
abaixo. 
 
ii. Valor mínimo 
Diz-se que uma função f tem um mínimo no ponto m de um conjunto I ⊂ D(f), se para todo 
ponto x desse conjunto, tivermos f(x) ≥ f(m). O número f(m) é o valor mínimo da função f nesse 
conjunto e o elemento m, que produz esse mínimo, é a abscissa minimizante. Veja o gráfico 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
18 
e. Função Composta 
 
Considere a seguinte situação: 
 
Um terreno foi dividido em 20 lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, 
vamos mostrar que a área do terreno é função da medida do lado de cada lote, representando uma 
composição de funções. 
 
Para tal, chamemos de x o lado de cada lote, de y a área de cada lote e de z a área do terreno. 
 
É claro que: 
 
 1) a área de cada lote = (lado de cada lote)2 , ou seja : y = f(x) = x2 
 
 2) a área do terreno = 20 ⋅ (área de cada lote) , ou seja : z = g(y) = 20 y 
 
De (1) e (2), podemos escrever: 
 
 3) a área do terreno = 20 ⋅ (lado de cada lote)2, ou seja : z = 20 x2 
Assim, aárea do terreno é função da medida do lado de cada lote, ou seja : z = h(x) = 20 x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função h , assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por gof 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe na notação da composta h = gof, que a última função que aparece à direita da igualdade é 
a primeira função aplicada, enquanto que a primeira função que aparece é a última aplicada . 
 
É claro que h(x) = (gof) (x) = g(f(x)) para todo x∈ Dom(f) 
 
 
 (gof) (x) = g(f(x)) 
 
 
OBS: (gof) (x) é lida como g composta com f de x e g(f(x)) é lida como g de f de x 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
19 
Exemplo 1: 
Sejam e f g funções reais definidas por = +( ) 3 1f x x e = +( ) 5g x x . Determine: 
Solução. 
i) f(g(x)) = f(x + 5) = 3(x + 5) + 1 = 3x + 15 + 1 = 3x + 16. 
 
ii) g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1) + 5 = 3x + 6. 
 
Exemplo 2: 
Sejam e f g funções reais definidas por = +2( ) 1f x x e = −( ) 7g x x . Determine: 
Solução. 
a) ( ( ))f g x = f(x – 7) = (x – 7)2 + 1 = x2 – 14x + 49 + 1 = x2 – 14x + 50. 
b) ( ( ))g f x = g(x2 +1) = (x2 +1) – 7 = x2 – 6. 
 
Exemplo 3: 
Dada a função − = +2(3 2) 1f x x , determine (4)f . 
Solução. 
Substituindo 3x – 2 = t vem: 
+
=
2
.
3
t
x Logo, 
+
= +2
2
( ) ( ) 1.
3
t
f t 
Desenvolvendo o 2º membro temos: 
+ + + + + + +
= + = =
2 2 24 4 4 4 9 4 13
( ) 1 .
9 9 9
t t t t t t
f t 
Como essa lei vale para qualquer variável, temos que 
+ + + +
= ⇒ = = =
2 24 13 (4) 4(4) 13 45
( ) (4) 5.
9 9 9
x x
f x f 
 
 
f. Função Inversa 
 
 
 Considere a função :f A B→ , bijetora. Chama-se função inversa de f a função :g B A→ 
quando se somente quando ( )f m n= equivaler a ( )g n m= , quaisquer que sejam m A∈ e n B∈ . 
Indicamos a função inversa de f por 1f − . 
 
Exemplo 1: 
Seja →ℝ ℝ:f definida por = +( ) 2 1f x x . Obtenha −1f . 
Solução. 
Substituindo y por x, temos: x = 2y + 1. Logo 
−
=
1
.
2
x
y 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
20 
Exemplo 2: 
Determine a inversa de cada uma das funções: 
a) = +3( ) 1h x x . 
Solução. 
−
= + ⇒ = − ⇒ = = −3 3 1 31 1 ( ) 1x h h x f x y x 
 
b) 
+
=
−
3
2
x
y
x
. 
Solução. 
−
+ +
= ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = =
− −
13 2 32 3 2 3 ( 1) 2 3 ( )
2 1
y x
x xy x y xy y x y x x f x y
y x
 
 
 
4. Atividades 
Exercício 1 
Contratado para uma temporada, um cantor receberá diariamente de uma casa noturna, um cachê 
(C) constituído de uma parte fixa de R$3.000,00 e de uma parte variável igual a 30% do faturamento 
diário (x) da bilheteria. 
 Responda: 
a) Qual a regra que exprime o cachê diário do cantor em termos do faturamento da 
bilheteria? 
b) Com essa regra de associação, C é uma função de x? Por quê? 
c) Quanto receberá o artista, em um dia, cujo faturamento da bilheteria foi de 
R$35.000,00? 
d) Qual foi o faturamento da bilheteria, no dia em que o cantor recebeu R$9.000,00 de 
cachê? 
 
 
Exercício 2 
Considere a função f : A → B dada pelo seguinte diagrama : 
Determine : 
a) D(f) b) Im(f) 
c) f(4) d) y, quando x = 5 
e) x, quando y = 3 
f) x, quando f(x) = 1 
g) f(x), quando x = 6 
h) y, quando x = 3 
i) x, quando y = 7 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
21 
Exercício 3 
Seja f a função de ℝ em ℝ definida por = − +2( ) 3 4f x x x . Calcular: 
 
a) f(2) b) f(-1) c) ( )12f d) ( )− 13f e) f( 3 ) 
 
 
Exercício 4 
Seja f a função de ℤ ℤem definida por = −( ) 3 2f x x . Calcular: 
 
a) f(2) b) f(-3) c) f(0) d) ( )32f 
 
 
Exercício 5 
Seja f : →ℝ ℝ a função definida por 
x, se x 3
f(x) 2x, se 3 x 5
3x, se x 5
<

= ≤ ≤
 >
 então, determine 
f(2) f(3) f(4) f(5) f(6)+ + + + . 
 
 
Exercício 6 
(SEE-RJ/2010) Se 
+
− =
−
x 4
f(2x 3)
x 1
, para ≠x 1 , então f(7) é: 
a) 
9
4
 b) 2 c) 
8
5
 d) 
11
6
 e) 3 
 
 
Exercício 7 
 
(SEE-RJ/2010) Considere a função →ℕ ℕf : tal que f(0)=0 e f(n + 1) = f(n) + n + 1 para todo 
∈ℕn . O valor de f(4) é: 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 
 
 
Exercício 8 
Seja a função f de R em R definida por 
−
=
2 3
( )
5
x
f x . Qual é o elemento do domínio que tem −
3
4
 
como imagem? 
 
 
 
Exercício 9 
Seja a função f de { }−ℝ ℝ1 em definida por +=
−
3 2
( )
1
x
f x
x
. Qual é o elemento do domínio que 
tem imagem 2 ? 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
22 
Exercício 10 
 
Quais são os valores do domínio da função real definida por = − +2( ) 5 9f x x x que produzem 
imagem igual a 3? 
 
 
 
Exercício 11 
(Campos/2008) Na função real 
2x x 2 se x 2
f(x) x
1 se x 2
2
 + − > −

= 
− + ≤ −

, valores do domínio de f , que têm imagem 
4, são: 
 
a) x = −2 ou x = −3 b) x = −1 ou x = −4 c) x = 1 ou x = −5 
 
d) x = 2 ou x = −6 e) x = 3 ou x = −7 
 
 
Exercício 12 
 
Dar o domínio das seguintes funções reais: 
a) 23)( += xxf b) 
1
1
)(
+
=
x
xq c) 
4
1
)(
2
−
−
=
x
x
xh d) 
2
2
)(
−
+
=
x
x
xr 
 
e) 
2
1
)(
+
=
x
xg f) 3 12)( −= xxs g) 1)( −= xxp h) 
3
2
)(
3
−
+
=
x
x
xu 
 
 
Exercício 13 
 
 As funções f e g são dadas por f(x) = 3x + 2m e g(x) = −2x + 1. Calcule o valor de m sabendo que 
f(0) − g(1) = 3 
 
 
Exercício 14 
 
 (Miguel Pereira/2008) As funções f e g são dadas por 2xf(x) 1
3
= − e 5xg(x) a
3
= + . Sabe-se que 
4
f(0) g(0)
3
− = . Determine o valor de 2f(2) 2g
5
 
−  
 
. 
 
a) 4
3
 b) 2
5
 c) 15
2
 d) 11
3
 
 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
23 
Exercício 15 
Os seguintes gráficos representam funções. Determine o domínio (D) e o conjunto-imagem (Im) 
de cada uma delas. 
a) z b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 16 
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da 
variável x. Sabendo-se que f(2)=1, podemos concluir que f(5) é igual a: 
 
a) ½ b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 
 
Exercício 17 
(Fortaleza/2009) Seja 1f(x)
x
= , e x ≠ 0. Se 3f(2 p) f(2)
2
+ − = , então f(1-p) – f(1+p) é igual a: 
a) 8
5
 b) 2 c) 12
5
 d) 20
3
 
 
Exercício 18 
(Petrobras) “O Brasil é o país onde mais caem raios no mundo. Na última década, a cada três dias, 
em média, uma pessoa foi fulminada por um raio” Revista Veja, 10 fev. 2010. 
Seja f(x) uma função polinomial que represente o número de pessoas fulminadas por um raio no 
Brasil ao longo da última década, onde x representa o número de dias. Considerando as 
informações apresentadas na reportagem acima, conclui-se que: 
a) f(x) = 3x b) f(x) = x + 3 c) f(x) = x – 3 d) 
x
f(x)
3
= e) 
3 x
f(x)
3
−
= 
 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
24 
Exercício 19 
(Petrobras) A função g(x)=84x representa o gasto médio, em reais, com a compra de água mineral 
de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende deixar de comprar água mineral e 
instalar em sua residência um purificador de água que custa R$ 299,90. Com o dinheiro 
economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor investido na 
compra do purificador ficará entre: 
a) dois e três meses. b) três e quatro meses. c) quatro e cinco meses. 
d) cinco e seis meses. e) seis e sete meses. 
 
 
Exercício 20 
(Petrobras) A “Espresso Book Machine” é uma impressora comercial de alta velocidade que imprime 
uma páginade cada vez. As funções f(x)=105x e g(x)=35x indicam, respectivamente, as 
quantidades de páginas em preto e branco e em cores que essa impressora imprime em x minutos. 
Utilizando-se essa impressora, em quantos minutos seriam impressas as páginas de um livro que 
possui 392 páginas, das quais apenas 14 são coloridas? 
 
a) 3,0 b) 3,4 c) 3,6 d) 3,8 e) 4,0 
 
 
Exercício 21 
(Petrobras) Na função 2f(x) x 3x 1= − + − , a imagem de − 1 é: 
 
a) −5 b) −3 c) 0 d) +1 e) +3 
 
 
Exercício 22 
Sejam as funções f(x) = x2 − 2 x + 1 e g(x) = 2 x + 1. Calcule : 
 a) f(g(1)) 
 b) g(f(2)) 
 c) f(f(1)) 
 
 
Exercício 23 
Sejam as funções reais f e g, definidas por = −( ) 5 2f x x e ( ) 1 2g x x= − , pede-se f g� , g f� , g g� , 
f f� . 
 
 
Exercício 24 
Sejam as funções reais f e g, definidas por 2( ) 2f x x= + e ( ) 3g x x= − . Obter as leis que definem f g� , 
g f� , g g� e f f� . 
 
 
Exercício 25 
Dadas as funções reais definidas por ( ) 3 2f x x= + e ( ) 2g x x a= + , determinar o valor de a de modo que 
se tenha f g� = g f� . 
 
 
Exercício 26 
Sejam as funções reais ( ) 2 1f x x= + , 2( ) 1g x x= − e ( ) 3 2h x x= + . Obter a lei que define ( )h g f� � . 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
25 
Exercício 27 
Sejam as funções reais ( ) 3 5f x x= − e ( ) 2( ) 3f g x x= −� . Determinar a lei da função g. 
 
 
Exercício 28 
Sejam as funções reais ( ) 2 7f x x= + e ( ) 2( ) 2 3f g x x x= − +� . Determinar a lei da função g. 
 
 
Exercício29 
Seja f : →ℝ ℝ uma função tal que f(x 1) 2f(x) 5 e f(0) 6+ = − = . O valor de f(2) é: 
a) 0 b) 3 c) 8 d) 9 e) 12 
 
 
Exercício 30 
Seja g : →ℝ ℝ uma função tal que, para todo x, xg(2x 3) 2+ = . O valor de g(5) é: 
a) 10 b) 32 c) igual a g(13) d) 2 e) impossível de calcular apenas com 
esses dados. 
 
 
Exercício 31 
 Determine a função inversa de cada função dada a seguir: 
a) 3y x= − b) 
2
4
x
y
+
= c) 
3 2
4 3
x
y
x
−
=
−
 com 
3
4
x
 ≠ 
 
 
 
 
Exercício 32 
Na função inversível 
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
 (com x ∈ℝ e x ≠ 3), determine: 
a) 1( )f x− b) 1( 3)f − − 
 
 
Exercício 33 
Dadas as funções f e g definidas por ( ) 2f x x= + e ( ) 2 1g x x= − , considere a função h, de modo que 
( )( )h g f x= � . Determine 1( )h x− . 
 
 
Exercício 34 
Seja :f →ℝ ℝ definida por ( ) 2f x ax= − e g a função inversa de f. Sendo ( 2) 10f − = , determine g. 
 
Exercício 35 
Consideremos a função inversível f cujo gráfico é visto ao lado. 
A lei que define 1f − é: 
a) 
3
y 3x
2
= + b) 
3
y 2x
2
= − c) 
3x
y 3
2
= − 
d) 
2x
y 2
3
= + e) 
3
y 2x
2
= − − 
 
Funções 
Prof. Sergio Ricardo 
26 
4. Gabarito 
1) a) C(x) = 3000 + 0,3x b) Sim, pois depende da bilheteria x. 
 c) R$ 13500,00 d) R$ 20000,00 
2) a) D(f) = {3, 4, 5, 6} b) Im(f) = {1, 3, 7} c) f(4)=1 d) y=7 e) x=6 f) x=3 ou x=4 
 g) f(6)=3 h)y=1 i) x=5 
3) a) f(2) = 2 b) f(-1) = 8 c) ( )1 112 4=f d) ( ) 4613 9− =f e) ( )3 7 3 3= −f 
4) a) f(2) = 4 b)f(-3) = -11 c) f(0) = -2 d) 32 ( )∉D f 
5) 44 6) A 7) D 8) 
3
8
= −x 9) x = -4 10) x = 2 ou x = 3 11) D 
12) a) ( ) = ℝD f b) { }( ) 1= ∈ > −ℝD q x x c) { }( ) 2 2= ∈ ≠ − ∧ ≠ℝD h x x x 
 d) { }( ) 2= ∈ ≥ −ℝD r x x e) { }( ) 2= ∈ ≠ −ℝD g x x f) ( ) = ℝD s 
 g) { }( ) 1= ∈ ≥ℝD p x x h) { }( ) 3= ∈ ≠ℝD u x x 
13) m = 1 14) D 
15) a) { } [ ]( ) 3 1 3; 1= ∈ − ≤ ≤ = −ℝD f x x e { } [ ]Im( ) 2 2 2; 2= ∈ − ≤ ≤ = −ℝf y y 
 b) { } ] [( ) 2 3 2; 3= ∈ − < < = −ℝD f x x e { } [ ]Im( ) 1 3 1; 3= ∈ ≤ ≤ =ℝf y y 
 c) { } [ [( ) 2 1 2; 1= ∈ − ≤ < = −ℝD f x x e 1 1Im( ) 4 ; 4
2 2
   
= ∈ < ≤ =      
ℝf y y 
 d) { } [ ]( ) 0 2 0; 2= ∈ ≤ ≤ =ℝD f x x pi pi e { } [ ]Im( ) 1 1 1; 1= ∈ − ≤ ≤ = −ℝf y y 
16) C 17) C 18) D 19) B 20) E 21) A 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
27 
 
 
CAPÍTULO 3 
Função Afim 
 
 
 
5. Função Afim 
Uma função →ℝ ℝ:f , chama-se função afim, se existem números reais a e b,tais que f(x) = a x 
+ b, para todo ∈ℝx . 
 
Exemplos : 
 a) f(x) = 2 x + 1 (a = 2 e b = 1) 
 b) f(x) = − x + 4 (a = −1 e b = 4) 
 c) f(x) = 
3
1
 x + 5 (a =
3
1
 e b = 5) 
 d) f(x) = 2 x (a = 2 e b = 0) 
 O gráfico é uma reta que não passa pela origem. 
 
 
1.1 Casos particulares importantes da função afim 
 
1.1.1 Função Polinomial do 1o grau 
 Quando a ≠ 0 (b pode ser nulo ou não) 
 
 Exemplos: 
 a) f(x) = − 2 x b) f(x) = 3 x − 1 c) f(x) = − 
3
1
 x − 8 d) f(x) = pi x 
 
 
1.1.2 Função Linear 
 Quando b = 0 (a pode ser nulo ou não) 
 
 Exemplos: 
 a) f(x) = − 3 x b) f(x) = 0 c) f(x) = 
2
5
 x d) f(x) = x 
 
 
1.1.3 Função Constante 
 Quando a = 0 (b pode ser nulo ou não) 
 
 Exemplos: 
 a) f(x) = − 5 b) f(x) = 0 c) f(x) = 
7
3
 d) f(x) = 3 
 O gráfico é uma reta paralela ao eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
28 
1.1.4 Função Identidade 
 Quando a = 1 e b = 0, ou seja, f(x) = x para todo ∈ℝx . 
 
 
O gráfico é uma reta que contém as bissetrizes do 1º 
e 3º quadrantes. 
 
 
 
 
1.2 Valor de uma função afim para x = xo (imagem de x = xo pela função afim) 
 
O Valor de uma função afim f(x) = a x + b para x = xo é o número f(xo) = a xo + b. Este valor 
corresponde à imagem de x = xo pela função afim f(x) = a x + b. 
 
Exemplo: 
 
Se f(x) = 5 x + 1, então : 
 f(1) = 5 ⋅ 1 + 1 = 5 + 1 = 6; 
 f(−3) = 5 ⋅ (−3) + 1 = − 15 + 1 = − 14; 
 f(
5
2
) = 5 ⋅ (
5
2
) + 1 = 2 + 1 = 3. 
 
1.3 Determinação de uma função afim, conhecendo-se seus valores em x1 e x2 (x1 ≠≠≠≠ x2) 
 
Uma função afim fica inteiramente determinada, quando conhecemos dois dos seus valores 
f(x1) e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1 ≠ x2. Ou seja, com esses dados determinamos a e b. 
 
Exemplo : 
 
Escreva a função afim f(x) = a x + b, sabendo-se que f(2) = − 2 e f(1) = 1. 
f(2) = a . 2 + b → − 2 = 2 a + b 
f(1) = a . 1 + b → 1 = a + b 



=+
−=+
1b a
2b a 2
 
 
 → a = − 3 e b = 4 
 
Assim, a função afim é f(x) = − 3 x + 4 
 
 
1.4 Função afim crescente e decrescente 
 
O gráfico de uma função afim f(x) = a x + b é uma reta, onde o coeficiente b é a ordenada do 
ponto de interseção da reta com o eixo y. Quando o coeficiente a é ≠ 0, o ângulo α da reta com o 
eixo x é chamado de declividade da reta. Se a > 0, esse ângulo é agudo (a função é crescente) e 
se a < 0, esse ângulo é obtuso (a função é decrescente). 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Zero da função afim 
 
É o valor de x que anula f(x). 
 
Exemplos : 
 
1) O zero da função afim f(x) = 3 x + 6 é x = − 2, pois f(−2) = 3(−2) + 6 = − 6 + 6 = 0. 
 
2) O zero da função afim f(x) = − 2x + 10 é x = 5, pois f(5) = −2(5) + 10 = −10 + 10 = 0 
 
 
6. AtividadesExercício 1 
Construa os gráficos das seguintes funções de ℝ ℝem : 
a) y = x + 2 b) y = -x + 1 c) y = 2x – 1 d) y = -3x – 4 
 
Exercício 2 
Dada a função afim f(x) = − 2 x + 3, determine : 
 a) f(1) b) f(0) c) f(
3
1
) 
Exercício 3 
Dada a função afim f(x) = 2 x + 3, determine os valores reais de x, para os quais : 
 a) f(x) = 1 b) f(x) = 0 c) f(x) = 
3
1
 
 
Exercício 4 
Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$8,00, mais um custo variável de R$0,50 
por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: 
 a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; 
 b) calcule o custo de 100 peças; 
 
Exercício 5 
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções A e B. 
 � O plano A cobra R$100,00 de inscrição e R$50,00 por consulta em um certo período. 
 � O plano B cobra R$180,00 de inscrição e R$40,00 por consulta no mesmo período. 
 O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas. 
 Determine : 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
30 
 a) a equação da função correspondente a cada plano; 
 b) em que condições é possível afirmar que: o plano A é mais econômico; o plano B é mais 
econômico; os 2 planos são equivalentes. 
 
Exercício 6 
A despesa mensal de uma empresa com encargos sociais é dada pela função →ℕ ℝ:D , cuja lei é 
D(x) = 20 + 2x, onde D(x) é a despesa em milhares de reais e x é o número de funcionários. 
 a) Qual será a despesa, quando a empresa tiver 100 funcionários ? 
 b) Qual será o número de funcionários, quando a despesa for de 50 mil reais ? 
 c) Esboce o gráfico da função D, para 0 ≤ x ≤ 5. 
 
Exercício 7 
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5). 
 
Exercício 8 
Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (1,5) e (2,10). 
 
Exercício 9 
(SEE-RJ/2010) O gráfico da função f é uma reta. Sabendo que f(-2)=2 e f(14)=50 então f(11) é igual 
a: 
a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41 
 
Exercício 10 
Uma função afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(5). 
 
Exercício 11 
Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1)=190 e f(50)=2.052, então f(20) é igual a 
 
a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 
Exercício 12 
Analistas de produção verificaram que numa determinada montadora, o número de peças produzidas 
nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: 
( )
( )
250 t t , para 0 t 4
f(t)
200 t 1 , para 4 t 8
 + ≤ <
= 
 + ≤ ≤
 
O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é: 
a) 1.000 b) 800 c) 200 d) 400 
 
Exercício 13 
Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = ax + b e g(x) = mx + n, representadas no gráfico. É 
correto afirmar que (a - m)/(b + n) é igual a: 
a) -1/3 
b) 0 
c) 2/3 
d) 1 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
31 
Exercício 14 
Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada 
bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é 
R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19,00, 
para ir de sua casa ao shopping, é de 
a) 5 km b) 10 km c) 15 km d) 20 km e) 25 km 
 
Exercício 15 
Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso, 
mas que vem caindo. O caminho para se atingir o objetivo dependerá de muitos e variados meios, 
recursos, políticas e programas - dirigidos não só à s crianças mas às suas famílias e 
comunidades.Admitindo-se que os pontos do gráfico acima pertencem a uma reta, a mortalidade 
infantil em 2015, em milhões, será igual a: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
Exercício 16 
Uma empresa concessionária de telefonia móvel oferece as seguintes opções de contratos: 
X: R$ 60,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,30 por minuto de conversação; 
Y: R$ 40,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,80 por minuto de conversação. 
Nessas condições, a partir de quantos minutos de conversação em um mês, a opção pelo contrato X 
se torna mais vantajosa do que a opção por Y? 
a) 20 b) 25 c) 40 d) 45 e) 60 
 
Exercício 17 
(Niterói/2008) O valor de mercado de um determinado tipo de automóvel diminui com o passar do 
tempo, como mostra o gráfico abaixo, que representa uma função afim. Pode-se dizer que o valor 
comercial desse veículo será nulo em: 
 
A) 30 anos; 
B) 32 anos; 
C) 35 anos; 
D) 40 anos; 
E) 45 anos. 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
32 
Exercício 18 
(Cubati-PB/2007) Observe as sentenças e os gráficos abaixo: 
(A) 5x + 3y = 15 (C) 5x – 3y = -15 
(B) 3x – 5y = -15 (D) 3x + 5y = 15 
 
A alternativa que apresenta a 
correspondência correta entre 
as sentenças e os gráficos é: 
a) (A) – II; (B) – I; (C) – IV; (D) - III 
b) (A) – IV; (B) – III; (C) – II; (D) - I 
c) (A) – III; (B) – I; (C) – IV; (D) - II 
d) (A) – I; (B) – IV; (C) – III; (D) - II 
e) (A) – III; (B) – II; (C) – IV; (D) – I 
 
Exercício 19 
(Petrobras) O Programa de Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treinamento para o cultivo de 
moluscos no litoral sul do Rio de Janeiro. Os gráficos abaixo apresentam o custo da semente e o 
preço de venda, depois do cultivo, de vieiras, um molusco dotado de grande valor comercial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um fazendeiro investiu U$50.000,00 na montagem de uma fazenda marinha, mais U$9.000,00 em 
sementes de vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas, todos os custos serão cobertos e o 
fazendeiro lucrará, em dólares, 
 
a) 40.250,00 b) 82.250,00 c) 97.500,00 d) 128.500,00 e) 137.500,00 
 
Exercício 20 
(Petrobras) O lucro anual de uma pequena empresa vem crescendo linearmente, como mostra o 
gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
33 
Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de reais, o lucro dessa 
empresa, em 2010? 
 
a) 224 b) 234 c) 248 d) 254 e) 268 
 
 
Exercício 21 
(Petrobras) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico acima apresenta as vendas de óleo diesel pelas distribuidoras brasileiras, em milhares de 
metros cúbicos, nos anos de 2001 a 2003. Se o aumento linear observado de 2001 para 2002 fosse 
mantido de 2002 para 2003, as vendas em 2003 teriam sido x milhares de m3 maiores do que 
realmente foram. Desse modo, o valor de x seria: 
 
a) 304 b) 608 c) 754 d) 948 e) 1.052 
 
 
Exercício 22 
(Petrobras) O gráfico abaixo mostra a quantidade média de garrafas plásticas jogadas no lixo, nos 
EUA, em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dados do gráfico, aproximadamente quantas garrafas plásticas são jogadas no 
lixo, nos EUA, a cada hora? 
 
a) 8.000 b) 12.000 c) 18.000 d) 24.000 e) 30.000 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
34 
2. Gabarito 
1) 
2) a) f(1) = 1 b) f(0) = 3 c) f(
3
1
) = 7
3
 
3) a) x = -1 b) 3x
2
= − c) 4x
3
= − 
4) a) C(x) = 8 + 0,5x b) R$ 58,00 
 
5) a) PA=100 + 50x e PB = 180 + 40x b) O plano A é mais vantajoso para um número de consultas 
menor que 8, os dois planos são equivalentes para um número de consultas igual a 8 e o plano B é 
mais vantajoso para um número de consultas maior que 8. 
 
6) a) R$ 220000,00 b) 15 funcionários c) 
 
7) y = 2x-1 8) y = 5x 9) E 10) f(5) = -3 11) C 12) A 13) D 14) C 15) B 
 
16) C 17) D 18) E 19) D 20) B 21) D 22) A 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
35CAPÍTULO 4 
Função Quadrática 
 
 
 Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando 
associa a cada x ∈ℝ o elemento ( )2ax bx c+ + ∈ℝ , onde 0a ≠ . Isto é :f →ℝ ℝ 
2x ax bx c+ +֏ , 0a ≠ 
 
Ex: 
a) 2( ) 3 2f x x x= − + onde a = 1, b = -3 e c = 2 
 
b) 2( ) 2 4 3f x x x= + − onde a = 2, b = 4 e c = -3 
 
Obs: O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. 
 
 
 
 
 
 
4.1 Concavidade 
 
A parábola representativa da função do 2º grau 2y ax bx c= + + pode ter a concavidade voltada 
para “cima” ou voltada para “baixo”. 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 
 
 
 
 
4.2 Interseção com o eixo das ordenadas 
 
O gráfico da função quadrática y = a x2 + bx + c corta o eixo dos y no ponto (0, c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
36 
4.3 Zeros da função 
 
Os zeros ou raízes da função do 2º grau 2y ax bx c= + + são os valores de x tais que f(x) = 0 e, 
portanto, as soluções da equação do 2º grau 2 0ax bx c+ + = . 
Se ∆ > 0, há 2 raízes reais diferentes : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ∆ = 0, há 2 raízes reais iguais (raiz dupla) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ∆ < 0, não há raízes reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 Máximo e Mínimo 
A função quadrática 2y ax bx c= + + admite um valor máximo (mínimo) 
4
y
a
−∆
= em 
2
b
x
a
−
= se, e 
somente se, a < 0 (a > 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
37 
4.5 Vértice 
 
O ponto ,
2 4
b
V
a a
− −∆ 
 
 
 é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. 
 
4.6 Monotonismo (Crescimento e Decrescimento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7 Domínio 
 O domínio da função quadrática é sempre ℝ . 
 
4.8 Conjunto-Imagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.9 Estudo do sinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
38 
4.10 Atividades 
 
Exercício 1 
Construir os gráficos das funções definidas em ℝ : 
a) 2y x= b) 2 2y x x= − c) 2 2 4y x x= − + d) 22 4y x x= − − 
 
Exercício 2 
Determinar os zeros reais das funções: 
a) 2( ) 3 2f x x x= − + b) 2( ) 7 12f x x x= − + − c) 2( ) 3 7 2f x x x= − + 
d) 2( ) 2 1f x x x= − − e) 2
1
( ) 2
2
f x x x= − + f) 2
3
( ) 1
2
f x x x= − + + 
Exercício 3 
Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das 
funções abaixo, definidas em ℝ . 
 
a) 22 5y x x= + b) 24 8 4y x x= − + c) 23 12y x x= − + 
d) 2
7 5
2 2
y x x= − + e) 2 5 7y x x= − + − 
 
Exercício 4 
O gráfico da função quadrática y = a x2 + b x + c é : 
 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores de a, b e c. 
 
Exercício 5 
Encontrar a função quadrática, cujo gráfico passa pelos pontos P1 (0, 1), P2 (−1, −2) e P3 (−2, 7). 
 
Exercício 6 
O gráfico da função f(x) = a x2 + b x + c é : 
 
 
 
 
a) Determine os valores de a, b e c 
b) Calcule f (4). 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
39 
Exercício 7 
Determinar o valor de m na função real 2( ) 3 2f x x x m= − + para que o valor mínimo seja 
5
3
. 
 
Exercício 8 
Determinar o valor de m na função real 2( ) 3 2( 1) ( 1)f x x m x m= − + − + + para que o valor máximo 
seja 2. 
 
Exercício 9 
(SEE-RJ/2010) O valor mínimo da função ( ) ( )= − + +2 2( ) 1 2f x x x é: 
a) 4,5 b) 5 c) 5,5 d) 6 e) 6,5 
 
Exercício 9 
Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo. 
 
Exercício 10 
O valor máximo da função 2( ) 2 2f x x x= − + + é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
Exercício 11 
O gráfico de 2( )f x x bx c= + + , onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 3). Então 
( )5f − vale: 
a) 
2
9
− b) 
2
9
 c) –15 d) 
1
4
− e) 15 
 
Exercício 12 
O ponto extremo V da função quadrática 2( ) 6 8f x x x= − + − é: 
a) um máximo, sendo V = (3, -1). 
b) um mínimo, sendo V = (-3, +1). 
c) um máximo, sendo V = (3, +1). 
d) um mínimo, sendo V = (3, +1). 
e) um mínimo, sendo V = (3, -1). 
 
Exercício 13 
O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por 22 100 5000C x x= − + . O valor de 
unidades produzidas para se obter um custo mínimo é: 
 
a) 25 b) 3750 c) 40 d) 45 e) 4950 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
40 
Exercício 14 
O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por ( )( )( ) 2 1 3f x x x= − − , é 
o par ordenado (a, b). Então a – b é igual a: 
 
a) 
39
8
 b) 
11
8
 c) 
3
8
 d) 
11
8
− e) 
39
8
− 
 
 
Exercício 15 
 (SEE-RJ/2007) Um a função quadrática tem zeros 1 21 4= − =x e x . Sabendo-se que f (1) = −12 , o 
valor de f (49) é: 
 
A) 4250 B) 4332 C) 4500 D) 4660 E) 4416 
 
Exercício 16 
(Niterói/2003) Se f(2) é valor máximo de f(x) = -3x2 + (2k - 4)x - 1, então k2 é igual a: 
 
A) 14 B) 9 C) 36 D) 64 E) 74 
 
 
Exercício 17 
(Mesquita/2003) O lucro de uma fábrica é dado em reais por L(x) = 1500.(80 − x).(x − 60), onde x é o 
número de máquinas produzidas por mês na fábrica. O número de máquinas que esta fábrica deve 
produzir mensalmente para obter o maior lucro possível é: 
 
(A) 50 (B) 60 (C) 70 (D) 80 (E) 90 
 
Exercício 18 
(IFMG/2009) Dada a função quadrática f(x) = 2x² − x − 3 e sua representação gráfica abaixo, 
assinalar a alternativa CORRETA sobre a função f: 
 
a) Os zeros da função são -2 e 3. 
b) O eixo de simetria é x = 1. 
c) Sua intersecção com o eixo y se dá no ponto (0, -3). 
d) A concavidade da parábola é voltada para baixo. 
 
Exercício 19 
(Piraí-RJ/2009) Determine o valor de x que leva a função :f →ℝ ℝ , definida por 
f(x) = – x² + 4x – 16 a atingir o seu valor máximo. 
 
A) 1 B) 2 C) 4 D) 16 E) -1 
 
Exercício 20 
(Miguel Pereira-RJ/2008) Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância 
entre os zeros da função é de 8 unidades, e a função tem -80 como valor mínimo. Esta função 
quadrática é: 
a) 25 80= −y x b) 2
5
80
4
= −y x c) 25 4 80= − −y x x d) 2
5
5
4
= −y x 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
41 
Exercício 21 
(Aparecida-PB/2009) Uma fábrica de bonés distribui diariamente, com seus vendedores, caixas 
contendo bonés. O lucro diário, em reais, na venda desses bonés, é dado pela função L(x) = –200x2 + 
1600x – 2400, onde x é o número de caixas vendidas. Considere as afirmações relativas ao lucro 
diário: 
I. Para 2 < x < 6 o fabricante terá lucro. 
II. O lucro não poderá ser superior a R$ 800,00. 
III. O lucro será máximo quando forem vendidas cinco caixas de bonés. 
Está(ao) CORRETA(S) apenas: 
A) I e II B) I e III C) II e III D) I E) III 
 
Exercício 22 
(Cardoso Moreira-RJ/2008) Dado o gráfico da função y = ax2 + bx + c, pode-se concluir que: 
A) para 2 ≤ x ≤ 4 temos f(x) ≥ 0 
B) para x < 0 temos f(x) > 8 
C) para x = 2 temos f(x) > 0 
D) para x < 2 temos f(x) < 0 
 
 
 
Exercício 23 
(Cardoso Moreira-RJ/2008) Se a soma das raízes de uma função de 2º grau é igual a zero, podemos 
afirmar que: 
A) Seu discriminante é nulo. 
B) Seu gráfico não intercepta o eixo das ordenadas. 
C) O vértice do gráfico é um ponto de ordenada nula. 
D) Seu gráfico é simétrico ao eixo das ordenadas. 
 
Exercício 24 
(Fortaleza/2009) Um determinado processo diário de produção é descrito por funções de custo C(x) = 
100x+10500 e de remuneração R(x) = 600x–5x2. Considerando a função lucro, L(x) = R(x) – C(x), o 
número x de bens que fornece o lucro máximo diário é:a) 1000. b) 50. c) 500. d) 200. 
 
Exercício 25 
(Prefeitura do Rio/2010) Uma pedra é lançada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela 
função h(t) = at2+12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no 
instante t=2, pode-se afirmar que o valor de h(1), em metros, é: 
(A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 5 
 
Exercício 26 
(CPII/2008) O gráfico abaixo é a representação de uma função real f dada por f(x) = ax2 + bx + c. É 
correto afirmar que 
 
A) ab < 0. 
B) ac > 0. 
C) bc < 0. 
D) b2 − 4ac ≤ 0. 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
42 
Exercício 27 
(Mato Grosso/2007) Um professor resolveu trabalhar alguns conteúdos matemáticos com seus alunos 
da 9.ª série, a partir de algumas situações-problema relacionadas à profissão de designer industrial. 
Para isso, ele considerou a seguinte situação hipotética. A equipe de designers industriais de uma 
empresa, ao apresentar o projeto de uma cadeira que será fabricada pela empresa, ilustrou o formato 
do encosto utilizando o gráfico de uma parábola que intercepta o eixo Ox nos pontos x = 0 e x = 40 e 
segmentos de reta verticais que interceptam o eixo Ox e a parábola e representam as tiras do 
encosto, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no texto, é correto concluir que a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que 
representam as tiras que serão utilizadas no encosto da cadeira projetada pela equipe de designers 
é, em metros, igual a: 
 
a) 1,20. b) 2,10. c) 4,50. d) 5,70. 
 
Exercício 28 
(UNIMONTES) O esboço de gráfico abaixo representa a função real de variável real dada por: 
 
 
a) f (x) = x2 + 4x + 7. 
b) f (x) = x2 − 4x +1. 
c) f (x) = x2 − 4x + 7. 
d) f (x) = x2 + 4x – 7. 
 
 
 
Exercício 29 
(FCC) A partir do instante que foi identificado um vazamento em um tanque de água (t = 0), os 
técnicos afirmaram que a quantidade total, em litros, de água no tanque, indicada por Q(t), após t 
horas de vazamento, seria dada pela função = − +2Q(t) t 24t 144 até o instante em que Q(t) = 0. 
Dividindo-se o total de água no tanque no instante em que o vazamento foi identificado pelo total de 
horas que ele levou para esvaziar totalmente, conclui-se que o escoamento médio nesse intervalo, 
em litros por hora, foi igual a: 
a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
43 
Exercício 30 
A seguir, estão representadas duas parábolas de funções quadráticas distintas. Quais são as 
coordenadas dos pontos de interseção entre as duas parábolas que representam essas funções? 
 
a) (5, 0); (−1, 4) 
b) (0, 5); (6, −1) 
c) (0, 5); (−1, 5) 
d) (5, 0); (−1, 6) 
e) (5, 0); (−1, 5) 
 
 
 
 
4.11 Gabarito 
1) a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) a) 1 e 2 b) 3 e 4 c) 2 e 13 d) 1 2 e 1 2+ − e) 
2
2 f) 2 e 
1
2− 
3) a) 
5 25
V ,
4 8
 
− − 
 
 mínimo b) ( )V 1,0 mínimo c) ( )V 2,12 máximo 
 d) 
7 9
V ,
4 16
 
− 
 
 mínimo e) 
5 3
V ,
2 4
 
− 
 
 máximo 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
44 
4) 1a 4= − , b = 1 e c = 0 5) 
2y 6x 9x 1= + + 6) a) a = 1, b = -2 e c = 2 b) f(4) = 10 
 
7) m = 2 8) m = -2 ou m = 1 9) A 10) 4 e 4 11) E 12) D 13) A 
 
14) D 15) C 16) D 17) C 18) C 19) B 20) A 
 
21) A 22) B 23) D 24) B 25) A 26) A 27) B 28) C 
 
29) A 30) D 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
45 
 
CAPÍTULO 5 
Função Exponencial 
 
 
 
 
5.1 – Potência com Expoente Natural 
 
Dado um número real a e um número natural n (n ≠ 0), definimos a potência a n como o 
produto de n fatores iguais ao número a. 
n
n vezes
a a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋯�	
	� 
 
Onde: 
na potência→ 
n expoente→ 
a base→ 
 
Convenção: 0a 1, com a 0= ≠ 
 
 
5.2 – Potência com Expoente Inteiro Negativo 
 
n * *
n
1
a ; com n e a .
a
−
= ∈ ∈ℕ ℝ 
 
 
5.3 – Potência com Expoente Racional 
 
m n m * * *na a ; com n , m e a .= ∈ ∈ ∈ℕ ℕ ℝ 
 
 
5.4 – Propriedades das Potências 
 
8.4.1 m n m na a a +⋅ = 
8.4.2 m n m na a a −÷ = 
8.4.3 ( )m m ma b a b⋅ = ⋅ 
8.4.4 
m m
m
a a
; sendo b 0
b b
 
= ≠ 
 
 
8.4.5 ( )nm mna a ⋅= 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
46 
5.5 – Função Exponencial 
 
Definição Informal: Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a 
variável aparecendo em expoente. 
 
Definição Formal: Chama-se função exponencial, a função *f : +→ℝ ℝ cuja regra é 
xf(x) a= . O número real a é uma constante real positiva e diferente de 1, isto é : 
] [ ] [a 0; 1 1;∈ ∪ + ∞ . 
 
 Quando analisamos uma função exponencial, temos dois casos a considerar: 
a) Quando a > 1 
b) Quando 0 < a < 1 
 
Exemplos: 
a) xf(x) 2= é uma função exponencial (com a = 2), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x1
f(x)
2
 
=  
 
é uma função exponencial (com 
1
a
2
= ), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que: 
 x xy 2= 
 -3 1/8 
 -2 1/4 
 -1 1/2 
 0 1 
 1 2 
 2 4 
 3 8 
x 
x1
y
2
 
=  
 
 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
*
Dom(f)
Im(f) +
=
=
ℝ
ℝ
 
f é crescente em todo 
seu domínio. 
 
*
Dom(f)
Im(f) +
=
=
ℝ
ℝ
 
f é decrescente em todo 
seu domínio. 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
47 
• O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes (Assíntota no eixo x); 
• O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
• Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o 
conjunto imagem é *Im += ℝ . 
 
 
5.6 – Equação Exponencial 
 
Uma equação é denominada equação exponencial quando a incógnita aparece no expoente. 
Exemplos de equações exponenciais: 
 
a) 3x = 81 (a solução é x = 4) 
b) 2x – 5 = 16 (a solução é x = 9) 
c) 16x – 42x-1 – 10 = 22x-1 (a solução é x = 1) 
d) 32x-1 – 3x – 3x-1 + 1 = 0 (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1) 
 
Em alguns casos a resolução de uma equação exponencial baseada na propriedade: 
 
x ya a x y; com a 0 e a 1= ⇔ = > ≠ 
 
Ou seja, para resolvermos uma equação exponencial, devemos realizar dois passos 
importantes: 
 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
 
2º) aplicação da propriedade descrita acima: 
 
Exemplo 1: Resolver a equação ( )x2 64= 
Resolução: 
( ) ( )xx 1/2 6
x/2 6
2 64 2 2
2 2
x
6 x 12
2
= ⇒ =
=
= ⇒ =
 
 
Exemplo 2: Resolver a equação ( )x 1x3 729+ = 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )x 1 2x x x 6
2
3 729 3 3
x 3
x x 6 0
x 2
+ +
= ⇒ =
= −
+ − = ⇒ 
=
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
48 
Exemplo 3: Resolver a equação 2x 1 3x 1 x 12 .4 8+ + −= 
Resolução: 
( ) ( )3x 1 x 12x 1 3x 1 x 1 2x 1 2 3
2x 1 6x 2 3x 3
2 .4 8 2 . 2 2
2 .2 2
6
2x 1 6x 2 3x 3 x
5
+ −+ + − +
+ + −
= ⇒ =
=
+ + + = − ⇒ = −
 
 
 
5.7 – Inequação Exponencial 
 
Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. A 
resolução de uma inequação exponencial é baseada nas propriedades: 
 
8.7.1) a > 1 
 
x x1 2
1 2a a x x> ⇔ > 
O sentido da desigualdade se conserva. 
 
 
8.7.2) 0 < a < 1 
 
x x1 2
1 2a a x x< ⇔ > 
O sentido da desigualdadese inverte. 
 
 
5.8 - Atividades 
 
Exercício 1 
(Petrobras) A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. Segundo o Fundo 
de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 
2010. 
Disponível em: www.pt.wikipedia.org 
Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população européia correspondesse a P 
habitantes, a população de 2010 corresponderia a: 
a) ( )5P 0,9999⋅ b) ( )5P 0,999⋅ c) ( )5P 0,909⋅ d) ( )5P 0,99⋅ e) ( )5P 0,90⋅ 
 
Exercício 2 
(Petrobras) O governo federal vai usar recursos do FGTS para financiar projetos na área de 
transporte urbano, visando à Copa do Mundo em 2014. Empresas que pegarem empréstimos para 
projetos de transporte sobre trilhos pagarão 5,5% de juros ao ano. Uma empresa receberá um 
empréstimo de x reais, a serem pagos em t anos. O valor total M pago por esse empréstimo é 
calculado pela fórmula: 
 
a) ( )tM x 0,055= ⋅ b) ( )tM x 0,55= ⋅ c) ( )tM x 1,055= ⋅ d) ( )tM x 1,55= ⋅ e) ( )tM x 5,5= ⋅ 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
49 
Exercício 3 
Na figura abaixo está representado o gráfico de f(x) = k ax, sendo k e a constantes reais positivas, 
com a ≠ 1. O valor de f(2) é : 
a) 
8
3
 
b) 
2
1 
 
c) 
4
3
 
d) 1 
 
 
Exercício 4 
(Petrobras) O número de acessos a determinado site vem aumentando exponencialmente, de acordo 
com a função A = k.bm, onde k e b são constantes reais não nulas, como mostra o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira medição (1.000 acessos) foi feita em janeiro. Considerando-se que o aumento exponencial 
observado tenha sido mantido ao longo dos meses, quantos foram os acessos a esse site em abril? 
 
a) 1.600 b) 1.680 c) 1.728 d) 1.980 e) 2.073 
 
 
Exercício 5 
Se a função exponencial *f : +→ℝ ℝ definida pela regra f(x)= ax é tal que seu gráfico passa pelo 
ponto (-2, 8), então: 
a) 
1
f(4)
16
 
=  
 
 b) ( )
x1
f x
12
 
=  
 
 c) ( ) ( )xf x 2= d) f(2) . f(−2) = −1 e) f(-1) = 2 2 
 
 
Exercício 6 
Os gráficos de f(x)= ax e g(x)= x2 – 1 se intersectam em um ponto de abscissa 3. O valor de a é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
50 
Exercício 7 
Duas funções f(t) e g(t) fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade 
em função do tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que no 
tempo inicial (t = 0) existiam nessa cidade 100.000 ratos e 70.000 habitantes, que o número de ratos 
dobra a cada ano e que a população humana cresce 2.000 habitantes por ano. Encontre: 
 a) as expressões matemáticas das funções f(t) e g(t) 
 
 b) o número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos 
 
Exercício 8 
(Petrobras) Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo medicamento a 
um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do medicamento no organismo reduz em 
função do tempo t, em horas, de acordo com a função 
0,25t
i
1
C(t) C
2
 
= ⋅ 
 
, onde Ci representa a 
concentração inicial de tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo 
com essas informações, após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de um 
indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial (Ci)? 
 
a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 
 
Exercício 9 
A solução da equação 0,52x = 0,25 1 − x é um número x, tal que: 
 
a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0 
 
Exercício 10 
Se 2x
1
2
256
−
= , então o valor de x é : 
a) 8 b) 4 c) –2 d) –3 e) –8 
 
Exercício 11 
Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à desintegração 
radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por mt = mo . 2 −kt. Nessa 
sentença, mt é a massa (em gramas) no tempo t (em anos), mo é a massa inicial e k uma constante 
real. Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 
8
1
 da massa inicial, o valor de k é : 
 
a) –3 b) 
1
3
 c) –22 d) 
1
22
 e) 
1
8
 
 
Exercício 12 
Resolvendo a equação 2 x − 1 + 2 x + 3 + 2 x − 2 + 2 x = 2496, encontramos : 
 
a) x = 8 b) x = 6 c) x = 7 d) x = 9 e) x = −7 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
51 
Exercício 13 
(Resende/07) Considere que 0,47710 3= . O valor de x tal que x10 9000= é: 
 
a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954 
 
Exercício 14 
(SEE/RJ) Uma solução da equação exponencial 5x = 0,04 é: 
 
a) x = 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x = –1 e) x = –2 
 
Exercício 15 
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: 
f(t) = a . 2− bt, em que a variável t é dada em anos e a e b são constantes. 
 a) Encontre as constantes a e b, sabendo que a população inicial (t=0) é igual a 1024 indivíduos e 
que a população após 10 anos vale a metade da população inicial. 
 
 b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 
 
 c) Esboce o gráfico de f(t) para t∈[0,40] 
 
Exercício 16 
(SEE/RJ) Em uma certa cultura de bactérias, o número de bactérias dobra a cada dia. Considerando 
que 210 é igual a 1000, uma cultura iniciada hoje (primeiro dia de trabalho), com 50 dessas bactérias, 
no 25º dia o número delas será de, aproximadamente: 
 
a) 400.000.000 
b) 800.000.000 
c) 2.000.000.000 
d) 4.000.000.000 
e) 8.000.000.000 
 
Exercício 17 
Resolva, em ℝ , as inequações: 
 a) 6253x + 1 < 125x + 2 
 b) 2x+1 – 3 . 2x < 2x−2 – 5 
 c) (0,04)2x − 1 ≤ (0,008) x + 1 
 d) 25x – 6 . 5x + 5 > 0 
 
Exercício 18 
(Cantagalo/2010) Resolvendo em ℝ a inequação ( ) ( )4x 3 x 50,5 0,25+ +≤ , obtém-se como solução o 
conjunto: 
a) 
7
S x x
2
 
= ∈ ≥ 
 
ℝ b) 
3
S x x
2
 
= ∈ ≥ 
 
ℝ c) 
2
S x x
7
 
= ∈ ≥ 
 
ℝ 
d) 
7
S x x
2
 
= ∈ ≤ 
 
ℝ e) 
3
S x x
2
 
= ∈ ≤ 
 
ℝ 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
52 
Exercício 19 
(FUNCAB) João emprestou R$ 15.000,00 para Pedro, no regime de juros compostos, com uma taxa 
de juros de 0,8% ao mês. Determine o valor recebido por João, sabendo que Pedro quitou a dívida 
com um único 
pagamento, 12 meses após ter pegado o empréstimo. (Use: (1,008) = 1,1003). 
 
a) R$ 15.120,00 b) R$ 15.240,96 c) R$ 16.500,00 
d) R$ 16.504,50 e) R$ 16.636,54 
 
Exercício 20 
(FUNDAÇÃO DOM CINTRA) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r quilômetros, 
a partir do seu centro, é dado por = 3rP(r) k.2 , onde k é constante e r >0 . Se há 98 304 habitantes 
num raio de 5km do centro, quantos habitantes há num raio de 3km do centro? 
 
a) 32 768; b) 4 608; c) 3 024; 
d) 1 536; e) 2 048. 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) C 3) A 4) C 5) E 6) A 
7) a) f(t) = 100 000 ⋅ 2 t; g(t) = 2 000 t + 70 000 b) 40 ratos/hab 
8) D 9) A 10) B 11) D 12) A 13) E 14) E 
15) a) a = 1024 e b = 
1
10
 b) t = 30 anos c) veja esboço abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) B 
17) a) S = {x∈ℝ | x <
2
9
} b) S = {x∈ℝ | x > 2} c) S = {x∈ℝ | x ≥ 5} d) S = {x∈ℝ | x < 0 v x > 1} 
18) A 19) D 20) D 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
53 
 
CAPÍTULO 6 
Função Logarítmica 
 
 
 
6.1 – Logaritmo – Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na 
base a, o expoente x tal que ax = b. 
 Simbolicamente : 
 
 loga b = x ⇔ ax = b 
 
Observe que : 
 
 ���� o logaritmando b deve ser > 0 (ou seja, só existelogaritmo de número positivo) 
 ���� a base a deve ser > 0 e ≠ 1 (ou seja, a base a é positiva e diferente de 1) 
 
6.2 - Conseqüências da definição 
 
1) loga a = 1 ( o logaritmo da própria base vale 1) 
2) loga 1 = 0 ( o logaritmo de 1 em qualquer base vale 0) 
3) baloga = b (a potência de base a e expoente loga b vale b) 
4) loga b = loga c ⇔ (b = c) (dois logaritmos de mesma base são iguais se, e só se, os logaritmandos 
são iguais) 
 
6.3 - Propriedades dos Logaritmos 
 
Para quaisquer números reais positivos a, b e c com a ≠ 1, valem as seguintes propriedades: 
 
P1) loga by = y loga b, com y∈R (o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência) 
 
P2) loga (b . c) = loga b + loga c (o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores) 
 
P3) loga 





c
b
 = loga b - loga c (o logaritmo do quociente é igual à diferença entre o logaritmo do 
dividendo e o do divisor) 
 
P4) loga b = 







alog
blog
k
k , com k > 0 e k ≠ 1 ( mudança de base) 
 
Um número irracional notável em matemática é representado pela letra e. Sendo irracional, o 
seu valor tem infinitas casas decimais : e = 2,71828182...... Este número é muito utilizado como base 
de um sistema de logaritmos chamado logaritmo natural (ou logaritmo neperiano) : y = loge x ou y = 
ln x. 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
54 
6.4 – Função Logarítmica 
 
Chama-se função logarítmica a função f : *+R → R , cuja regra é f(x) = loga x, com 1 ≠ a > 0 
Exemplos : 
 
a) f(x) = log2 x é uma função logarítmica (com a = 2), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = 
2
1log x é uma função logarítmica (com a = 1/2), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5 - Propriedades da Função Logarítmica 
 
G1) Como a função log é injetiva : loga x = loga y ⇒ x = y (x > 0, y > 0 e 1 ≠ a > 0) 
 
G2) Sendo a base a > 1, a função é crescente : loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1 
 
G3) Sendo a base 0 < a < 1, a função é decrescente : loga x2 < loga x1 ⇔ x2 > x1 
 
 
x y = log2 x 
1/8 -3 
1/4 -2 
1/2 -1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
x y = 
2
1log x 
1/8 3 
1/4 2 
1/2 1 
1 0 
2 -1 
4 -2 
8 -3 
Dom(f) = *+R 
Im(f) = R 
f é decrescente em todo seu domínio 
 
Dom(f) = *+R 
Im(f) = R 
f é crescente em todo seu domínio 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
55 
6.6 - Equação Logarítmica 
 
É toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo. 
Exemplos : 
a) log5 x = 3 
b) log (x2 – x) + log x = log 9 
c) logx 3 x = 2 
 
Resolução de uma Equação Logarítmica 
 
A resolução baseia-se na propriedade G1 das funções logarítmicas : loga x = loga y ⇒ x = y 
Atentar para as condições de existência (logaritmando > 0 e 1 ≠ base > 0) 
 
6.7 - Inequação Logarítmica 
 
É toda inequação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base. 
Exemplos : 
a) log5 x > 3 
b) log (x2 + 2 x) + log (x − 3) ≤ log 9 
c) logx 3 x ≥ 5 
 
Resolução de uma Inequação Logarítmica 
 
A resolução baseia-se nas propriedades G2 e G3 das funções logarítmicas. 
Atentar para as condições de existência 
 
 
6.8 - Atividades 
 
Exercício 1 
Determinar: 
a) log5 25 b) log2 
8
1
 c) 9log
3
 d) 125
5
1
log e) 3
 
9
27
log 
Exercício 2 
Calcule o valor de : 
a) 8 log25 b) 31 + log34 c) 3log32 d) 81 + log23 
 
Exercício 3 
Determine : 
a) log5 (3 ⋅ 4) b) log4 (2 ⋅ 3 ⋅ 5) c) log2 [x ⋅ (x+1)], se x > 0. 
 
d) log5 





3
2
 e) log5 





5
3 . 2
 f) log2 




 +
1-x
1x
 , se x+1 > 0 e x−1 > 0, ou 
seja, se x > 1 
 
g) log3 25 h) log5 32 i) log2 







43
1
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
56 
Exercício 4 
Se log E = 1 + log a + 2 log b – log c, determine E 
 
Exercício 5 
Sendo log 8 = a e log 3 = b, determine log 2 e log3 18 em função de a e b. 
 
Exercício 6 
Determine log3 








 
 
3
4 2
c10
ba
 
Exercício 7 
Escreva na base 10 os seguintes logaritmos: 
a) log2 7 b) log100 3 
 
Exercício 8 
Utilizando mudança de base, mostre que : logb a = 
b log
1
a
 
Exercício 9 
Se x e y são reais positivos e diferentes de 1 e logy x = 3, determine : 
a) logx y b) yog 2x
 l 
 
Exercício 10 
Determine : 
a) y = log3 5 ⋅ log25 27 b) y = log3 2 ⋅ log4 3 ⋅ log5 4 ⋅ log6 5 ⋅ log7 6 ⋅ log8 7 ⋅ log9 8 ⋅ 
log10 9 ? 
 
Exercício 11 
Determine log100 72, sabendo que log 2 = a e log 3 = b 
 
Exercício 12 
Se a e b são raízes da equação x2 − p x + q = 0 (p > 0 e 0 < q ≠ 1), prove que : 
 logq aa + logq bb + logq ab + logq ba = p 
 
Exercício 13 
Determinar o domínio da função f(x) = log x
−
1 (−x2 +3 x + 4) 
 
Exercício 14 
O domínio da função f(x) = logx
−
3 (x2 – 7 x + 12) é o conjunto : 
a) {x∈R | x < 3 ou x > 4} b) {x∈R | x > 4} c) {x∈R | 2 < x < 6} 
d) {x∈R | x < 6} e) {x∈R | 7 < x < 12} 
 
Exercício 15 
a) Resolver a equação logarítmica log2 (4 x + 24) = 5 
b) Resolver a equação log3 (x + 1) + log3 (x − 7) = 2 
c) Resolver a equação logarítmica log2 (x+4) − log4 x = 2 
d) Resolva a equação logx 81 = 4 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
57 
Exercício 16 
a) Resolver a inequação log2 (3 x −1) > 3 
b) Resolver a inequação 45)(xlog1)(xlog
2
1
2
1
−≤++− 
c) Resolver a inequação log0,2 (4 x − 1) < log0,2 (1 − x) 
d) Resolver a inequação 2 log2 (x+ 1) − log2 (x2 − 1) < 1 
e) Resolver a inequação 2 log2 (x+ 1) > 3 
f) Considerando o universo U = R, resolva a inequação : 3 ≤ log2 (3x + 10) < log2 (x+30) 
 
 
Exercício 17 
Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa 
e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e 
traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis ( ) 0 .10tL t L= e ( ) 0 .2tT t T= , onde 0L é a 
população inicial de lambaris, 0T , a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a 
partir do ano inicial. 
Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? 
a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 
 
 
Exercício 18 
Numa população de bactérias, há ( ) 9 310 .4 tP t = bactérias no instante t medido em horas (ou fração 
da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 910 bactérias, quantos minutos são necessários para 
que se tenha o dobro da população inicial? 
a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 
 
 
Exercício 19 
O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre 
as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse 
número é: 
a) 18.000 
b) 20.000 
c) 32.000 
d) 14.000 
e) 40.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I 
Prof. Sergio Ricardo 
58 
Exercício 20 
O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é: 
a) 10 
b) 2 
c) 1 
d) 1/2 
e) -2 
 
 
 
Exercício 21 
O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação 
de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: 
 
 
 
 
 
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no 
ambiente será igual a: 
a) 3 b) 4 c) 300 d) 400 
 
Exercício 22 
Sabe-se que (1/3, 1) pertence ao gráfico de ( ) lognf x x= . O valor de b é: 
a) 27 
b) 81 
c) 1/27 
d) 1/81 
 
 
Exercício 23 
A intensidade I de um terremoto,