Método dos Elementos Finitos: Elemento de Mola

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Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Numéricos; Prof: Marcos Vinicios 01
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Elemento de Mola
- Formulação
- Exercício
Aula_02
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Elemento de Mola: Formulação
- Um elemento de mola possui um grau de liberdade de deslocamento (GLD, ou DOF),
u, em cada Nó.
- Assim, no sistema local (no âmbito isolado do elemento), o elemento possui as
equações de equilíbrio:
Lembrando que a força na mola: f = km . x  x = variação do comprimento;
x = u2 – u1
Então: f2x = km . (u2 – u1)  f2x = – u1 . km + u2 . km
Estando a mola em equilíbrio: ∑F = 0 , com isso: f1x + f2x = 0  f1x = - f2x
f1x = u1 . km – u2 . km
Estas equações de equílibrio são também denominadas por RELAÇÃO FORÇA –
DESLOCAMENTO do elemento no Sistema local: f1x = u1 . km – u2 . km
f2x = – u1 . km + u2 . km
u2km
Rigidez da mola 
u1
Nó2Nó1 f2xf1x
Constante elástica da mola: km
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Elemento de Mola: Formulação
- A RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO do elemento no sistema local pode ser
escrita de forma compacta utilização a formulação matricial:
fx1 1 – 1 u1
= km .  { f } = [ k ] . { u }
fx2 – 1 1 u2
Em que:
f - vetor forças nodais do elemento (Sistema Local);
k - Matriz de Rigidez do elemento (Sistema Local);
u - vetor de deslocamento nodais do elemento (Sistema Local);
Portanto, qualquer elemento de mola apresenta a seguinte matriz de rigidez no sistema local:
1 – 1
k = km
– 1 1
Em que : km= constante elástica da mola depende do material,
do diâmetro do fio e número de voltas;
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Elemento de Mola: Formulação
- A partir da formulação do elemento de mola é possível estabelecer um importante
conceito do MEF:
{ f } = [ k ] . { u }
onde: 1 -1
k = km
-1 1
sendo k = matriz de rigidez de qualquer elemento de mola;
km= constante elástica da mola;
- Conceito do MEF: Para um Elemento Finito qualquer com n nós e m GLD (graus de
liberdade de deslocamentos) por nó, a sua Matriz de Rigidez terá dimensão definida por:
Kelem. = n x m = r  Kr x r
EX1: elemento EX2: elemento
2 Nós  n = 2 nxm = 2.2 = 4 3 Nós  n = 3 nxm = 3.4 = 12
2 GLD por Nó  m=2 kelem= matriz 4x4 4 GLD por Nó  m=4 kelem= matriz 12x12
u2km
Rigidez da mola 
u1
Nó2Nó1 f2f1
Elemento de Mola: Formulação
- A partir do conhecimento da matriz de rigidez de cada elemento de mola, pode-se
determinar a matriz de rigidez de uma estrutura constituída por n elementos de mola;
- Como a matriz de rigidez da estrutura é Montada (obtida) a partir das matrizes
de rigidez dos seus elementos ?
- A montagem da matriz de rigidez da estrutura decorrente da soma da matriz de
rigidez de cada elemento de mola escrita no Sistema Global (da estrutura);
- Como a matriz de rigidez do elemento foi inicialmente escrita no Sistema
local(elemento) é necessário transformá-la para o Sistema Global (estrutura);
- O procedimento para obter a matriz de rigidez do elemento de mola escrita no
sistema Global (estrutura) bem como a MONTAGEM da matriz de rigidez da estrutura
são apresentados de forma prática no exercício a seguir.
k
3 
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k
2 1 
k
n 
k
4 
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Elemento de Mola: Formulação
- Uma vez determinada a matriz de rigidez da estrutura K;
- A RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura pode ser estabelecida:
{ F } = [ K ] . { U }
onde: F - vetor forças da estrutura;
K - Matriz de Rigidez da estrutura (Sistema global);
U - vetor de deslocamento nodais da estrutura (Sistema global);
- Por meio da RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura podem ser
estabelecidos:
- os deslocamentos nodais da estrutura;
- forças nodais da estrutura;
- força interna em cada elemento da estrutura;
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos mola;
A estrutura possui 4 nós, sendo composta por dois corpos rígidos (carrinho)
conectados à paredes por molas;
Sistema de 
referência
K K
K
F = 300 kgf F = 400 kgf
Elemento 1: K = 200 kgf/mm
Elemento 2: K = 500 kgf/mm
Elemento 3: K = 150 kgf/mm
GLD em x:
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3
Parede Parede
1 2
3 4
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
1 - PASSO: Definir as Condições de contorno da estrutura;
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): Nós 1 e 4 são nulos: U1 = 0; U4 = 0;
- Forças externas sobre os Nós 2 e 3: F2 = 300 kgf; F3 = 400 kgf
2 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez dos elementos;
- elemento mola: número de dós: n = 2
deslocamentos por nó : m = 1
Kelem= n x m = 2 x 1 = 2  k2x2
número de graus de liberdade de deslocamento do elemento: GLD = 2
3 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez da estrutura;
- estrutura: número de dós: N = 4
número de deslocamento por nó do elemento: m = 1
Kestr = N x m = 4 x 1 = 4  k4X4
número de graus de liberdade de deslocamento da estrutura: GLD = 4
u1 u2
Nó2Nó1
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura, as Forças Internas e nos Elementos;
SOLUÇÃO:
4 - PASSO: Numeração dos GLD da estrutura;
- Inicia-se pelo primeiro Nó e depois aplica-se para cada Nó da estrutura.
Forças Nodais e Deslocamentos Nodais
Sistema de 
referência
K K K
GLD em x:
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3
Parede Parede
1
(U1; F1)
2
(U2; F2)
3
(U3; F3)
4
(U4; F4)
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K
1 2
GLD_Nó1_Elemento1: 1
GLD_Nó2_Elemento1: 2
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K
2 3
GLD_Nó1_Elemento2: 2
GLD_Nó2_Elemento2: 3
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K
3 4
GLD_Nó1_Elemento3: 3
GLD_Nó2_Elemento3: 4
1 2 3 4
F2 = 300 kgf F3 = 400 kgf
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
5 - PASSO: Definir a relação Força x Deslocamento da Estrutura;
Esta relação é representada pela equação fundamental do MEF: F = K . D
FGLD x 1 = KGLD x GLD . DGLD x 1
F  é a Matriz coluna que contém as Forças Nodais da estrutura;
K é a Matriz de Rigidez da Estrutura;
U é a Matriz Coluna que contém os Deslocamentos Nodais da estrutura.
Aplicando a equação anterior para a estrutura, que possui GLD = 4:
F1 K11 K12 K13 K14 U1
F2 K21 K22 K23 K24 U2
F3 K31 K32 K33 K34 U3
F4 K41 K42 K43 K44 U4
= .
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
6 - PASSO:Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas
Globais da estrutura (Nós);
A matriz de rigidez de um elemento de mola é dada por: ke = k -k
-k k
onde k  constante elástica da mola
Escrevendo esta equação para cada elemento em relação às coordenadas globais da
estrutura (Nós), obtêm-se:
k11 -k12
-k21 k22
1 2
1
2
k22 -k23
-k32 k33
2 3
2
3
k33 -k34
-k43 k44
3 4
3
4
GLD
GLD
GLD
GLD
GLD
GLD
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K
1 2
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K
2 3
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K
3 4
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
7 - PASSO: Definir a matriz de rigidez Expandida de cada elemento;
Matriz expandida do elemento  matriz escrita na dimensão da estrutura
Este procedimento facilita a montagem da matriz da estrutura;
k11 -k12 0 0 
-k21 k22 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 
1 2 3 4
1 
2
3
4
k11 -k12
-k21 k22
1 2
1 
2
0 0 0 0 
0 k22 -k23 0
0 -k32 k33 0
0 0 0 0 
1 2 3 4
1 
2
3
4
k22 -k23
-k32 k33
2 3
2 
3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 k33 -k34 
0 0 -k43 k44
1 2 3 4
1 
2
3
4
k33 -k34
-k43 k44
3 4
3 
4
GLD
GLD
GLD
GLD
GLD
GLD
MATRIZES EXPANDIDAS DOS ELEMENTOS – escrita no Sistema Global (estrutura)
ke1_exp ke2_exp ke3_exp
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K
1 2
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K
2 3
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K
3 4
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da
estrutura (Nós);PROCEDIMENTO DE MONTAGEM DA MATRIZ DA ESTRUTURA
Conforme, definido anteriormente, a matriz de rigidez da estrutura: K4x4
A matriz de rigidez da estrutura é definida por meio da soma da contribuição de cada
elemento da estrutura, ou seja, somando-se as matrizes expandidas dos elementos;
K = ke1_exp + ke2_exp + … + kei_exp
k11 k12 k13 k14
k21 k22 k23 k24 
k31 k32 k33 k34 
k41 k42 k43 k44
1 2 3 4
1
2
3
4
GLD
GLDK =
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da
estrutura (Nós);PROCEDIMENTO DE MONTAGEM DA MATRIZ DA ESTRUTURA
k11 -k12 0 0 
-k21 k22 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 
0 0 0 0 
0 k22 -k23 0
0 -k32 k33 0
0 0 0 0 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 k33 -k34 
0 0 -k43 k44
+
MATRIZES EXPANDIDAS DOS ELEMENTOS – escrita no Sistema Global (estrutura)
+K =
k11 -k12 0 0
-k21 k22+k22 -k23 0
0 -k32 k33+k33 -k34
0 0 -k43 k44
1 2 3 4
1
2
3
4
200 -200 0 0
-200 700 -500 0
0 -500 650 -150
0 0 -150 150 
1 2 3 4
1
2
3
4
GLD
G
L
D
GLD
K = K =
G
L
D
Elemento 1: K = 200 kgf/mm;
Elemento 2: K = 500 kgf/mm;
Elemento 3: K = 150 kgf/mm;
= .
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
9 - PASSO: Escrever a Relação Força x Deslocamento (F = K . U) da estrutura
interpretando as Condições de contorno da estrutura;
F = K . U  Para a estrutura deste exercício:
F1 K11 K12 K13 K14 U1 F1 K11 K12 K13 K14 0
F2 K21 K22 K23 K24 U2 300 K21 K22 K23 K24 U2
F3 K31 K32 K33 K34 U3 400 K31 K32 K33 K34 U3
F4 K41 K42 K43 K44 U4 F4 K41 K42 K43 K44 0
valores conhecidos:
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): U1 = 0; U4 = 0;
- Forças externas sobre os Nós B e C: F2 = 300 kgf; F3 = 400 kgf
- Matriz de rigidez da estrutura: k  coeficientes determinados na página 14
valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA):
- Reaçoes de apoio da estrutura: F1 = ? ; F4 = ?
- Deslocamentos nodais desconhecidos: U2 = ? ; U3 = ?
= .
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
F1 K11 K12 K13 K14 0
300 K21 K22 K23 K24 U2 k  coeficientes determinados na página 14
400 K31 K32 K33 K34 U3
F4 K41 K42 K43 K44 0
Particionamento: eliminar as linhas e colunas da matriz de rigidez da estrutura associadas
aos deslocamentos nulos, o que permite calcular os deslocamentos desconhecidos e as
forças desconhecidas da estrutura.
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= .
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
F1 K11 K12 K13 K14 0
300 K21 K22 K23 K24 U2 k  coeficientes determinados na página 14
400 K31 K32 K33 K34 U3
F4 K41 K42 K43 K44 0
Parte utilizada no cálculo dos deslocamentos desconhecidos: parte da matriz não
eliminada no particionamento;
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= .
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
F1 K11 K12 K13 K14 0
300 K21 K22 K23 K24 U2 k  coeficientes determinados na página 14
400 K31 K32 K33 K34 U3
F4 K41 K42 K43 K44 0
Parte utilizada no cálculo das forças desconhecidas: parte da matriz acima ou abaixo ou
da parte utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos ou ambas acima e abaixo;
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=.
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
F1 K11 K12 K13 K14 0 300 K22 K23 U2
300 K21 K22 K23 K24 U2 400 K32 K33 U3
400 K31 K32 K33 K34 U3
F4 K41 K42 K43 K44 0
F1 K12 K13 U2
F4 K42 K43 U3
= .
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= .
Nota: Sempre será resolvido nesta ordem:
1- inicialmente determina-se os
deslocamentos nodais desconhecidos;
2 - depois de calculado os deslocamentos
nodais calcula-se as forças nodais
desconhecidas
determinam-se 
inicialmente os 
deslocamentos 
desconhecidos:
U2 e U3
A seguir
Calcula-se as 
forças 
desconhecidas: 
F1 e F4
= .
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em calcular de seguida as
Forças desconhecidas:
300 K22 K23 U2
400 K32 K33 U3
F = K . U  U = F/ K  U = K-1 . F
A determinação dos deslocamentos U a rigor, deveria ser realizado por intermédio da
“divisão” de F por K, o que forneceria: F = K . U  U= F/ K  U= K-1 . F.
Porém, como se trata de matrizes esta determinação é fetuada por intermédio do
conceito de Inversão de Matrizes, o que fornece a seguinte expressão:
{ U } = [ K ]-1 . [ F ]
Assim, para calcular os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura U2 e U3,
torna-se necessário obter a inversa da matriz k
= .
Valor conhecido
Valor desconhecido
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em calcular de seguida as
Forças desconhecidas :
Determinando os deslocamentos desconhecidos
U2 K22 K23 300
U3 K32 K33 400
U2 700 -500 300 U2 3,1707 . 10
-3 2,4390 . 10-3 300
U3 -500 650 400 U3 2,4390 . 10
-3 3,4146 . 10-3 400
U2 = 3,1707 . 10
-3 . 300 + 2,4390 . 10-3 . 400 = 1,92681 mm
U3 = 2,4390 . 10
-3 . 300 + 3,4146 . 10-3 . 400 = 2,09754 mm
Valor conhecido
Valor desconhecido
-1
= .
-1
= . = .
A MATRIZ INVERSA PODE SER OBTIDA COM USO DE 
VÁRIOS APLICADOS OBTIDOS NA INTERNET E NO 
PRÓPRIO PACOTE WINDONS EXCEL
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Dicas para obter a matriz inversa utilizando o EXCEL:
1 – digite no EXCEL a matriz que deseja obter a inversa.
Exemplo: 1 3 2
4 1 3
2 1 0
2 – duas linhas abaixo da matriz:
2.1 - selecione o mesmo número de células da matriz;
2.2 - escreva na barra de funções do excel Fx:
= matriz.inverso(
2.3 - antes de fechar o parênteses:
selecione a matriz que deseja obter a inversa
2.4 - feche o parênteses: )
2.4 - pressione CTRL+SHIFT+ENTER.
2.1
2.2
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em calcular de seguida as
Forças desconhecidas :
Determinando as forças desconhecidas
F1 K12 K13 U2 F1 -200 0 1,92681
F4 K42 K43 U3 F4 0 -150 2,09754
F1 = -200 . 1,92681 + 0 . 2,09754 = -385,362 kgf
F4 = 0 . 1,92681 + -150 . 2,09754 = -314,631 kgf
OBS: somando Forças externas + Reações de apoio = 0, pois a estrutura encontra-
se em equilíbrio: F1+ F2 + F3 + F4 = - 385,362 + 400 + 300 – 314,631 = 0,007 = 0
Valor conhecido
Valor desconhecido
= . = .
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
12 - PASSO: Determinação da deformação (DESLOCAMENTO) de cada elemento de mola,
sendo este valor determinado por:
Na numeração interna do elemento: delem =( unó 2 – unó 1)
delem _1= ( u2 – u1) = ( U2 – U1) = 1,92681 - 0 = 1,92681 mm ( alongamento)
delem_2 = ( u2 – u1) = ( U3 – U2) = 2,09754 - 1,92681 = 0,17073 mm (alongamento)
delem)_3= ( u2 – u1) = ( U4 – U3) = 0 - 2,09754 = - 2,09754 mm (contrai)
U1 = 0 mm
U2 = 1,92681 mm
U3 = 2,09754 mm
U4 = 0 mm
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K1
1(U1; F1) 2(U2; F2)
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K2
2(U2; F2) 3(U3; F3)
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K3
3(U3; F3) 4(U4; F4)
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Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
13 - PASSO: Determinação das forças internas nos elementos da estrutura;
A força interna ( f ) em cada elemento poderá ser contabilizada, pois a Lei de
Comportamento do elemento (mola) é conhecida, sendo esta dada por: f = K . d
f = K . (u2 – u1)  f = K . delem
f 1 = K1 . delem _1 = 200 . (1,92681) = 385,36 kgf
f 2 = K2 . delem _2 = 500 . (0,17073) = 85,365 kgf
f 3 = K3 . delem _3 = 150 . (- 2,09754) = - 314,63 kgf
delem _1 = 1,92681 mm
delem_2 = 0,17073 mm
delem)_3 = - 2,09754 mm
K1 = 200 kgf/mm
K2 = 500 kgf/mm
K3 = 150 kgf/mm
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K1
1(U1; F1) 2(U2; F2)
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K2
2(U2; F2) 3(U3; F3)
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K3
3(U3; F3) 4(U4; F4)
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Aplicações Gerais a partir do estudo do Elemento de Mola
- O exercício anterior estabelece os principais passos para o montagem de um modelo
de elementos finitos;
- Estes passos são os mesmos utilizados no problemas mais gerais do MEF, onde o
engenheiro com auxílio do computador desenvolve uma solução para o problema em
estudo;
- O uso do computador merece algumas observações:
 Ao utilizar um “software” de elementos finitos, devemos lembrar que o principal
passo a ser dado constitui o entendimento claro do problema físico que se
proprõe a resolver por intermédio de um modelo discretizado;
 Com base nos conceitos teóricos do MEF e na Análise de Engenharia do
problema prático que queremos resolver, poderemos iniciar o planejamento do
trabalho;
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Numéricos; Prof: Marcos Vinicios 27
Referências Bibliográficas:
Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE
Avelino Alves Filho, prof. Dr.
Editora: Érica, 5ª edição, 2007
Bibliografias complementares:
Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar
Editora: LTC, 2011
Um Primeiro Curso em Elementos Finitos
Jacob Fish ; Ted Belytschko
Editora: LTC, 2009