RELATORIO_FISICA_2_EXP_1 (1)

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UFOB – Universidade Federal do Oeste da Bahia.
ICADS – Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável
Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias
Disciplina: Física Geral e Experimental II - IAD 222
Professor de Pratica Experimental: Murilo Sodré
	
	
RELATÓRIO DE PRATICA EXPERIMENTAL
PRÁTICA: PÊNDULO SIMPLES.
Componentes:
	Afonso Alves Teixeira
	
	Jean Michel Castro Silva Cardoso
	
	Patielly Fátima dos Santos
	
	Rodrigo Santana
	
			
Barreiras - BA 
9 de Maio de 2014
SUMÁRIO
Introdução………………………………………………………………………...3
Objetivo……………………………………………………………….…………...5
Materiais...........................………………………………………….……………5
Procedimento…………………………………………………….…….………...5
Resultados e Discussão………………………………………...…….………...6
Conclusão………………………………………………………………..……...12
Bibliografia…………………………………………………...…………....13
8
INTRODUÇÃO
Um sistema formado por um corpo suspenso em um ponto por um fio inextensível cuja outra extremidade do fio é fixa, e que executa movimentos oscilantes em torno deste ponto fixo, é denominado pêndulo. 
Os pêndulos se dividem em físicos e simples. Os pêndulos físicos possuem no lugar do fio inextensível, um braço de sustentação com massa considerável e portanto, um relativo momento de inércia. Os pêndulos simples, por sua vez, como vimos, não possui este braço de sustentação, sendo o fio de sustentação de massa desprezível comparável ao corpo suspenso. Os pêndulos são exemplos de sistema oscilante. Neste experimento trabalhamos com um pêndulo simples verificando e analisando alguns elementos para a determinação das características de seu comportamento. 
O pêndulo simples é composto por uma partícula de massa m chamada de peso do pêndulo, suspensa por uma das extremidades de um fio inextensível de massa desprezível e comprimento L, cuja outra extremidade esta fixa. O peso está livre para oscilar no plano do fio, para esquerda e para direita de uma reta vertical que passa pelo ponto fixo do fio.
As forças que agem sobre o peso do pêndulo são a tração T exercida pelo fio, que forma um angulo θ com a vertical, e a força gravitacional . Esta última equação por sua vez, pode ser decomposta em uma componente radial:
 , e uma componente , que é tangente à trajetória do peso, A componente tangencial produz um torque restaurador em relação ao ponto fixo do pêndulo, agindo no sentido oposto ao deslocamento, tendendo a levá-lo de volta ao ponto central. Este ponto, onde , é a posição de equilíbrio. Este torque restaurador é descrito pela seguinte expressão:
[Eq. 1]
Temos pela segunda lei de Newton para rotações:
 [Eq. 2]
E sendo:	
 [Eq. 3]
Temos: 
 [Eq. 4]
Onde: = momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto fixo e α é a aceleração angular do pêndulo em ralação a este ponto.
Sendo o ângulo , então , e podemos simplificar:
 [Eq. 5]
O movimento de um pêndulo simples com apenas pequenos ângulos de deslocamentos pode ser aproximado por MHS (movimento harmônico simples).
A frequência angular do pêndulo é dada por: [Eq. 6]
E substituindo 	[Eq. 7]
O período do pêndulo fica:
 	[Eq. 8]
Sendo: 			 [Eq. 9]
Equivale a [Eq. 10]
Substituindo na equação anterior temos:
	[Eq. 11]
(Para pêndulo simples de pequena amplitude)
 2 OBJETIVOS
Neste experimento, temos como objetivo:
Entender o pêndulo simples como um sistema oscilante;
Obter a aceleração da gravidade no local do experimento;
Realizar análise estatística de dados e comparar métodos de análise.
 
MATERIAIS 
Nesta aula prática foram utilizados os seguintes materiais:
2 fios de nylon;
2 pesos de pesca ("chumbada");
1 cronômetro de aparelho celular (erro instrumental de ± 0,01 s);
1 régua plástica de 40 cm (erro instrumental de ± 0,5 mm);
1 trena de 2 m (erro instrumental de ± 0,5 mm).
4 PROCEDIMENTO
Medimos com uso da trena o comprimento do fio em que o peso estava suspenso de modo a formar o conjunto do pêndulo simples. Denominamos como sendo o pêndulo 1 aquele cujo comprimento aferido foi de 219,5 cm e de pêndulo 2 o de 239 cm.
Calculamos utilizando recursos matemáticos de trigonometria a distância horizontal que formaria ângulos de 10° e 15° no fio entre o ponto de largada e o ponto de equilíbrio para ambos os pêndulos.
No primeiro pêndulo, deslocamos o peso da posição de equilíbrio até o ponto em que . Medimos o tempo levado para completar um período de oscilação com uso do cronômetro, e repetimos a medição por mais 19 vezes.
Medimos também o tempo levado para completar 10 períodos completos de oscilação com uso do cronômetro no mesmo pêndulo, repetindo a medição por mais 19 vezes. Adotamos o ângulo de 15° e repetimos todas as medições 20 vezes para um período de oscilação, e 20 vezes para dez períodos de oscilação.
Repetimos todos estes passos de medições de dois ângulos (de 10° e 15°) no pêndulo 2.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados obtidos em laboratório foram manipulados através de um tratamento estatístico, onde adotamos as seguintes equações:
Média:
[Eq. 12]
Desvio padrão amostral:
[Eq. 13]
Desvio padrão da média:
[Eq. 14]
Erro experimental:
	[Eq. 15]
Os resultados das medições realizadas estão dispostos nas tabelas a seguir.
	PÊNDULO 1 - 219,5 cm
	
	
	
	Tempo (s)
	Ângulo
	
	10°
	15°
	
	1x
	10x
	1x
	10x
	
	2,73 ± 0,01
	29,87 ± 0,01
	2,84 ± 0,01
	29,50 ± 0,01
	
	2,76 ± 0,01
	29,48 ± 0,01
	2,87 ± 0,01
	29,47 ± 0,01
	
	2,70 ± 0,01
	29,76 ± 0,01
	2,89 ± 0,01
	29,65 ± 0,01
	
	2,65 ± 0,01
	29,38 ± 0,01
	2,74 ± 0,01
	29,60 ± 0,01
	
	2,68 ± 0,01
	29,61 ± 0,01
	2,80 ± 0,01
	29,34 ± 0,01
	
	2,63 ± 0,01
	29,69 ± 0,01
	2,84 ± 0,01
	29,46 ± 0,01
	
	2,75 ± 0,01
	29,86 ± 0,01
	2,83 ± 0,01
	29,61 ± 0,01
	
	2,85 ± 0,01
	29,77 ± 0,01
	2,84 ± 0,01
	29,63 ± 0,01
	
	2,83 ± 0,01
	29,80 ± 0,01
	2,77 ± 0,01
	29,70 ± 0,01
	
	2,74 ± 0,01
	29,91 ± 0,01
	2,81 ± 0,01
	29,54 ± 0,01
	
	2,80 ± 0,01
	29,67 ± 0,01
	2,84 ± 0,01
	29,67 ± 0,01
	
	2,83 ± 0,01
	29,62 ± 0,01
	2,84 ± 0,01
	29,44 ± 0,01
	
	2,85 ± 0,01
	29,64 ± 0,01
	2,71 ± 0,01
	29,47 ± 0,01
	
	2,88 ± 0,01
	29,72 ± 0,01
	2,87 ± 0,01
	29,90 ± 0,01
	
	2,80 ± 0,01
	29,61 ± 0,01
	2,75 ± 0,01
	29,51 ± 0,01
	
	2,83 ± 0,01
	29,66 ± 0,01
	2,87 ± 0,01
	29,89 ± 0,01
	
	2,83 ± 0,01
	29,68 ± 0,01
	2,73 ± 0,01
	29,58 ± 0,01
	
	2,57 ± 0,01
	29,94 ± 0,01
	2,76 ± 0,01
	29,69 ± 0,01
	
	2,58 ± 0,01
	29,58 ± 0,01
	2,69 ± 0,01
	29,56 ± 0,01
	
	2,68 ± 0,01
	29,71 ± 0,01
	2,77 ± 0,01
	29,61 ± 0,01
	
	MÉDIA
	2,75 ± 0,01
	29,70 ± 0,01
	2,80 ± 0,01
	29,59 ± 0,01
	DESVIO PADRÃO
	0,09
	0,14
	0,06
	0,14
	DESVIO PADRÃO DA MÉDIA
	0,02
	0,03
	0,01
	0,03
	ERRO EXPERIMENTAL
	0,10
	0,15
	0,07
	0,15
	PÊNDULO 2 - 239 cm
	
	
	
	Tempo
	Ângulo
	
	10°
	15°
	
	1x
	10x
	1x
	10x
	
	2,71 ± 0,01
	30,86 ± 0,01
	2,94 ± 0,01
	30,79 ± 0,01
	
	3,00 ± 0,01
	30,76 ± 0,01
	2,92 ± 0,01
	31,20 ± 0,01
	
	2,81 ± 0,01
	30,70 ± 0,01
	3,05 ± 0,01
	30,82 ± 0,01
	
	2,94 ± 0,01
	30,79 ± 0,01
	2,90 ± 0,01
	30,62 ± 0,01
	
	2,86 ± 0,01
	30,95 ± 0,01
	2,73 ± 0,01
	30,85 ± 0,01
	
	2,92 ± 0,01
	30,60 ± 0,01
	2,95 ± 0,01
	30,64 ± 0,01
	
	2,80 ± 0,01
	30,58 ± 0,01
	3,02 ± 0,01
	30,85 ± 0,01
	
	3,06 ± 0,01
	30,81 ± 0,01
	2,92 ± 0,01
	30,90 ± 0,01
	
	2,97 ± 0,01
	30,83 ± 0,01
	2,86 ± 0,01
	30,76 ± 0,01
	
	2,80 ± 0,01
	30,83 ± 0,01
	2,99 ± 0,01
	31,01 ± 0,01
	
	3,04 ± 0,01
	30,79 ± 0,01
	3,00 ± 0,01
	30,93 ± 0,01
	
	2,87 ± 0,01
	30,80 ± 0,01
	3,01 ± 0,01
	30,99 ± 0,01
	
	3,11 ± 0,01
	30,87 ± 0,01
	2,95 ± 0,01
	30,93 ± 0,01
	
	3,05 ± 0,01
	30,73 ± 0,01
	2,84 ± 0,01
	30,61 ± 0,01
	
	2,88 ± 0,01
	30,89 ± 0,01
	3,00 ± 0,01
	30,89 ± 0,01
	
	2,85 ± 0,01
	30,81 ± 0,01
	2,93 ± 0,01
	30,83 ± 0,013,00 ± 0,01
	30,78 ± 0,01
	2,99 ± 0,01
	30,73 ± 0,01
	
	2,99 ± 0,01
	30,80 ± 0,01
	3,04 ± 0,01
	30,77 ± 0,01
	
	2,93 ± 0,01
	30,76 ± 0,01
	3,00 ± 0,01
	30,76 ± 0,01
	
	2,95 ± 0,01
	30,80 ± 0,01
	3,01 ± 0,01
	30,64 ± 0,01
	
	MÉDIA
	2,93 ± 0,01
	30,79 ± 0,01
	2,95 ± 0,01
	30,83 ± 0,01
	DESVIO PADRÃO
	0,10
	0,09
	0,08
	0,15
	DESVIO PADRÃO DA MÉDIA
	0,02
	0,02
	0,02
	0,03
	ERRO EXPERIMENTAL
	0,11
	0,10
	0,09
	0,16
Os tempos de oscilação para cada situação, incluindo o erro experimental serão:
	
	PÊNDULO 1
	PÊNDULO 2
	1 oscilação (10°)
	2,75 ± 0,10
	2,93 ± 0,11
	1 oscilação (15°)
	2,80 ± 0,07
	2,95 ± 0,09
	10 oscilações (10°)
	29,70 ± 0,15
	30,79 ± 0,10
	10 oscilações (15°)
	29,59 ± 0,15
	20,83 ± 0,16
- DETERMINAÇÃO DO PERÍODO ESPERADO (T):
Os resultados dos períodos dos pêndulos que eram esperados, pela teoria da introdução, eram descritos pela equação:
Adotamos o valor da aceleração da gravidade disponível na apostila de física I (ICADS-UFOB), como g=9,78123 m/s².
- Período para o pêndulo 1:
L= 2,195 ± 0,0005 m; assim, T1:
- Período para o pêndulo 2:
L= 2,39 ± 0,0005 m
Podemos observar que o valor matematicamente esperado para o período de oscilação dos dois pêndulos acabou sofrendo uma leve discrepância em relação aos dados obtidos experimentalmente, mas podemos atribuir essa leve diferença à falta de precisão dos métodos disponíveis para a realização do experimento.
Ao considerar tais resultados, pode-se considerar que a expressão teórica é útil para determinar o período do pêndulo simples.
Aproximação: Senα ≈ α
As funções Seno e Cosseno repetem seus valores quando a fase de um período é incrementada de 2π, ou seja, a cada incremento no tempo de T o aumento da fase é de 2π, o ciclo do movimento se completa.
Essa repetição de valores para a função Seno, nos permite fazer a aproximação de Senα para α, desde que α assuma pequenos valores.
Tal aproximação envolve a linearização das funções trigonométricas e o truncamento de suas séries de Taylor, de forma que quando o ângulo é medido em radianos temos:
Pela Definição da função Seno como série de Taylor.
Senα = * αe(2n+1)
Esta aproximação nos permite dizer que o período do pêndulo simples independe da amplitude do movimento, já que a força de restituição que atua sobre o pêndulo pode ser considerada proporcional a α.
De fato a não dependência da amplitude para a caracterização de um pêndulo simples torna a aproximação mais exata quando menor for o valor de α.
- DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE (g):
Manipulando a mesma equação utilizada para determinar o valor do período dos pêndulos, podemos também determinar a aceleração da gravidade.
- Para o pêndulo 1, com θ = 10°
T= 2,75 ± 0,10 s
- Para o pêndulo 1, com θ = 15°
T= 2,80 ± 0,07 s
- Para o pêndulo 2, com θ = 10°
T= 2,93 ± 0,11 s
- Para o pêndulo 2, com θ = 15°
T= 2,95 ± 0,09 s
Como pudemos observar, o valor da aceleração da gravidade encontrado com o auxílio dos dados experimentais coletados em laboratório, também ficou discrepante do valor específico para a cidade de Barreiras, fornecido na literatura, e atribuímos isso ao método de realização do experimento, visto que os erros envolvidos no processo de coleta de dados transcendem os erros instrumentais, já que sempre houve uma interferência no tempo de resposta para iniciar e parar o cronômetro, processo que foi realizado manualmente, já que não há sensores e demais equipamentos específicos para a realização do experimento da maneira ideal.
CONCLUSÃO
Com os dados podemos perceber que a partir da análise da oscilação de um pêndulo podemos determinar a gravidade e perceber que o período é independente da amplitude de oscilação (desde que a amplitude seja pequena), que nos permite aproximar o movimento do pêndulo simples a partir do MHS (movimento harmônico simples).
Os valores obtidos para a gravidade local ficará dentro do esperado (de acordo com a bibliografia), na eficiência do método utilizado para calcular a gravidade.
O pêndulo com o fio maior resulta em um período de oscilação maior que o fio menor, logo pode-se concluir que o valor do período é diretamente proporcional ao comprimento do fio.
QUESTÕES
Quais são os parâmetros relevantes na determinação do período do pêndulo simples?
Determine para pequenas oscilações a equação de movimento de um pêndulo simples.
Obtenha a solução para a equação da questão anteior.
Determine a equação de movimento de um pêndulo simples para valores de oscilações em segunda ordem.
8 RESPOSTAS
Para ângulos menores que 10º o parâmetro relevante é o comprimento do fio.
Sendo S = αr = αl (1) (L fixo)
dr/dt = dαl/dt => d²r/dt² = d²αl/dt² (2)
d²r/dt² = ld²α /dt², para L fixo
F= -t*S = -t*Sα (3)
F= -m*g*senα (4)
Igualando (3) e (4), teremos
m*g*senα = tS
md²s/dt² = -m*g*senα (5)
Substituindo (2) em (5), temos:
m*l*d²α/dt² = -m*g*senα
ld²α/dt² = -g*senα => d²α/dt² = -g*senα/l (6)
Para pequenas oscilações senα ≈ α, tem-se:
d²α/dt² = -gα/l (7)
Para pequenas oscilações sen α ≈ α, tem-se:
d²α/ dt² = (-g x α)/l => d²α/ dt² => w² x α
Condições Iniciais: 
α(0) = αo
dα/dt (t=0) = 0
w² = g/l
w=√g/l
De acordo com a expansão da série de Taylor senα = α – α³/3 ..., usando os dois primeiros termos da série, pois o restante dos termos tem valores, tem-se:
Senα = α – α³/8 (8)
Substituindo-se (8) em (6), temos a equação desejada:
d²α/dt² = -g/l(α-α³/3) (9) 
BIBLIOGRAFIA
H.M Nussenzveig, Um curso de física básica: Volume 2, Edgar Blucher, São Paulo (2003).
HALLIDAY, DAVID, Fundamentos de física, Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro (2009).
Apostila de Física Geral e Experimental II – (ICADS-UFOB);