funções inversas e suas derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATITICA
DISCLIPLINA: IME0075 CÁLCULO 1A TURMA F
“FUNÇÕES INVERSAS E SUAS DERIVADAS”
 PROFESSOR: RODRIGO DONIZETE EUZEBIO
ALUNO: GUILHERME HENRIQUE DOS SANTOS
Introdução 
	As funções no campo de matemática, são de grande importância e aplicação no cotidiano, como por exemplo o preço da gasolina entre várias outras situações rotineiras, todavia em algumas situações, se faz necessário, analisar a relação inversas das variáveis da função, a partir disso, se torna útil o estudo das funções inversas. 
	Diante amplas conexões, o estudo funções inversas, está associado ao de derivada, o qual por meio de suas aplicações, torna o isso necessário, inclusive, para analisar o comportamento da função inversa em relação a qual foi invertida.
Funções Inversas
2.1 Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para se estudar as funções inversas, consideremos f(x), onde f : A → B , sabemos que:
f(x) é injetora se, e somente se ela não assumir o mesmo valor, quando atribuirmos valores diferente para variável dependente x. ou seja: 	 f é injetora {x1, x1 A; x2, x2 A; x1  x2 f(x1) f(x2)}
f(x) é sobrejetora se, e somente se a imagem de f é igual ao contradomínio de f, ou seja: f é sobrejetora {  y, y x, x f(x) = y }
f(x) e bijetora se, e somente se ela for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
2.2 Noção e definição
	A partir disso, considerando que exista uma função f(x), em que f: A→ B, onde y = f(x) e supondo que exista uma função g(y) = x que associe os elementos da imagem de f aos seus correspondentes no domínio de f , desta forma, g(y) = x, em que g : B → A, g(x) expressará a relação inversa de A em B, dizemos que f é uma função invertível e g é sua função inversa. 
2.2.1 Definição: Seja f uma função de A em B, a função que expressa a relação inversa, indicada por f-1 em que f-1: B → A, onde: f-1(y) = x f(x) = y. dessa forma, o domínio de f é igual a imagem de f-1e o domínio de f-1e igual a imagem de f, representado por: Df = Imf-1 e Df-1 = Imf. (Considere f-1 apenas uma notação).
Imagem 1. Relação entre os conjuntos A e B
2.2.2 Obtenção da função inversa
Se f é uma função invertível genérica definida pela sentença f(x) = y, para obtermos a sentença de sua inversa f-1, pode-se proceder do seguinte modo: Na sentença de f(x) = y, permutamos a variáveis, trocando x por y, e y por x, resultando em x = f(y), depois, se possível, isolamos o y, expressando y em função de x, de modo que y = f - 1(x). 
2.2.3 Exemplo: Determine as inversas da seguinte funções:
(a) f (x) = x³,				 (b) f (x) = 2x +1, 			 (c) f (x) =, 				 (d) f (x) = x²,	
(e)f (x) = x², ( x ≥0)			 (f) f(x) = x, (x [- ])	 (g) f(x) = x, ( x [0 ])		 (h) f(x) = x, (x [- ])
Solução: 
f (x) = x³ , y = f (x). Queremos x em função de y. logo x = y³ y = , assim temos f -1 (x) = .
f (x) = 2x +1, y = f (x). Queremos x em função de y. logo x = 2y + 1 y = , assim temos f -1 (x) = .
f (x) =, y = f (x). Queremos x em função de y. logo x = y = , assim temos f -1 (x) = .
f (x) = x², y = f (x). Queremos x em função de y. logo x = y² y = . Neste caso f -1 (x), teria duas imagens e -o que o impede de ser função, logo f -1.
f (x) = x², com x ≥ 0, y = f (x).Queremos x em função de y. logo x = y², como y ≥ 0, implica em y = , com x ≥ 0, portanto f -1 (x) = , com x ≥ 0 e y ≥ 0.
f(x) = x, com x [- ], y = f (x). Queremos x em função de y. logo x = y, como y [- ], implica em y = x, com x [-1, 1], assim temos f -1 (x) = x, com y [- ] e x [-1, 1].
f(x) = x, com x [0 ], y = f (x). Queremos x em função de y, logo x = y, como y [0 ], implica em y = x, com x [-1, 1], assim temos f -1 (x) = x, com y [0 ] e x [-1, 1].
 f(x) = x, com x [- ], y = f (x). Queremos x em função de y, logo x = y, como y [- ] com x assim temos f -1 (x) = x, com y [- ]e x .
2.3 Aspectos gerais 
	Conforme apresentado, notamos que elementos diferentes do D f, está associado a elementos distintos pertencente a Imf, e a Imf e igual ao CDf, para que f -1 exista, então:
2.3.1 Proposição: f-1 só será função, se, e somente se f for bijetora.
Demonstração: “deve se provar que: se f-1existe, então f é bijetora 				 Como y x f-1 (y) = x, isto é, (y, x) f-1, ou ainda, (x, y) f, assim pode-se concluir que f é sobrejetora.									 Com x1 x2 A e x1  x2, se tivermos f (x1) = f (x2) = y, obteremos f-1 (y) = x1 e f-1 (y) = x2, o que é absurdo, pois y deve ter uma única imagem em f-1, para ser função. Assim f (x1)  f (x2), podendo-se concluir que f é injetora 								 Logo, f é bijetora, então resta provar que, se f bijetora, então f-1 é uma função:		 Sabe-se que f é bijetora, então y x x, yf, teremos, (y, x) f-1e com y e considerando duas imagens x1 e x2, em f-1, obtêm-se:(y, x1) e (y, x2) f-1 ou ainda, (x1 , y) e (x2, y) f , sendo f injetora conclui-se que x1  x2. Caracterizando f-1 como função.				Dessa maneira, somente quando f for bijetora f-1 será uma função. ”
Sabe-se que f (x) e a inversa de f-1 (x), assim f (x) expressa a relação inversa de f-1 (x), logo:
2.3.2 Proposição: Se f-1é a função inversa de f, a função inversa de f-1 é f.
 Demonstração: “ A função inversa de f-1 é (f-1) -1, genericamente temos, f (x) = y, f-1 (y) = x. Pela condição g-1(y) = x g(x) = y, para que (f-1) -1 seja a função inversa de f-1, é preciso que: (f-1)-1( x) = y e como f (x) = y, temos: (f-1)-1( x) = f (x).”
		Também observamos que se fizermos a composta de uma função e sua inversa, ou seja, f (f -1 (a)) resultará no próprio elemento, assim:
2.3.3 Proposição: “As funções compostas f o f-1 e f-1o f resulta na função identidade i = y = x.
Demonstração: como f-1(y) = x e f (x) = y, obtemos:							 ‘x f-1(f (x)) = f-1(y) = x = i.’ e ‘yf (f -1 (y)) = f (x) = y = i.’ ”
	Se função invertível é bijetora, logo a função inversa é única:
 2.3.4 Proposição: A função f-1 e única, ou seja, f não admite mais de uma função inversa, considerando o conjunto a qual f-1 e f é definida. (Unicidade da dependência de y e x)
Demonstração: “Adotemos g1 e g2 , inversas de f logo: Dg1 = Imf = Dg2 e CDg1 = Df = CDg2 como yDg1 = Imf = Dg2 , temos f(g1) = y = f(g2), e como f e injetora, g1 = g2”(em caso de restrição do Dg1, pode-se haver uma função inversa para cada função com o novo domínio)
	Ao considerar as proposições e teoremas envolvendo funções composta e de acordo com a apresentado sobre funções inversas, podemos concluir, como segue:
 2.3.5 Proposição: Se as funções f: A B, e g: B → C, e são bijetoras, então (f o g) -1 = f-1 o g-1
Demonstração: “Como f e g, são bijetoras, logo f -1o g -1, é também bijetora, cuja demonstração fica omitida, assim admite uma inversa h-1: C→A. de acordo com a proposição 2.3.3:	 (f-1 o g-1) o (f o g) = i e ( g-1 o f-1 ) o (g o f ) = i , onde i é a função identidade.		 (f-1 o g-1) o (f o g) = i [f-1 o (g-1o g ) ]o f = i (f-1 o i )o f = i f-1 o f = i i = i	 (g-1 o f-1) o (g o f ) = i [g-1o (f-1 o f )]o g) = i ((g-1 o i) o g = i g-1 o g = i i = i.”
2.4 Gráfico das funções inversas
		Analisando os gráficos das funções invertíveis e sua inversas, obtemos: 
2.4.1 Propriedade: Os gráficos (gráf.) das funções f e f-1são simétricos, em relação ao gráfico da função identidade y = x
Demonstração: “O gráf. f {(x, f(x)), onde x Df } e o gráf. f-1 { (x, f-1(x)), onde x Df },assim temos: (x0, y0 ) gráf. de f y0 = f (x0) x0 = f-1(y0) (y0, x0) gráf.de f-1. Logo é notável que estes pontos equidistam da origem (0, 0) e ela pertence ao gráfico da função identidade, e a reta y = x, é a bissetriz da reta entre os pontos(x0, y0) e (y0, x0), portanto os gráficos são simétricos em relação ao gráfico de y = x.”
2.4.2 Exemplos: esboce no mesmo figura, o gráfico de f e de sua respectiva inversa f-1para:
(a) f (x) = x³,				 (b) f (x) = 2x +1, 			 (c) f (x) =, 				 (d) f (x) = x²,(esboce a figura)
(e)f (x) = x², ( x ≥0)			 (f) f(x) = x, (x [- ])	 (g) f(x) = x, ( x [0 ])		 (h) f(x) = x, (x [- ]
Solução: 
Derivada da função inversa. 
Verificaremos como comporta a derivada da função inversa e suas relações com a função invertida.
3.1 Continuidade de funções deriváveis 
	Se f é estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo [a, b], e é continua sobre esse segmento, com f(a) = c e f(b) = d, então a função inversa existe e é definida e continua sobre o segmento [c, a]. Devido extensão do trabalho, limitaremos a citar esta nota, sem demonstra-la. 
Relacionando o conceito de derivada com o de função inversas, obtemos:
3.2 Proposição: Seja que f (x), invertível em intervalo I, sendo sua inversa g (x) = f -1(x), se a função f é derivável e f ’ (x) ≠ 0, I, então g se existir e vale: g’ (x) = .
Demonstração: (Teorema da derivada da função inversa.) Como g é a inversa de f, temos:	 f (g (x)) = x, xDg, como segue: [f (g (x))] ’ = x’ e x’ = 1. Ao aplicarmos a regra da cadeia em [f (g (x)) ]’ obteremos f ’(g (x)) g’ (x) = 1 ou g’ (x) = . 
3.3 Proposição: Seja que f (x), uma função invertível, sendo sua inversa g (x) = f -1(x), se f for derivável em q = g (p) e f ’ (q) ≠ 0, se g é continua em p, então g é derivável em p.
Demonstração: “ g’(x) = = = com x ≠ p.	 Como f é continua, pois supomos que é derivável, logo g’ (x) → q, quando x → p. então: =,como = f ’(q) = f ’(g (p)), resulta, em g ser derivável em p, portanto: g’(p) = = .”
3.4 Teorema da derivada da função inversa em Notação de Leibniz.	
Expressando Teorema da derivada da função inversa em Notação de Leibniz, obtemos: como g’(x) = e f ’(g (p)) = , dessa maneira: g’ (x) = equivale a: . 
3.5 Exemplos: Derive, quando possível, as inversas das seguintes funções, aplicando o teorema da derivada da função inversa: 
(a) f (x) = x³,				 (b) f (x) = 2x +1, 			 (c) f (x) =, 	
(d) f (x) = x²,				 (e)f (x) = x², ( x ≥0)
Solução: 
(a) f (x) = x³, sua inversa f -1 (x) = , aplicando o teorema citado, temos: (f -1)’= (b) f (x) = 2x +1 sua inversa f -1 (x) = , aplicando o teorema citado, temos: (f -1)’= 2. (c) f (x) =, sua inversa f -1 (x) = . aplicando o teorema citado, temos: (f -1)’= = (d) f (x) = x², sua inversa não existe, sendo impossível aplicar o teorema citado. (e) f (x) = x², ( x ≥0), sua inversa f -1 (x) = , . aplicando o teorema citado, temos: (f -1)’= 
 Funções trigonométricas inversas e suas derivadas.
Diante do exposto, se torna possível, definimos a derivada das funções trigonométricas inversas. Conduzindo ao seguinte:
4.1 Proposição: Derivada da função arco seno. Seja f(x) = x, f: [-1, 1]→[- ], então f ’(x) e derivável em ]-1, 1[, e f ’(x) = , com y = f (x).
Demonstração: f(x) = x, y = f(x), sua inversa é x = sen y. com y [- ], y’ ≠ 0, aplicando a teorema da derivada da função inversa, temos: y’ = para y [- ],como , temos , como y = x, portanto f ’(x) = f ’(x) = , x [-1, 1].
4.2 Proposição: Derivada da função arco cosseno. Seja f(x) = x, f: [-1, 1]→[0 ], então f ’(x) e derivável em ]-1, 1[, e f ’(x) = , com y = f (x).
Demonstração: f(x) = x, y = f(x), sua inversa é x = cos y. com y [0 ], y’ ≠ 0, aplicando a teorema da derivada da função inversa, temos: y’ = para y [0 ], , temos , como y = x, portanto f ’(x) = f ’(x) = , x [-1, 1].
4.3 Proposição: Derivada da função arco tangente. Seja f(x) = x, f: →[- ], então f ’(x) e derivável em ]-1, 1[, e f ’(x) = , com y = f (x).
Demonstração: f(x) = x, y = f(x), sua inversa é x = tg y. com y [- ], y’ ≠ 0, aplicando a teorema da derivada da função inversa, temos: y’ = para y [- ],como , temos , como y = x, portanto f ’(x) = f ’(x) = , x .
4.4 Proposição: Derivada da função arco cotangente. Se y = x, logo y’= .
Demonstração: y = x, e como x= (), então y’= ())’, aplicando a regra da cadeia: y’= . , então, y’= .
4.5 Proposição: Derivada da função arco cossecante. Se y = x e ≥ 1, logo y’= com > 1.
Demonstração: y = x, e como x= (), então y’= ())’, aplicando a regra da cadeia: y’= . , como = ,então y’= com > 1.
4.6 Proposição: Derivada da função arco secante. Se y = x e ≥ 1, logo y’= com > 1.
Demonstração: y = x, e com x= (), logo y’= ())’, aplicando a regra da cadeia: y’= . , como = ,então y’= com > 1.
Referências
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. 18 ed. Porto: Livraria Lopes da Silva editora. 2000, v. 01.
GUIDORRIZZI, H. L. Um curso de cálculo, 5 ed. Rio de janeiro: LTC- 2001, v. 01.
STEWART, James, Cálculo, v7. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013, v. 01.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B., Cálculo A: Funções, limites, derivação e integração, São Paulo : Pearson, 2010.
IEZZI, Gelson, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da matemática elementar, 3 ed. São Paulo, 1997. V.01.