vector_tensor_operations

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OPERAC¸O˜ES COM TENSORES E VETORES
Leon Matos - UERJ
matosleon@gmail.com
1 Tensor tensa˜o de Cauchy
T =

σxx τxy τxz
τyx σyy τyz
τzx τzy σzz
 (1)
1
2 Divergente de campo tensorial
Vetores sera˜o considerados matrizes linha, de forma que o vetor velocidade, por ex-
emplo, e´ representado da seguinte maneira:
ui + vj + wk =
[
u v w
]
(2)
A seguir sera´ apresentada a representac¸a˜o matricial do operador divergente aplicado
ao tensor de tenso˜es de Cauchy (1) no sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.
div T =
[
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
] 
σxx τxy τxz
τyx σyy τyz
τzx τzy σzz
 (3)
Considerando o seguinte operador, representado pelo s´ımbolo nabla ∇,
∇ =

∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z
 (4)
podemos representar o divergente do tensor de tenso˜es de Cauchy div T por
∇ · T = [ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z ]

σxx τxy τxz
τyx σyy τyz
τzx τzy σzz
 (5)
o que resulta em
∇ · T =
[
∂σxx
∂x
+ ∂τyx
∂y
+ ∂τzx
∂z
∂τxy
∂x
+ ∂σyy
∂y
+ ∂τzy
∂z
∂τxz
∂x
+ ∂τyz
∂y
+ ∂σzz
∂z
]
(6)
3 Gradiente de campo vetorial
Seja v o campo de velocidade para um domı´nio tri-dimensional (que e´ um campo
vetorial), denotado por (2). Utilizando o operador dado em (4), o gradiente do campo
de velocidade gradv e´ expresso por
gradv = ∇v (7)
Representando matricialmente temos
∇v =

∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z
 [ u v w ] (8)
2
Realizando a multiplicac¸a˜o obtemos
∇v =

∂u/∂x ∂v/∂x ∂w/∂x
∂u/∂y ∂v/∂y ∂w/∂y
∂u/∂z ∂v/∂z ∂w/∂z
 (9)
4 Derivada material do vetor velocidade
A derivada material do campo de velocidade v e´ representada por, utilizando mais
uma vez o operador dado em (4),
Dv
Dt
=
∂v
∂t
+ v · ∇v (10)
O segundo termo do lado direito da equac¸a˜o acima, representado em forma matricial,
resulta em
v · ∇v = [ u v w ]

∂u/∂x ∂v/∂x ∂w/∂x
∂u/∂y ∂v/∂y ∂w/∂y
∂u/∂z ∂v/∂z ∂w/∂z
 (11)
A expressa˜o acima pode ainda ser representada na forma [(∇v)v]T , onde o sobre-
scrito T indica transposic¸a˜o matricial, cuja finalidade e´, apenas, garantir que o vetor
resultante da operac¸a˜o seja uma matriz linha, consonante com o convencionado ini-
cialmente. Realizando a multiplicac¸a˜o entre matrizes acima, cada uma das compo-
nentes da derivada material de v, (10), e´ denotada por, no sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais,
Du
Dt
=
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
(12)
Dv
Dt
=
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ w
∂v
∂z
(13)
Dw
Dt
=
∂w
∂t
+ u
∂w
∂x
+ v
∂w
∂y
+ w
∂w
∂z
(14)
3
	Tensor tensão de Cauchy
	Divergente de campo tensorial
	Gradiente de campo vetorial
	Derivada material do vetor velocidade