Aula04 ZerosDeFuncao

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Aula 4: Zeros de Função 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Professora: Luciana C. L. M. Vieira (lucianaclmv@lccv.ufal.br) 
Universidade Federal de Alagoas – UFAL 
Centro de Tecnologia – CTEC 
Curso de Engenharia Civil/Ambiental 
1 – Introdução 
Caracterização Matemática 
 Conhecida uma função f(x). 
 
 Determinar o valor de x* tal que f(x*) = 0. 
 
 Denomina-se x* de zero da função f(x) ou raiz da equação f(x)=0. 
 
 Solução analítica: 
• Equações algébricas (polinomiais) do 1º e 2º graus; 
• Certos formatos de equações algébricas do 3º e 4º graus; 
• Algumas equações transcendentais (não polinomiais). 
2 – Problemas de engenharia 
Equilíbrio de corpo rígido com apoio deformável 
2 – Problemas de engenharia 
Equação de Manning 
2 – Problemas de engenharia 
Equilíbrio estático 
Incógnita: T (tração no tirante) 
Equação resultante do desenvolvimento da solução: 
 
 
 
Considerando: 
 
 
 
a solução da equação corresponde ao zero da função f(T) 
Exemplo: Calcular a força T no 
tirante para garantir a 
estabilidade do bloco, 
considerando dadas as 
propriedades geométricas e 
físicas 
 
2 – Problemas de engenharia 
Equilíbrio de corpos flutuantes 
2 – Problemas de engenharia 
Otimização 
Exemplo: Deve-se construir uma caixa de base 
retangular, com uma folha de ofício de 216mm 
de largura e 330mm de comprimento, retirando-
se um quadrado de cada canto do papel e 
dobrando-se perpendicularmente os lados 
resultantes. Determine o tamanho do lado do 
quadrado que permite construir uma caixa com 
volume máximo. 
 
dobre 
aqui 
dobre 
aqui 
d
o
b
re
 
aq
u
i 
d
o
b
re 
aq
u
i 2
1
6
 m
m
 
330 mm 
x 
216-2x 
330-2x 
x 
Incógnita: x (lado do quadrado) 
Equação resultante do desenvolvimento da solução: 
 
 
Considerando: f(x) = V(x) = 4x3 – 1092x2 + 71280x 
Encontra-se f’(x) = 12x2 – 2184x + 71280 
o valor de x que corresponde ao maior volume corresponde 
ao zero da função f’(x) que esteja dentro do domínio da 
função f(x) 
mm 1080  x xxxxV 7128010924)( 23 
3 – Algoritmos de Solução 
Método gráfico 
 Utilizar alguma sistemática para o 
traçado do gráfico da função estudada. 
 O intervalo inicial de observação 
pode ser criteriosamente definido em 
função do entendimento físico do 
problema envolvido. 
 O zero da função corresponde ao 
ponto de contato do gráfico da função 
com o eixo das abscissas. 
 O intervalo de observação pode ser 
refinado até se atingir a precisão 
desejada. 
x 
y 
3 – Algoritmos de Solução 
Métodos a partir de um intervalo (Bisseção e Cordas) 
Pré-requesitos: 
 Considere uma função f(x) contínua dentro de um intervalo [a,b]; 
 Considere ainda que nos extremos do intervalo [a,b] a função 
estudada apresente sinais contrários, ou seja, f(a)•f(b)<0. 
 
Consequência: 
 Garante-se a existência de pelo menos um zero dessa função 
dentro do intervalo [a,b]. 
 
Idéia! 
 Encontrar um intervalo menor que o intervalo original e que atenda 
os pré-requisitos mencionados acima. 
 Repetir o procedimento anterior até que se atinja o critério de 
tolerância de determinação do zero da função. 
3 – Algoritmos de Solução 
Métodos a partir de um intervalo (Bisseção e Cordas) 
Estratégias de diminuição do intervalo: 
 Escolher um ponto c dentro do intervalo original [a,b]; 
 Redefinir o novo intervalo substituindo o extremo cujo sinal da função é 
o mesmo que no ponto escolhido. 
 
3 – Algoritmos de Solução 
Método da Bisseção 
 A estimativa do zero da função f(x) é feita a partir do ponto médio do intervalo 
analisado; 
 
 Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema, 
ou seja, |f(ze)|>tol, redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia 
até que a tolerância seja verificada. 
 
3 – Algoritmos de Solução 
Método da Bisseção 
Calcular pelo método da bisseção a raiz da equação 
no intervalo a=1.5, b=2.0. 
 
 
Admita uma tolerância ε = 0.01 ou até no máximo três iterações. 
 
Solução: 
 Definir o algoritmo do método da bisseção 
 Definir a função que se deseja encontrar o zero 
 Definir o intervalo inicial válido 
 Aplicar os passos do algoritmo 
 Informar o resultado 
3 – Algoritmos de Solução 
Método das Cordas 
 O método das cordas fundamenta-se no fato de que: 
 
Geralmente, o zero da função está mais próximo do extremo do intervalo onde 
a função apresenta o menor valor em módulo. 
3 – Algoritmos de Solução 
Método das Cordas 
 No Método das Cordas, a estimetiva do zero da função y=f(x) é feita 
a partir da reta secante que une os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) 
do intervalo analisado. 
 
 
 Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o 
problema, ou seja, |f(ze)|>tol, redefine-se o intervalo de estudo, 
repetindo-se a estratégia até que a tolerância seja verificada. 
 
3 – Algoritmos de Solução 
Método das Cordas 
3 – Algoritmos de Solução 
Método das Cordas 
Calcular pelo método das cordas a raiz da equação 
no intervalo a=1.5, b=2.0. 
 
 
Admita uma tolerância ε = 0.01 ou até no máximo três iterações. 
 
Solução: 
 Definir o algoritmo do método das cordas 
 Definir a função que se deseja encontrar o zero 
 Definir o intervalo inicial válido 
 Aplicar os passos do algoritmo 
 Informar o resultado 
3 – Algoritmos de Solução 
Análise de convergência 
Quando se está interessado em estudar a convergência de um método 
numérico, pode-se observar a quantidade de iterações necessárias para se 
atingir uma dada tolerância. 
 
Utilizando o exemplo anterior com a = 0.5, b = 2.5, número máximo de 
iterações igual a 10000 e tolerância variando de 1e-6 a 1e-3: 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10
-3
5
10
15
20
Tolerância
Itera
çõe
s
 
 
Bisseção
Cordas
3 – Algoritmos de Solução 
Análise de convergência 
Pode-se também analisar como foi a convergência de um caso em particular, 
observando-se as estimativas encontradas em comparação com o valor 
esperado. 
0.5 1 1.5 2 2.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
 
 
f(x)=(x/2)
2
-sin(x)
Bisseção
Cordas
1.932 1.9325 1.933 1.9335 1.934 1.9345 1.935 1.9355 1.936
-1
-0.5
0
0.5
1
x 10
-3
x
f(x)
 
 
f(x)=(x/2)
2
-sin(x)
Bisseção
Cordas