Aula_Programada_de_C_lculo_01

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CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURICIO DE NASSAU 
 NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA
 Aula Programada de Cálculo (APC 03)
 João Mesquita
I – Função Afim ou Função Polinomial do 1º grau
Dizemos que uma função é uma função AFIM (ou polinomial do 1° grau) quando existem números reais a e b tais que . O “a’’ é chamado de taxa de variação da função, enquanto que o b = f(0) é chamado e valor inicial da função.
Aplicação 01:
	ACADEMIA
	FIQUE EM FORMA
	CORPO E SAÚDE
	MATRÍCULA
	R$100,00
	R$80,00
	MENSALIDADE
	R$80,00
	R$120,00
As academias de musculação FIQUE EM FORMA e CORPO E SAÚDE foram abertas recentemente num determinado bairro de Recife. A tabela abaixo exibe os custos e matrícula e mensalidades que são praticados nas duas academias.
Supondo que a matrícula já é encarada como a primeira mensalidade e que um determinado aluno deseja se matricular numa das academias acima descubra as funções que descrevem os custos que este aluno teria para frequentar x meses cada uma das academias.
II – Representação Gráfica de uma função Afim:
Como já vimos anteriormente uma função afim (ou polinomial do 1°grau) é uma função do cuja forma geral é . Denotando f(x) por y, podemos representar graficamente uma função afim num sistema de eixos perpendiculares x0y (sistema cartesiano). Demonstra-se que a representação gráfica sempre será uma reta cuja posição varia de acordo com os valores assumidos por a e b. Vejamos:
Note que o sinal do “a” define se a função é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). Nos dois casos b = f(0) é sempre o local em que a reta intersecta o eixo y.
Aplicação 02:
Ao contratarmos um taxi o valor pago por nós depende (é função) de duas coisas; da distância que percorremos durante a viagem e de um valor fixo que costumeiramente chamamos de bandeirada. Assim, por exemplo, se numa determinada cidade os taxis seguem a seguinte tabela:
	BANDEIRADA
	CUSTO ADICIONAL/Km
	5,00
	2,50
Determine:
a) O custo que terá uma pessoa para percorrer x quilômetros;
b) Represente graficamente a função que descreve o custo do taxi.
Observações Importantes:
 (FUNÇÃO CONSTANTE)
Graficamente uma função constante é representada por uma reta horizontal. Vejamos:
Reta horizontal acima do eixo x quando b é positivo
Reta horizontal abaixo do eixo x quando b é negativo
 (FUNÇÃO LINEAR)
Neste caso a representação gráfica é uma reta inclinada em relação ao eixo x e passando pela origem (ponto 0). Vejamos:
 
 
Aplicação 03:
A figura abaixo mostra os gráficos das funções custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita são iguais, qual o lucro pela venda de 2000 CDs?
III - Estudo do sinal da função Afim:
Dada uma função afim com, estudar o sinal da função é identificar os valores de x para os quais a função f é nula (zero da função), é negativa ou é positiva. Como a representação gráfica de f é uma reta é fácil estudar o seu sinal; basta desenhar a reta e observar o local em que “corta” o eixo x (zero da função) e os intervalos em que a representação gráfica função está acima do eixo x (f(x) > 0) ou abaixo do eixo x (f(x) < 0). Observe:
IV – Função Quadrática ou Função Polinomial do 2º grau
a) Definição:
Uma função f: R R chama-se função quadrática quando existem constantes reais a, b e c, com a, b, c R e a 0 tais que f(x) = ax2 + bx + c.
b) Existência dos zeros da função quadrática
Um zero de uma função quadrática f é um número tal que f(a)=0. Mas como achar os zeros de uma função quadrática? 
Simples; resolvendo a equação quadrática correspondente ax2 + bx + c = 0
Denomina-se discriminante da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 ao número b2 - 4ac, que representamos pela letra (leia: delta).
 = b2 – 4ac
A equação do 2º grau tem raízes reais (que são os zeros da função quadrática) se, e somente se, o discriminante for maior ou igual a zero.
As raízes são dadas por:
Ou seja, 
	
Temos ainda:
• ∆ > 0 (as duas raízes são números reais distintos)
• ∆ = 0 (raiz dupla)
• ∆ < 0 (não existem raízes reais)
Aplicação 04:
Quais os zeros da função quadrática dada por ?
c) Representação gráfica:
Dada uma função f: R → R chama-se função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c R e a ≠ 0 , pode-se demonstrar que a sua representação gráfica é uma curva chamada de PARÁBOLA que, neste caso, pode ter a sua concavidade (abertura) voltada para cima no caso em que a > 0 ou voltada para baixo no caso em que a < 0.
Observação:
Um outro ponto extremamente importante é o fato que uma função quadrática pode assumir um valor máximo ou mínimo (dependendo do sinal e a). Esse ponto que corresponde ao máximo (no caso em que a < 0) ou a o mínimo (no caso em que a > 0) da função é denominado de vértice da parábola as suas coordenadas são facilmente determinadas em termo dos coeficientes a, b e c. De fato, verifica-se que. Uma outra forma bastante prática para determinarmos o yv é fazer yV = f(xV). Observe:
 
 Com relação ao conjunto imagem de uma função quadrática temos dois casos, a saber:
1º) quando a > 0, 
2º) quando a < 0, 
Aplicação 05:
Após uma análise de mercado, concluiu-se que um produto seria vendido de conformidade com a fórmula Q = 2000 – 100.P, na qual Q representa a quantidade que será vendida ao preço unitário P. Sabendo que o lucro por unidade vendida é P – 10, encontre:
a) uma fórmula que determine o lucro total, em função de P;
b) o valor de P, para que o lucro total seja o maior possível.
Aplicação 06:
Um lote retangular, doado a uma instituição filantrópica, deverá ser demarcado num terreno em formato de triângulo retângulo. Na figura ao lado, x e y representam as dimensões desse lote.
a) Sabendo que a área, S, do lote é dada pela expressão , determine o valor de x para que o lote doado tenha a maior área possível.
b) Usando os dados da figura e a fórmula para cálculo da área de um retângulo, mostre como obter a expressão .
Aplicação 07:
Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a:
Aplicação 08:
Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) = 30t - 3t2, onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, respectivamente:
Aplicação 09:
Um criador dispõe de 100 metros lineares de tela para cercar um curral em formato retangular, usando a maior área possível e aproveitando uma parede existente, conforme mostra a figura a seguir.
 Parede
É possível, portanto, afirmar que a área cercada pelo criador, em m², é de:
V – Função Modular
Módulo de um número real
Dado um número real x, definimos o seu módulo (ou valor absoluto) por
Ou seja, se x é um número real não negativo o seu módulo é o próprio x e no caso em que x é negativo, o módulo de x é –x. 
Exemplos:
a) , pois 2 é positivo e o módulo de um número real não negativo é o próprio número.
b) , pois -3 e um número real negativo e pela definição que demos acima o módulo de um número real negativo é número com sinal trocado.Assim, .
Aplicação 10:
Da figura, concluímos que | z – x | + | w – x | é igual a:
a)15
b)14
c)13
d)12
Aplicação 11:
As alturas das mulheres adultas que habitam certa ilha do Pacífico satisfazem a desigualdade , em que a altura h é medida em centímetros. Então, a altura máxima de uma mulher dessa ilha, em metros, é igual a:
a) 1,60
b) 1,65
c) 1,70
d) 1,75
Aplicação 12:
Qual o domínio da função real definida pela lei ?
A função modular 
Definição:
Gráfico:
Aplicação 13:
Represente graficamente a função real f(x) = |x2 – 2x|.