RESPOSTAS LISTA 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UNIP

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1. Resolva os seguintes Problemas de Valor de Contorno 
a. 𝑦2𝑑𝑦 = 𝑥2𝑑𝑥 , 𝑦(0) = 2 
b. (𝑥2 + 1)𝑦´ = 𝑥𝑦 , 𝑦(√3) = 6 
c. 𝑦´ − 𝑥𝑦 = 𝑦 , 𝑦(0) = 1 
d. 𝑦𝑦´ −
𝑦
𝑥2
= 0 , 𝑦(2) = 0 
e. 𝑦´ =
3𝑥2
𝑦
 , 𝑦(1) = 3 
 
2. Uma população de peixes em um lago tem uma taxa de natalidade natural de 12% 
ao ano, e taxa de mortalidade natural de 7% ao ano. Supondo que inicialmente a 
população seja de 500 peixes, pede-se: 
a. Qual será a população após 3 anos? 
b. Quanto tempo leva para que a população triplique? 
 
3. Em uma reação química, dois reagentes A e B formam o produto C, segundo a 
reação. 
A + B → C 
A lei de ação das massas estabelece que a taxa de reação é proporcional ao produto 
das concentrações de A e B. Se denominarmos as concentrações iniciais de A e B, 
respectivamente, por 𝑎 e 𝑏. Pede-se: 
a. Escreva a ED que representa a concentração de C em função do tempo; 
b. Supondo que: A constante de proporcionalidade da taxa de reação seja 0,1 , 
𝑎 = 30𝑚𝑜𝑙/𝑙 , 𝑏 = 20𝑚𝑜𝑙/𝑙 e a concentração inicial de C seja zero. 
Determine a concentração de C após 10 minutos de reação. 
 
4. Suponha que tomemos um objeto de 3kg e lancemos para baixo do alto de uma 
torre, com velocidade inicial de 2m/s. Considerando que a força de resistência do 
ar é dada por 𝐹𝑅 = 𝑘𝑣, onde 𝑣 a velocidade do objeto, pede-se: 
a. Determine a ED que fornece a função velocidade 𝑣(𝑡); 
b. Supondo que o coeficiente de resistência (𝑘) seja 2x10−1 , determine a 
velocidade do objeto no instante 𝑡 =10s 
 
 
 
 
2 
 
 
5. As substâncias radioativas decaem por emissão espontânea de radiação, a uma 
taxa natural proporcional a massa da substância. Suponhamos que uma amostra 
de Urânio inicialmente com 100mg leva 602 anos para reduzir sua massa para 
30mg. Pergunta-se: 
a. Determine a ED que fornece a massa de urânio da amostra em função do 
tempo? 
b. Calcule a massa restante de urânio na amostra após 1.000 anos; 
c. Determine a meia vida do Urânio, ou seja, o tempo necessário para que a 
massa da amostra se reduza pela metade? 
 
6. Num circuito elétrico estão presentes, um resistor com resistência R=12Ω e uma 
bobina com indutância L=4H, ligados em série com uma bateria que fornece uma 
voltagem constante E=60V. 
 
Supondo-se que o interruptor é ligado no instante 𝑡 = 0. Pergunta-se: 
a. Determine a ED que fornece a função corrente 𝐼(𝑡) em cada instante 𝑡; 
b. Qual o valor da corrente no instante 𝑡 = 1𝑠 ? 
c. Qual o valor máximo que a corrente irá atingir nesse circuito ? 
 
7. Resolva as seguintes Equações Diferenciais 
a. 𝑦´ + 3𝑦 = 𝑒𝑥 
b. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑥2𝑦 = 6𝑥2 
c. 𝑥2𝑦´ + 𝑥𝑦 = 1 
d. 𝑥𝑦´ + 𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
 
 
 
 
E 
 
 
3 
 
8. Resolva os seguintes Problemas de Valor de Contorno 
a. (𝑥𝑒𝑦 + 2𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑦 + 2𝑥 = 0 , 𝑦(1) = 0 
b. (2𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦)𝑑𝑥 = −(2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 , 𝑦(0) = 1 
c. 
𝑦𝑑𝑥
𝑥
+ (𝑙𝑛𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑦 = 0 , 𝑦(1) = 1 
d. (8𝑥2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 + (16𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 = 0 , 𝑦(1) = 2 
 
9. Suponhamos um circuito elétrico contendo um Resistor com resistência R=8Ω e um 
indutor com indutância L=4H. Conecta-se ao circuito um gerador que fornece uma 
voltagem alternada, segundo a função 𝜖(𝑡) = 24𝑠𝑒𝑛(𝑡√2). Pede-se a expressão da 
corrente em função do tempo 𝐼(𝑡). 
 
10. Uma substância é adicionada em um reator químico a uma taxa constante de 
𝑟 (
𝑔
𝑠⁄ ). A medida que a reação ocorre, a substância é consumida a uma taxa igual 
20% da quantidade de substância presente na reação. Sabendo-se que incialmente 
a quantidade de substância no reator era de 50g, pede-se: 
a. Escreva a ED que fornece a função 𝑞(𝑡), que representa a quantidade de 
substância presente no reator em função do tempo (em minutos) . 
b. Se regularmos a taxa de entrada para 𝑟 = 0,5 (
𝑔
𝑠
) , qual será a quantidade de 
substância presente no reator após 10 minutos ? 
c. Em que instante a quantidade de substância será 120g ?