Calculo Vetorial - Aula 2

Prévia do material em texto

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
 
 
Aula 2 – 17/03/14 
Professora: Carla Pinheiro Moreira 
 
 
Vetores (continuação) 
O estudo de vetores é feito por dois tratamentos: Geométrico e Algébrico. 
Aula passada estudamos o tratamento Algébrico. 
Nesta aula estudaremos o tratamento Geométrico. 
 
7. Representação Gráfica: 
Um vetor (a,b) ∈ 𝑅2 pode ser representado geometricamente por um segmento 
de reta orientado que une (0,0) com (a,b). 
Podemos fazer o mesmo com vetores em 𝑅3. 
 
Exemplos: 
 
• (3,2) ∈ 𝑅2 (Vetor no Plano) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3,2) 
3 
2 
• (1,3,2) ∈ 𝑅3 (Vetor no Espaço) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor é indicado por letra minúscula 
𝑣
 ou pela sua origem e extremidade (AB). 
O módulo do vetor é indicado por: 
𝑣
 . 
 
 
 
 
 
Além de representar o vetor como uma setinha partindo da origem (0,0), pode-se 
representá-lo transladando a setinha e partindo de um ponto qualquer (c,d) ∈ 𝑅2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1,3,2) 
3 
2 
1 
 
8. Setinha e vetor: 
A setinha que começa em (c,d) e termina em (c+a,d+b) representa o mesmo vetor 
(a,b) ∈ 𝑅2 para quaisquer (c,d) ∈ 𝑅2. A setinha que começa em (d,e,f) e termina em 
(d+a,e+b,f+c) representa o mesmo vetor (a,b,c) ∈ 𝑅3 para quaisquer (d,e,f) ∈ 𝑅3. 
Por esta definição o mesmo vetor possui uma infinidade de representações. Todas as 
setinhas representadas no exemplo abaixo representam o mesmo vetor (3,2) ∈ 𝑅2. 
 
Exemplo – Representações do vetor v = (3,2) 
 
 
 
 
 
 
 (3,2) 
3 
2 
 
9. Direção e Sentido: 
 
 
 
 
 
 
 Direção: Horizontal 
Sentido: da esquerda para direita 
Direção: Vertical 
Sentido: de baixo para cima 
Direção: Inclinado 45⁰ em relação à horizontal 
Sentido: de baixo para cima 
 
10. Casos particulares: 
 
• Vetor nulo: vetor cujo módulo é zero. Qualquer ponto no espaço é representante do 
vetor nulo, indicado por 
0
 ou 
𝐴𝐴
. 
 
• Vetores opostos: a cada vetor não nulo 
𝑣
 corresponde um vetor OPOSTO - 
𝑣
 , de 
mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. 
 
𝑣
 - 
𝑣
 
 A B A B 
 
 
𝑣
 = AB - 
𝑣
 = BA 
 
• Vetores ortogonais: quando 2 vetores formam ângulo de 90º. Indica-se por 
𝑣
 ⊥ 
𝑢
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Vetores coplanares: Quando dois ou mais vetores pertencem a um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Vetores Paralelos: Quando dois ou mais vetores tem a mesma direção. Indica-se por 
𝑣
 ⫽ 
𝑢
 
 
 
 
 
 
 
• Vetor unitário: Vetor cujo módulo é igual a 1: 
𝑣
 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Operações com Vetores: 
 
• Adição de Vetores: