APLICAÇÃO DE ALGEBRA LINEAR NA ENGENHARIA CIVIL1

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APLICAÇÃO DE ALGEBRA LINEAR NA ENGENHARIA CIVIL
EM CONSTRUÇÃO DE ESTRUTURAS METALICAS
Alunos: JEISY ANNY MARIA FERREIRA SANTOS
 RAWANNE CALORINE SANTOS RAMOS
Orientadora: ERICA DANTAS PEREIRA GAMA
RESUMO
Este trabalho discute a importância de apresentar aplicação no estudo da disciplina álgebra linear no curso de engenharia civil. O problema apresentado é solucionado através da resolução matricial dos sistemas lineares, que envolvem dados numéricos, permitindo sua resolução manual. Problemas reais, em geral, apresentam dimensões maiores e necessitam do auxílio de softwares computacionais apropriados para a resolução.
INTRODUÇÃO
A Álgebra linear se destaca ems diversas áreas da matemática da análise à estatística, onde se utilizam, constantemente, o cálculo matricial e vetorial. A importância da álgebra linear tem crescido nas últimas décadas. Na engenharia civil não foi diferente, sua importância é fundamental para solucionar diversos problemas entre eles , Construção de Estrutura Metálica.
RESULTADO
Projeto estrutura metálica tem-se como base um guindaste no qual deve ergue cargas, desde modo identificamos um problema no qual é o esforço mecânico em cada viga da estrutura, assim podemos analisar e escolher as vigas com a resistência adequada
A partir do momento que se conhece a massa a ser suspensa e também o comprimento do braço deste guindaste, o cálculo das forças que incidem na estrutura torna-se imediato. Para que a estrutura permaneça em equilíbrio o somatório das forças em cada nó, de 1 a 6, deve ser nula tanto na direção horizontal como na direção vertical. Para tanto calcula-se a força exercida por cada viga nos nós, ou seja, calcula-se a força f(ij) , que significa a força exercida sobre o nó i pela viga que liga o nó( i )ao nó( j). Para exemplificar, toma-se o nó 2, que é afetado pelas vigas que o ligam aos nós 1,3 e 4. Suponha que ó 2 tem-se as seguintes equações:
f(12)cosθ(12) + f(13)cosθ(13) + f(14)cosθ(14 )= F1 
f(12)senθ(12) + f(13)senθ(13) + f(14)senθ(14 )= 0
Sendo que θ(ij) representa o ângulo entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equação da somatória das forças em cada um dos nós, obtém-se o seguinte conjunto de equações:
f(12)cosθ(12) + f(13)cosθ(13) + f(14)cosθ(14 )= F1 
f(12)senθ(12 )+ f(13)senθ(13) + f(14)senθ(14) = 0 
f(21)cosθ(21) + f(23)cosθ(23) + f(24)cosθ(24) = F2 
f(21)senθ(21) + f(23)senθ(23) + f(24)senθ(24) = 0 
f(31cosθ(31) + f(35)cosθ(35) + f32cosθ(32) + f(36)cosθ(36)= 0
 f(31)senθ(31) + f(35)senθ(35) + f32senθ(32) + f(36)senθ(36) = 0 
f(41)cosθ(41) + f(45)cosθ(45) + f42cosθ(42) + f(46)cosθ(46) = 0 
f(41)senθ(41) + f(45)senθ(45) + f42senθ(42) + f(46)senθ(46) = 0
E por fim constrói-se a equação que representa a situação em que a estrutura, como um todo, não tem nenhuma aceleração horizontal, promovendo o equilíbrio:
 f(35)senθ(35 )+ f(46)senθ(46) + f54senθ(54) + f(63)senθ(63) = 0,
Faz-se f(ij)=f( ji) e assim, pode-se escrever as equações na forma matricial, isto é,
Af =F
f = [f (12) f(13) f(14) f(23) f(24) f(35) f(36) f(45) f(46) ]
 Definindo um vetor F e uma matriz A, respectivamente por 
[F1 0 F2 0 0 0 0 0 0 ] ,
A=
 Neste problema, não ter solução significaria que a estrutura correspondente não seria capaz de se manter em pé, e teria de ser trocada. Se o problema agora fosse estrutura metálica da figura abaixo, trabalhar-se-ia de forma análoga, a nova configuração teria apenas ângulos diferentes. Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas.
DISCUSSÕES
f = A ´¹F
 Dessa forma, é possível escolher a melhor geometria possível para a estrutura, de forma a obter, por exemplo, as soluções que representem o mínimo gasto de metal, ou a máxima resistência da estrutura, etc. Em um problema prático de engenharia as estruturas são maiores, possuindo um número muito maior de vigas. As estruturas seriam tridimensionais, isto é, também teriam profundidade, além de largura e altura. Por fim, as vigas teriam cada uma o seu peso. Esses detalhes a mais iriam conduzir a sistemas com mais equações, mas que, essencialmente, teriam a mesma forma que o sistema mostrado. 
CONCLUSÃO 
O problema tem-se que quanto mais complexa for esta estrutura, maior será o número de equações e de variáveis. A matriz dos coeficientes do sistema deve ser inversível para que a estrutura não entre em colapso. Destaca-se que resolver as equações matriciais dos problemas citados implica em tratar-se de um sistema linear onde tem-se duas classes de métodos, os diretos e os iterativos. A escolha do método a ser utilizado dependerá das propriedades da matriz A, como esparçidade e o número de condição, por exemplo. Os métodos diretos são aqueles que, após um número finito de etapas, permite encontrar a solução. Nos iterativos calcula-se uma sequência de aproximações da solução dada uma aproximação inicial.
REFERÊNCIAS
[1] Anton, Howard; Rorres, Chris, Álgebra Linear com Aplicações, 8a edição, Porto Alegre: Bookman, 2001. 
[2] Boldrini, J. L.; Costa, S. I. R.; Figueiredo, V. L.; Wetzler, H. G., Álgebra Linear, 3a ed., Editora Harbra, 1980.