Lista de treino para EDO

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Fundamentos de Eq. Diferenciais - 2o Sem/2017
5a Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 1. Mostre que y1(x) = x
3 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
2x2y′′ − xy′ − 9y = 0
Encontre uma func¸a˜o u(x) tal que y2(x) = u(x)y1(x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada. Prove que as
duas soluc¸o˜es y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es fundamentais.
Questa˜o 2. Mostre que y1(x) = x
−1, x > 0, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
x2y′′ + 3xy′ + y = 0.
Encontre uma func¸a˜o u(x) tal que y2(x) = u(x)y1(x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada. Prove que as
duas soluc¸o˜es y1(x) e y2(x) sa˜o fundamentais.
Questa˜o 3. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y′′ + 2y′ + αy = 0
para α > 1, para α = 1 e para α < 1.
Questa˜o 4.
a) Determine qual ou quais das func¸o˜es z1(x) = x
2, z2(x) = x
3 e z3(x) = e
−x sa˜o soluc¸o˜es da
equac¸a˜o
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0
b) Seja y1(x) uma das soluc¸o˜es obtidas no item anterior. Determine uma segunda soluc¸a˜o y2(x)
de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluc¸o˜es fundamentais da equac¸a˜o.
c) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0
e obtenha a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
(x+ 3)y′′ + (x+ 2)y′ − y = 0,
y(1) = 2
y′(1) = 3
Justifique sua resposta!
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Fundamentos de Eq. Diferenciais - 2o Sem/2017
5a Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 5.
a) Mostre que y1(x) = x
2 e y2(x) = x
5 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
x2y′′ − 6xy′ + 10y = 0
b) Obtenha a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
x2y′′ − 6xy′ + 10y = 0,
y(1) = 3
y′(1) = 3
Justifique sua resposta!
Questa˜o 6. Mostre que a soluc¸a˜o do problema y′′ + 2y′ = 0; y(0) = a; y′(0) = b tende para uma
constante quando t→ +∞. Determine esta constante.
Questa˜o 7. Mostre que se 0 < b < 2, enta˜o toda soluc¸a˜o de y′′+ by′+ y = 0 tende a zero quando
t→ +∞
Questa˜o 8. Considere o problema y′′ − 4y = 0; y(0) = 0; y′(0) = b 6= 0. Mostre que y(t) 6= 0
para todo t 6= 0.
Questa˜o 9. Considere o problema y′′ − y′ + 1
4
y = 0, y(0) = 2; y′(0) = b. Determine os valores de
b para os quais a soluc¸a˜o y(t)→ +∞ quando t→ +∞.
Questa˜o 10. Considere a equac¸a˜o y′′+ 2by′+ y = 0. Para quais valores de b a soluc¸a˜o y(t) tende
a zero quando t→ +∞, independente das condic¸o˜e iniciais.