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Centro Universita´rio UNA Ca´lculo - Polinoˆmios - Parte 1 Professora: Lucinea do Amaral 1. Dado o polinoˆmio p(x) = 5x5 − 4x3 + 2x2 − 1, calcule: (a) p(0) (b) p(1) (c) p(−1) (d) p(1)− p(−1) (e) p(2) (f) p(−2) (g) 1 e´ raiz de p(x). Justifique. (h) −1 e´ raiz de p(x). Justifique. 2. Dado o polinoˆmio p(x) = x4 − 3x3 + x2 + 1, calcule: (a) p(0) (b) p(−2) (c) p(1 2 ) (d) p(−1 3 ) 3. Determine o valor de k para que no polinoˆmio p(x) = 2x2 + 2kx− 5 tenhamos p(3) = 49. 4. Dado o polinoˆmio P (x) = x3 −mx2 + x+ 2m, determine m, nos seguintes casos: (a) P (−1) = 10 (b) P (2) = 4 (c) P (0) = 5 5. Determine o valor de k para que o polinoˆmio p(x) = x3 − kx+ 8, tenha uma raiz igual a 4. 6. Determine um polinoˆmio p(x) de grau 1, tal que p(1) = −3 e p(2) = 7. 7. Determine um polinoˆmio p(x) de grau 1, tal que p(2) = 6 e p(−4) = −12. 8. Determine os valores de a e b de modo que -2 e 3 sejam ra´ızes do polinoˆmio p(x) = ax3 − 3x2 − bx+ 6. 9. Determine os valores de a e b de modo que 1 e 2 sejam ra´ızes do polinoˆmio p(x) = x4 − ax3 + bx2 − 4x+ 4. 1 10. Determine o valor de m, para que o polinoˆmio p(x) = (m2 − 4)x3 + (m+ 2)x2 + x− 3 tenha: (a) grau 3 (b) grau 2 (c) grau 1 11. Dados os polinoˆmios p1(x) = x 3− 2x2+x, p2(x) = x2− 3 e p3(x) = 5x3− 2x+3, determine: (a) p1(x) + p2(x) (b) p1(x) + p3(x) (c) p1(x)− p3(x) (d) p1(x)− p2(x) (e) p1(x) + p2(x) + p3(x) 12. Dados os polinoˆmios p1(x) = x 3 − 2x− 1, p2(x) = x2 − 3x e p3(x) = x+ 4, determine: (a) p1(x) · p2(x) (b) p1(x) · p3(x) (c) p2(x) · p3(x) (d) p1(x) · p2(x) · p3(x) (e) p1(x) · p22(x) (f) p33(x) 13. Dado o polinoˆmio p(x) = 2x3 − x2 + 3x− 5, calcule: (a) p(0) (b) p(0) + 2p(1) (c) p(−1)− p(2) (d) p(−x) 14. Determine a, b, c e d para que sejam ideˆnticos os polinoˆmios: (a) ax3 + (b− a)x2 + (c− b)x+ (d− c− 1) = 5x3 − x2 + 2x− 3 (b) a(x+ c)3 + b(x+ d) = x3 + 6x2 + 15x+ 14 15. Encontre o quociente e o resto da divisa˜o: (a) (x5 − 1)÷ (x− 1) (b) (2x3 + 3x2 − 3x− 2)÷ (x− 1) (c) (x4 + x2 + 1)÷ (x2 − 1) (d) (2x3 − 9x2 − 3x+ 1)÷ (x2 − 5x+ 1) (e) (x5 − 5x3 + 5x2 + 1)÷ (x2 + 3x+ 1) 2 (f) (x3 − x2 + 5x+ 6)÷ (x+ 3) (g) (2x4 − 3x3 + 16x2 + 6x− 40)÷ (4x2 − 8) (h) (x3 − x2 + 4x− 6)÷ (x2 − x+ 3) 16. Determine k para que p(x) = x3 + 3x2 + x+ k seja divis´ıvel por d(x) = x− 1. 17. Encontre m para que p(x) = x3 +m seja divis´ıvel por x− 2. 18. Determine m e n de modo que o resto da divisa˜o de p(x) = x3− 3x2+mx+n por x2+1 seja x+ 4. 19. Encontre k de modo que 2 seja raiz de p(x) = x3 + 3x2 + kx− 10. Respostas 1) a) -1 b) 2 c) 0 d) 2 e) 135 f)-121 g) Na˜o, pois p(1) 6= 0. h) Sim, pois p(−1) = 0. 2) a) 1 b) 45 c) 15 16 d) 100 81 3)k = 6 4) a) m = 12 b) m = 3 c) m = 5 2 5) k = 18 6) p(x) = 10x−13 7) p(x) = 3x 8) a = 2 e b = 11 9) a = 2 e b = 1 10) a)m 6= ±2 b)m = 2 c)m = −2 11) a) x3−x2+x−3 b) 6x3−2x2−x+3 c) −4x3−2x2+3x−3 d) x3−3x2+x+3 e) 6x3−x2−x 12) a) x5−3x4+2x3−7x2+3x b) x4 + 4x3 + 2x2 + 7x − 4 c) x3 + x2 − 12x d) x6 + x5 − 8x4 + x3 − 25x2 + 12x e) x7 − 6x6 + 11x5 − 13x4 + 24x3 − 9x2 f) x3 + 12x2 + 48x + 64 13) a) -5 b) -7 c) -24 d) −x3 − x2 − 3x − 5 14) a) a = 5, b = 4, c = 6, d = 4 b) a = 1, b = 3, c = 2, d = 2 15) a) q(x) = x4+x3+x2+x+1, r(x) = 0 b) q(x) = 2x2+5x+2, r(x) = 0 c) q(x) = x2 + 2, r(x) = 3 d) q(x) = 2x+ 1, r(x) = 0 e) q(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1, r(x) = 2 f) q(x) = x2 − 4x + 17, r(x) = −45 g) q(x) = 1 2 x2 − 3 4 x + 5, r(x) = 0 h) q(x) = x, r(x) = x − 6 16) k = −5 17) m = −8 18) m = 2, n = 1 19) k = −5 3
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