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Centro Universita´rio UNA Ca´lculo Diferencial Lista de Exerc´ıcios - Derivadas Professora: Lucinea do Amaral Tabela das Regras de Derivac¸a˜o (un)′ = nun−1 · u′ (eu)′ = eu · u′ (lnu)′ = 1 u · u′ (sen u)′ = cos u · u′ (cos u)′ = −sen u · u′ (cf)′ = cf ′ (f + g)′ = f ′ + g′ (f − g)′ = f ′ − g′ (fg)′ = fg′ + f ′g (f g )′ = gf ′ − g′f g2 1. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es: (a) f(x) = (x3 + 4x)7 (b) f(x) = (1− x2)10 (c) f(x) = √ 2x2 − 1 (d) f(x) = 3 √ 1 + x3 (e) f(x) = cos 6x (f) f(x) = sen (3x+ 1) (g) f(x) = sen 3x− cos 2x (h) f(x) = sen 2x+ sen 4x (i) f(x) = esen x (j) f(x) = e2x + e3x (k) f(x) = ex + (x+ 1)2 (l) f(x) = sen (1− x2) (m) f(x) = 1 3 e3−x (n) f(x) = 5 √ x2 + 3 (o) f(x) = 2x√ 3x− 1 (p) f(x) = t2(t2 + 1)2 (q) f(x) = xe−x 2 2. Calcule a derivada da func¸a˜o y = 1√ x2 − 3 no ponto x = 2. 3. Calcule o coeficiente angular da tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = √ x2 + 3x no ponto x = 1. 4. Dada f(x) = e−x, calcule f(0) + xf ′(0). 1 5. Calcule f ′(0) onde f(x) = e−xcos 3x. 6. Um ponto material se desloca segundo a func¸a˜o s = √ t (t em segundos e s em metros). Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o do ponto material no instante t = 16s. 7. Qual e´ a acelerac¸a˜o de um mo´vel que descreve uma curva segundo a func¸a˜o s = t−2t2+4t3 (t em segundos e s em metros) no instante t = 1, 5s? 8. Calcule as derivadas sucessivas ate´ a ordem n indicada. (a) y = 3x4 − 2x, n = 5 (b) y = 3− 2x2 + 4x5, n = 10 (c) y = ax3 + bx2 + cx+ d, n = 3 (d) y = 1 x− 1 , n = 4 (e) y = 1 ex , n = 4 (f) y = sen ax, n = 7 (g) y = ln 2x, n = 2 (h) y = e2x+1, n = 3 (i) y = √ 3− x2, n = 2 9. Se f(t) = tcos t, encontre f ′′′(0). 10. Seja f(x) = x− sen2 x. Determine f ′(pi) + f ′′(pi). 11. Encontre um polinoˆmio do segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 2 e P ′′(2) = 2. 12. Seja f(x) = 4x3 + 2x2 − 5x+ 2, calcule: f ′(0) + f ′′(0) + f ′′′(0). 13. Mostre que a derivada de ordem n da func¸a˜o y = eax e´ dada por yn = aneax. 14. Dadas as func¸o˜es, calcule as duas primeiras derivadas: (a) f(x) = x− 3 x+ 4 (b) f(x) = √ x2 + 1 (c) f(x) = (x3 + 1) 2 3 (d) f(x) = t3e5t Respostas 1) a) f ′(x) = 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4) b) f ′(x) = −20x(1 − x2)9 c) f ′(x) = 2x√ 2x2 − 1 d) f ′(x) = x2 3 √ (1 + x3)2 e) f ′(x) = −6sen 6x f) f ′(x) = 3cox (3x + 1) g) f ′(x) = 3cos 3x + 2sen 2x h) f ′(x) = 2(cos 2x + 2cos 4x) i) f ′(x) = esen xcos x j) f ′(x) = 2e2x + 3e3x k) f ′(x) = ex + 2(x + 1) l) f ′(x) = −2xcos (1 − x2) m) f ′(x) = −1 3 e3−x n) f ′(x) = 5x√ x2 + 3 o) f ′(x) = 3x− 2 (3x− 1)√3x− 1 2 p) f ′(x) = 2t(t2 + 1)(3t2 + 1) q) f ′(x) = e−x 2 (1 − 2x2) 2) -2 3) 5 4 4) 1−x 5) -1 6) 1 8 m/s, − 1 256 m/s2 7) 32m/s2 8) a) y(5) = 0 b) y(10) = 0 c) y′′′ = 6a d) y(4) = 24 (x− 1)5 e) y (4) = 1 ex f) y(7) = −a7cos ax g) y′′ = − 1 x2 h) y′′′ = 8e2x+1 i) y = −3√ (3− x2)3 9) -3 10) -1 11) P (x) = x2 − 2x + 5 12) 23 14) a) f ′(x) = 7 (x+ 4)2 f ′′(x) = −14 (x+ 4)3 b) f ′(x) = x√ x2 + 1 f ′′(x) = 1 (x2 + 1) 3 2 c) f ′(x) = 2x2 (x3 + 1) 1 3 f ′′(x) = 4x (x3 + 1) 1 3 − 2x 4 (x3 + 1) 4 3 d) f ′(t) = t2e5t(5t+ 3) f ′′(t) = te5t(25t2 + 30t+ 6) 3
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