MEstII EP12 gabarito

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Métodos Estatísticos IIGabarito do Exercício Programado 12Profa. Ana Maria Farias
1. Para se usar a aproximação normal para a distribuição binomial, além de termos umaamostra grande, é necessário garantir que a distribuição binomial subjacente não sejaexcessivamente assimétrica. Isso é verificado se são satisfeitas as seguintes condições:np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5, chamadas critérios de simetria. Em cada um dos problemasseguintes, o tamanho amostral e p0 são dados para um teste de hipótese de grandesamostras, relativo a uma proporção populacional. Verifique os critérios de simetria edetermine se esse teste é, ou não, apropriado.
(a) n = 276;p0 = 0, 30(b) n = 645;p0 = 0, 03(c) n = 322;p0 = 0, 38
Solução
(a) OK!
276× 0, 3 = 82, 8 > 5276× 0, 7 = 193, 2 > 5
(b) OK!
645× 0, 03 = 19, 35 > 5645× 0, 97 = 625, 65 > 5
(c) OK!
322× 0, 38 = 122, 36 > 5322× 0, 62 = 199, 64 > 5
2. Em cada um dos problemas seguintes, suponha que a hipótese nula seja H0 : p = p0e que a hipótese alternativa seja Ha : p < p0. Use os valores de p0, x, n e α pararealizar um teste de hipótese de grandes amostras sobre a proporção populacional. (xé o número de “sucessos” na amostra).
(a) p0 = 0, 14; x = 40;n = 317;α = 0, 01(b) p0 = 0, 52; x = 250;n = 546;α = 0, 025(c) p0 = 0, 78; x = 2710;n = 3580;α = 0, 001
Solução
Curso de Administração 1
(a) Verificação dos critérios de simetria:317× 0, 14 = 44, 38 > 5317× 0, 86 = 272, 62 > 5
RR : Z0 < −2, 33
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 40317 − 0, 14√0.14× 0, 86317
= −0, 709
Não se rejeita H0, pois o valor observado da estatística de teste não está na Regiãode Rejeição (RR) : −0, 709 ≮ −2, 33(b) Verificação dos critérios de simetria:546× 0, 52 = 283, 92 > 5546× 0, 48 = 262, 08 > 5
RR : Z0 < −1, 96
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 250546 − 0, 52√0, 52× 0, 48546
= −2, 906
Rejeita-se H0, pois o valor observado da estatística de teste está na Região deRejeição (RR) : −2, 906 < −1, 96(c) Verificação dos critérios de simetria:3580× 0, 78 = 2792, 4 > 53580× 0, 22 = 787, 6 > 5
RR : Z0 < −3, 999
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 27103580 − 0, 78√0.78× 0, 223580
= −3, 325
Não se rejeita H0, pois o valor observado da estatística de teste não está na regiãode Rejeição (RR) : −3, 325 ≮ −3, 999
Curso de Administração 2
3. Em cada um dos problemas seguintes, suponha que a hipótese nula seja H0 : p = p0 eque a hipótese alternativa seja Ha : p > p0. Use os valores de p0, x, n e α para realizarum teste de hipótese de grandes amostras sobre a proporção populacional. Ache o valorP associado a esse teste de hipótese, e use-o para tirar uma conclusão.
(a) p0 = 0, 15; x = 60;n = 356;α = 0, 10(b) p0 = 0, 62; x = 298;n = 450;α = 0, 05(c) p0 = 0, 94; x = 795;n = 825;α = 0, 01
Solução
(a) Verificação dos critérios de simetria:
356× 0, 15 = 53, 4 > 5356× 0, 85 = 302, 6 > 5
RR : Z0 > 1, 28
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 60356 − 0, 15√0.15× 0, 85356
= 0, 9796
Não se rejeita H0, pois o valor observado da estatística de teste não está na Regiãode Rejeição (RR) : 0, 9796 ≯ 1, 28(b) Verificação dos critérios de simetria:
450× 0, 62 = 279 > 5450× 0, 38 = 171 > 5
RR : Z0 > 1, 64
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 298450 − 0, 62√0, 62× 0, 38450
= 1, 8453
Rejeita-se H0, pois o valor observado da estatística de teste está na Região deRejeição (RR) : 1, 8453 > 1, 64
Curso de Administração 3
(c) Verificação dos critérios de simetria:
825× 0, 94 = 775, 5 > 5825× 0, 06 = 49, 5 > 5
RR : Z0 > 2, 33
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 795825 − 0, 94√0, 94× 0, 06825
= 2, 8587
Rejeita-se H0, pois o valor observado da estatística de teste está na Região deRejeição (RR) : 2, 8587 > 2, 33
4. Durante o ano escolar 2007-2008, aproximadamente 64% dos diretores das escolas pú-blicas da Flórida eram mulheres. Em uma pesquisa no ano escolar de 2008-2009, 231dos 328 diretores selecionados aleatoriamente nas escolas públicas da Flórida erammulheres. Há alguma evidência que sugira que a proporção de mulheres diretoras deescolas públicas na Flórida tenha mudado? Use α = 0,05.Solução
Os critérios de simetrai são satisfeitos pois
328× 0, 64 = 209, 92 > 5328× 0, 36 = 118, 08 > 5
H0 : p = 0, 64H1 : p 6= 0, 64α = 0, 05
RR : Z < −1, 96 ou Z > 1, 96
ET : Z = P̂ − p0√p0(1− p0)n
z0 = 231328 − 0, 64√0, 64× 0, 36328
= 2, 4249
Rejeita-se H0, pois o valor observado da estatística de teste está na Região de Rejeição(RR) : 2, 4249 > 1, 96. Ao nível de significância de 5%, há evidência que sugere que aproporção de mulheres diretoras tenha mudado.
Curso de Administração 4