2a. Ordem HOMOGENEAS 2

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3.1 Solução geral da EDO homogênea de 2ª. Ordem e Coeficientes Constantes 
 
Forma Geral: ay’’ + by’ + cy = 0 
Suponha que y
 
= erx , onde r é um parâmetro a ser determinado. 
Vem então y’
 
= r.erx e y’’
 
= r2.erx . Levando as expressões de y, de y’ e de y ’’ na Equação (H), obtemos: 
(ar2 + br + c).erx = 0, 
ou, como erx ≠ 0, 
ar2 + br + c = 0. 
que é chamada equação característica da equação diferencial (H). 
 
Teorema Solução geral de uma equação linear homogênea (H) 
 
 Raízes Reais Distintas Se r1 ≠≠≠≠ r2 são raízes reais distintas da equação característica, então a solução geral é: 
y = c1. e r1 x + c2 .er2 x. 
 
 Raízes Reais Iguais Se r1 = r2 são raízes reais iguais da equação característica, então a solução geral é: 
y = c1. e r x + c2 .x.er x = (c1 + c2 .x)er x. 
 
 Raízes Complexas Se r1 = αααα + ββββi e r2 = αααα - ββββi são raízes complexas da equação característica, então a 
solução geral é: 
y = c1. e αx cosβx + c2 . e αx senβx. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Achar a solução do problema de valor inicial y ’’ + 4y ’ + 4y = 0; y(0) = 2; y’(0) = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Achar a solução do problema de valor inicial: y ’’ + 5y ’ + 6y = 0; y(0) = 2; y’(0) = 3.