Gabarito P2 A1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno A1, Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1. (a) Uma escola tem 730 alunos. Qual a probabilidade de que pelo menos treˆs
alunos fazem aniversa´rio no dia 1 de janeiro? Despreze a existeˆncia de anos
bissextos.
Utilizando a distribuic¸a˜o de Poisson com a me´dia λ = 730/365 = 2, temos:
P (k ≥ 3) = 1− P (0)− P (1)− P (2) = 1− e−2 − e−2 · 2− e−2 · 22/2! = 0, 32
Ou podemos usar a distribuic¸a˜o binomial com n = 730 e p = 364/365:
P (k ≥ 3) = 1− P (0)− P (1)− P (2)
= 1−
(
364
365
)730
− 730 ·
(
364
365
)729
· 1
365
−
(
730
2
)(
364
365
)728 ( 1
365
)2
= 0, 32
(b) Um aluno recebe, em me´dia, 4 notificac¸o˜es do Facebook por hora. Ele
resolve abrir as notificac¸o˜es so´ quando sua quantidade passar 10. Qual a
probabilidade de que ele abrira´ as notificac¸o˜es antes do fim de uma aula de
duas horas?
Utilizando a distribuic¸a˜o de Poisson com a me´dia λ = 4 · 2 = 8, temos:
P (k > 10) = 1−
10∑
k=0
P (k) = 1− e−8
10∑
k=0
8k/k! = 0, 18
Se incluir o valor k = 10, a resposta sera´ P (k ≥ 10) = 0, 28.
2. (a) Em me´dia, um funciona´rio do banco leva 5 minutos para atender um cliente.
Calcule a probabilidade de que ele levara´ entre 5 e 10 minutos para atender
voceˆ.
O tempo de atendimento pode ser descrito por uma varia´vel exponencial com λ = 1/5
e F (z) = 1− e−z/5:
P (5 < X < 10) = F (10)− F (5) = 1/e− 1/e2 = 0, 23
(b) Um ponto e´ escolhido, ao acaso, em um segmento de reta de comprimento
L. Qual a probabilidade de que o quociente do segmento mais curto para o
mais longo seja menor do que 1/4?
A coordenada do ponto escolhido satisfaz uma distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [0, L].
Para que o comprimento de um segmento seja menor de que 1/4 do comprimento do
outro, o ponto de divisa˜o deve estar em [0, L/5] ou em [4L/5, L], o que constitui 2/5
do intervalo total. Logo, P = 2/5.
3. (a) Um lote de 10 motores conte´m um motor defeituoso. Dois motores sa˜o
escolhidos ao acaso e inspecionados. Se os dois na˜o forem defeituos, o lote e´
1
aceito, caso contra´rio, o lote e´ rejeitado. Cada motor custa 750 reais e sera´
vendido por 1000 reias. Calcule o lucro esperado do vendedor.
Os dois motores escolhidos na˜o sera˜o defeituosos com P = 9
10
· 8
9
= 0, 8. Neste caso,
o lucro da venda e´ 2 500 reais. Um dos dois motores escolhidos sera´ defeituoso com
P = 9
10
· 1
9
· 2 = 0, 2, e o vendedor perdera´ 7 500 reais. O valor esperado do lucro e´
E(X) = 2 500 · 0, 8− 7 500 · 0, 2 = 500 reais.
(b) Um lote conte´m 2 pec¸as defeituosas e 8 pec¸as na˜o defeituosas. As pec¸as sa˜o
inspecionadas, uma apo´s outra. Qual sera´ o nu´mero esperado de pec¸as que
devem ser inspecionadas, a fim de removerem-se todas as pec¸as defeituosas?
Ha´
(
10
2
)
= 45 sequeˆncias distintas do tipo NNDN . . .NDN , onde D e´ uma pec¸a
defeituosa e N e´ uma pec¸a sem defeito. A probabilidade de cada uma delas e´ 1/45.
Para as probabilidades da posic¸a˜o k da segunda pec¸a defeituosa temos:
P (k = 2) = P (DD) =
1
45
, P (k = 3) = P (DND) + P (NDD) =
2
45
P (k = 4) = P (DNND) + P (NDND) + P (NNDD) =
3
45
P (k = 5) =
4
45
. . . P (k = 10) =
9
45
Logo, E(k) = (2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + . . . 10 · 9)/45 = 7, 33.
4. (a) Um atirador acerta 10 pontos com probabilidade 0,5; 9 pontos com 0,3; 8
com 0,1; 7 com 0,05 e 6 com 0,05. Calcule a probabilidade de que ele acerte
mais de 950 pontos em uma se´rie de 100 tiros.
O nu´mero de pontos em um tiro X e´ uma varia´vel alc¸eato´ria com
E(X) = 0.5 · 10 + 0.3 · 9 + 0.1 · 8 + 0.05 · 7 + 0.05 · 6 = 9, 15
E(X2) = 0.5 · 102 + 0.3 · 92 + 0.1 · 82 + 0.05 · 72 + 0.05 · 62 = 84, 96
σ(X) =
√
E(X2)− (E(X))2 = 1, 1
A soma dos pontos em uma se´rie de 100 tiros pode ser aproximada com uma varia´vel
normal S com E(S) = 100 · 9, 15 = 915 e σ(S) = √100 · 1, 1 = 11:
P (S > 950) = P
(
S − 915
11
>
950− 915
11
)
= P (Z > 3, 16) = 1− Φ(3, 16) = 0, 0008
(b) Funciona´rio de uma fa´brica leva, em me´dia, 10 segundos para inspecionar
uma pec¸a. Na metade dos casos, ele decide repetir a inspec¸a˜o gastando,
desta forma, 20 segundos por pec¸a, em me´dia. Calcule a probabilidade de
que durante 7 horas ele consiga inspecionar mais de 1500 pec¸as.
O tempo de inspec¸a˜o e´ uma varia´vel exponencial. na metade dos casos, com E(X1) =
10, V ar(X1) = 10
2, e na outra metade, com E(X2) = 20, V ar(X2) = 20
2. Somando
750 vezes X1 e 750 vezes X2, teremos para a soma E(S) = 7500 + 15000 = 22500,
V ar(S) = 750 · 102 + 750 · 202 = 375000, σ(S) = 612. Pelo teorema central de limite:
P (S < 7 · 3600) = P
(
S − 22500
612
<
25200− 22500
612
)
≈ P (Z < 4, 4) = Φ(4, 4) ≈ 1
2