Gabarito P2 B1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno B1, Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1. (a) Os canhotos representam 1% da populac¸a˜o. Qual a probabilidade que uma
amostra de 200 pessoas tenha pelo menos 4 canhotos?
O nu´mero de canhotos na amostra e´ uma varia´vel binomial com n = 200 e p = 0, 01:
P (k ≥ 4) = 1− P (0)− P (1)− P (2)− P (3)
= 1−0, 99200−200 ·0, 99199 ·0, 01−
(
200
2
)
0, 99198 ·0, 012−
(
200
3
)
0, 99197 ·0, 013 = 0, 142
Ou podemos aproximar a varia´vel com a distribuic¸a˜o de Poisson com λ = 200·0, 01 = 2:
P (k ≥ 4) = 1− P (0)− P (1)− P (2)− P (3) = 1− e−2(1 + 2 + 22/2! + 23/3!) = 0, 143
(b) Quantas uvas passas deve conter um cookie, em me´dia, para que a proba-
bilidade de ter um cookie sem uva passa seja menor que 1%?
Se usar para a quantidade de uvas passas em um cookie uma varia´vel de Poisson,
teremos P (0) = e−λ < 0, 01. Logo, a me´dia E(k) = λ deve satisfazer λ > ln 100 = 4, 6.
2. (a) Um central de atendimento ao cliente recebe chamadas telefoˆnicas. A prob-
abilidade de que o tempo entre dois telefonemas seja maior que um minuto
e´ 1/e. Qual a probabilidade de que esse tempo seja maior que 2 minutos?
Usemos a distribuic¸a˜o exponencial para o tempo de chamada:
P (X > 1) = 1− F (1) = e−λ = 1 ⇒ λ = 1
Logo, P (X > 2) = 1− F (2) = e−2λ = e−2 = 0, 135.
(b) Uma chamada telefoˆnica para um programa de ra´dio dura, em me´dia, 3
minutos. Qual a probabilidade de uma chamada durar menos de 2 minutos?
Usando uma distribuic¸a˜o exponencial com λ = 1/3 temos: P (X < 2) = F (2) =
1− e−2/3 = 0, 487.
3. (a) Calcule a constante de normalizac¸a˜o C, o valor esperado E(x) e o desv´ıo
padra˜o σ(x) para a varia´vel aleato´ria com a densidade de probabilidade
f(x) =
{
0, x < 1
C/x3, x ≥ 1
∞∫
1
C
x3
dx =
C
−2x2
∣∣∣∣∞
1
=
C
2
= 1 ⇒ C = 2
E(x) =
∞∫
1
2
x3
· x dx = −2
x
∣∣∣∣∞
1
= 2, E(x2) =
∞∫
1
2
x3
· x2 dx =∞, σ(x) =∞
1
(b) Calcule a constante de normalizac¸a˜o C, o valor esperado E(x) e a probabili-
dade P (x < E(x)) para a varia´vel aleato´ria com a densidade de probabilidade
f(x) =
{
0, x < 2
C/x3, x ≥ 2
∞∫
2
C
x3
dx =
C
−2x2
∣∣∣∣∞
2
=
C
8
= 1 ⇒ C = 8
E(x) =
∞∫
2
8
x3
· x dx = −8
x
∣∣∣∣∞
2
= 4, P (x < E(x)) =
4∫
2
8
x3
dx = − 8
2x2
∣∣∣∣4
2
=
3
4
4. (a) Calcule a probabilidade de que, entre 10 000 d´ıgitos aleato´rios, o d´ıgito 7
aparec¸a na˜o mais que 968 vezes.
A quantidade de d´ıgitos 7 e´ uma varia´vel binomial com n = 10 000, p = 0, 1, E(X) =
np = 1000 e σ(X) =
√
np(1− p) = 30. Podemos usar o teorema central para aproximar
a probabilidade com uma varia´vel normal:
P (X < 968) = P
(
X − 1000
30
<
968− 1000
30
)
≈ P (Z < −1, 07) = 1− Φ(1, 07) = 0, 14
(b) Calcule a probabilidade de que, em 12 000 lanc¸amentos de um dado honesto,
a quantidade de vezes que o nu´mero 6 aparec¸a seja entre 1900 e 2150.
A quantidade de vezes e´ uma varia´vel binomial com n = 12 000, p = 1/6, E(X) = np =
2000 e σ(X) =
√
np(1− p) = 40, 8. Podemos usar o teorema central para aproximar a
probabilidade com uma varia´vel normal:
P (1900 < X < 2150) = P
(
1900− 2000
40, 8
<
X − 2000
40, 8
<
2150− 2000
40, 8
)
≈ P (−2, 45 < Z < 3, 68) = Φ(3, 68)− Φ(−2, 45) ≈ Φ(2, 45) = 0, 993
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